MOUVEMENT D'UN SOLIDE

X. Mouvement sphérique. — La sphère, comme le plan, est une surface identique dans toutes ses parties. On peut donc envisager le déplacement d'une figure sphérique sur sa propre sphère. En reproduisant des raisonnements iden-. tiques aux précédents, avec la seule précaution d'y remplacer les droites par des arcs de grand cercle, on arrivera aux deux théorèmes suivants :

Tout mouvement sphérique élémentaire est une rotation instantanée autour d'un pôle instantané.

Tout mouvement sphérique continu peut être reproduit parle roulement sans glissement de deux courbes sphériques qui sont les lieux géométriques du pôle instantané dans V espace absolu et dans la figure mobile.

(•) On trouvera plus loin (15â, 169, 189) des exemples remarquables de ce mode de représentation.

XI. Pivotement. — On appelle pivotement le mouvement d'un solide dont un repère reste fixe. Ce point est le centre du pivotement. Tous les autres décriront autour de lui des courbes sphériques; car un point quelconque du solide peut être envisagé comme le second repère, et à ce titre ne peut se trouver que sur une sphère (IV) décrite autour du premier. Si donc on coupe le solide par une sphère concentrique, la figure d'intersection ne sortira pas de sa propre sphère. Or, elle commande le mouvement du corps, puisqu'on y peut choisir les trois repères. Le pivotement peut donc être assimilé à un mouvement sphérique, et, à ce titre, il jouit des deux propriétés que nous venons d'établir. Comme d'ailleurs le centre est sans vitesse, ainsi que le pôle instantané, on a dans le solide deux points sans vitesse, c'est-à-dire un axe instantané.

Donc, tout pivotement élémentaire est une rotation instantanée autour d'un axe instantané guipasse par le centre de pivotement.

En second lieu, la série des axes qui passent tous par le centre dessine un cône, ou mieux deux cônes, l'un dans l'espace absolu et l'autre formé par les droites du corps qui deviennent successivement axes instantanés. Ces cônes auront toujours même sommet au centre de pivotement, et comme il y a roulement entre leurs directrices sphériques (X), il y aura de môme roulement entre les deux surfaces. Donc, tout pivotement continu peut être reproduit parle roulement sans glissement de deux cônes qui sont les lieux géométriques de Vaxe instantané dans V espace absolu et dans la figure mobile.

XII. Mouvement général. — Prenons sur le solide un repère A, ct-imprimons à tout le corps uue translation rectiligne suivant la droite A A' qui amène ce point à sa destination. Pour faire parvenir le solide à sa position définitive..

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il reste à lui attribuer un dernier mouvement dans lequel ce repère restera fixe, c'osl-à-dire un pivotement ou, d'après ce qui vient d'être démontré (XI), une rotation. L'axe de cette rotation passe par le centre de pivotement ou par la seconde position du repère. Mais lorsque nous nous bornerons à considérer un déplacement élémentaire, cette position pourra être confondue avec la première, car elle en est infiniment rapprochée. Ainsi donc, tout mouvement élémentaire peut être considéré d'une infinité de manières comme composé d'une translation avec la vitesse d'un point arbitraire et d'une rotation autour d'un axe passant par ce point.

XIII. Parmi cette infinité de décompositions, il en est une plus simple que les autres qui mérite de fixer l'attention.

Décomposons, comme nous venons de le faire, le mouvement élémentaire en une translation et une rotation autour d'un certain axe. J'imagine ensuite un plan perpendiculaire à cet axe et la section qu'il détermine dans le solide. Ce plan reste parallèle à lui-même, car aucun des deux|mouvements ne change sa direction. On peut donc l'amener de la première à la seconde position par une translation parallèle à Taxe. Mais si l'on a placé ainsi dans sa situation finale le plan indéfini, il n'en est pas de même de la figure plane qui y est tracée. Pour amener cette figure à sa destination, il reste à opérer un déplacement qui ne la fera pas sortir de son plan. Or, nous savons (VIII) que ce genre de mouvement est une rotation instantanée autour d'un certain axe perpendiculaire au plan, c'est-à-dire parallèle au premier ou à la translation effectuée. Ainsi donc, tout mouvement élémentaire peut être considéré comme composé d'une rotation autour d'un certain axe et d'une translation parallèle à cet axe. En d'autres termes, tout mouvement élémentaire est un mouvement hélicoïdal instan-

l4 INTRODUCTION.

tanè (VII). L'axe tle ce mouvement hélicoïdal est appelé axe spontané.

Si nous envisageons maintenant le mouvement continu comme une succession de mouvements hélicoïdaux dont l'axe et le pas varient continuellement, nous reconnaîtrons, en reproduisant le raisonnement qui nous a déjà servi, que tout mouvement continu peut être reproduit par le roulement mixte de deux surfaces réglées Vune sur l'autre; ces deux surfaces réglées étant les lieux géométriques de l'axe spontané dans l'espace absolu et dans la figure mobile, et la surface mobile roulant à chaque instant autour de la génératrice commune, en même temps quelle glisse latéralement le long de cette génératrice.