MOUVEMENT PLAN

VIII. Pour étudier le mouvement quelconque d'un solide, commençons par réduire les difficultés de la question à celles de la Géométrie à deux dimensions, en envisageant le mouvement d'une figure plane dans son propre plan. Deux repères suffiront alors, car un troisième point quelconque se trouvera déterminé par ses distances aux deux premiers. Nous pouvons ainsi réduire à une simple droite la figure mobile.

Un déplacement plan quelconque peut toujours être effectué par une rotation autour d'un point du plan.

Si on envisage, en effet ( Pl. I, fig. 2), la rencontre des deux positions xy, x'y' de la droite, on y trouvera un point double, à savoir: un point B de la première droite xy, qui se trouvera en B' après le déplacement, et un point A' de la seconde x'y\ qui était au commencement en A ; on a d'après cela AB = AT)'. Elevons sur les milieux de ces droites les perpendiculaires MO, M'O. Les triangles rectangles OMB, OM'B seront égaux, comme ayant même hypoténuse OB, et les cotés égaux MB = M'B. On en déduit OM = OM'. Si donc on opère autour du point O une rotation de l'angle MOM', le point M décrivant un cercle viendra en M', et la droite qui reste perpendiculaire à l'extrémité de ce rayon se trouvera amenée en x'y' .

Lorsqu'il s'agit d'un déplacement infiniment petit, toutes les manières de l'effectuer peuvent être assimilées Tune

à l'aulre, car les arcs de toutes les trajectoires qui peuvent amener chacun des points à sa destination peuvent être confondus avec leur corde commune, à savoir : la droite qui joint les positions initiale et finale du point. Et comme nous venons de découvrir une manière, entre autres, d'effectuer ce déplacement, nous pourrons dire que tout mouvement plan élémentaire est une rotation instantanée autour d'un centee instantané.

Nous pouvons par là étendre à un mouvement plan quelconque à chaque instant les propriétés démontrées pour la rotation, notamment les deux suivantes : Dans un mouvement plan quelconque toutes les normales des trajectoires simultanées concourent au centre instantané, et toutes les vitesses sont proportionnelles à ces normales.

Si donc on veut avoir la normale d'un point quelconque, il suffit de le joindre au centre instantané.

De même, si on veut connaître le point où une courbe quelconque de la figure touche l'enveloppe de toutes ses positions, il suffit d'y projeter normalement le centre instantané. En effet, le point ainsi obtenu sera l'intersection de deux enveloppées consécutives. Car si on imagine sa seconde position, elle sera, bien entendu, sur la seconde enveloppée; et l'on peut aussi la considérer comme située sur la première, puisque la direction de son mouvement est perpendiculaire au rayon instantané, c est-à-dire tangente à la courbe.

IX. Le mouvement continu, pouvaut être subdivisé en mouvements infiniment petits, sera une succession de rotalions élémentaires autour de centres instantanés qui varieront à chaque instant, et dont la série formera dans l'espace absolu une certaine courbe. Je l'envisage comme un polygone infinitésimal OO, O, 08... (Pl. l,fig.Vj. J'en construis un autre OCCG'". .. dont les côtés soient respectivement

CINÉMATIQUE. II

égaux à ceux du précédent, et qui ait à chacun de ses sommets pour angle de contingence compté à l'extérieur O^OO""*"1 la somme de l'angle intérieur 0„,OnOn+| du précédent et de la rotation élémentaire an qui s'effectue autour du centre On. Il est clair que dans ces conditions la succession des rotations amènera chacun des sommets du second polygone à coïncider avec ceux du premier, et que ces deux lignes brisées rouleront sans glisser Tune sur l'autre par application d'arcs égaux. Oii reconnaît en même temps que les sommets du second polygone sont les points de la ligure qui deviennent successivement centres instantanés. Ainsi donc, un mouvement plan quelconque peut être reproduit par le roulement sans glissement de deux courbes planes qui sont les lieux géométriques du centre instantané dans l'espace absolu et dans la figure mobile (').