COMPOSITION DES MOUVEMENTS

XIV. Le prohlème de la composition des mouvements se ramènera toujours à la réduction de deux mouvements en un seul, car s'il s'en présente un plus grand nombre on n'aura qu'à répéter plusieurs fois de suite la même opération. Mais il sera en même temps nécessaire de distinguer tous les cas qui peuvent se présenter, ce que je vais faire au moyen d'un petit nombre de règles distinctes.

Deux translations. — Si nous effectuons sur chaque point la composition de ses deux vitesses, comme elles sont les mêmes pour tous les points dans une translation, le parallélogramme des vitesses (III) sera identique pour tous, il en sera de même de la vitesse résultante, et, par suite, le mouvement résultant sera lui-même une translation. Donc les translations se composent par parallélogramme.

XV. Deux rotations d'axes concourants. — Lorsque les axes de deux rotations se rencontrent en un point, celuici ne reçoit de vitesse ni de l'une ni de l'autre. Sa vitesse

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absolue est donc nulle, et Je mouvement résultant est un

pivotement, c'est-à-dire (XI) une rotation instantanée dont l'axe passe par le point de concours.

Nous pouvons reconnaître en outre qu'il se trouve dans le plan des deux premiers. En effet, chacun de ses points a une vitesse résultante nulle, c'est-à-dire deux vitesses composantes égales et directement opposées. Or, les vitesses de rotation sont perpendiculaires au méridien (VI), donc ce méridien doit être le même pour les deux axes, c'est-à-dire se confondre avec leur plan.

Si maintenant nous élevons, par le point de concours des trois axes, une perpendiculaire égale à l'unité, son extrémité se trouve à la fois à l'unité de distance de chacun des trois axes. Ses trois vitesses mesureront donc les vitesses angulaires des trois mouvements (VI), c'est-à-dire les longueurs des droites représentatives de ces rotations. Elles sont d'ailleurs perpendiculaires à leurs méridiens respectifs qui passent tous les trois par la perpendiculaire de construc tion. Ces vitesses sont par suite situées dans un plan parallèle à celui des axes, et perpendiculaires chacune à Taxe ou à la droite représentative correspondants. Les deux figures formées par ces droites et par les trois vitesses sont ainsi les mêmes, à cela près qu'elles se trouvent disposées à angle droit l'une sur l'autre. Mais on sait que les vitesses forment un parallélogramme (III), il en est par suite de même des droites représentatives.

Ainsi donc, les rotations autour d'axes concourants se composent par parallélogramme.

XVI. Deux rotations d'axes parallèles. — Supposons que le point de concours s'éloigne indéfiniment, les axes restant assujettis à passer par deux points fixes. L'angle diminue peu à peu et le parallélogramme s'aplatit de plus en plus. Sa diagonale devient donc à la limite la somme

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ou la différence des côtés, suivant que les rotations sont alors de même sens ou de sens opposes.

La direction de cette diagonale, étant intermédiaire entre les deux proposées, se confond avec la direction commune des axes devenus parallèles.

Elle ne cesse pas d'ailleurs d'être comprise dans leur plan, de sorte qu'il ne reste plus qu'à y déterminer sa distance à chacun des deux axes.

Or, on connaît par la Géométrie cette propriété du parallélogramme, que les distances de l'extrémité de la diagonale aux deux côtés sont'en raison inverse de ces côtés (*). Ce rapport subsistant encore à la limite, il suffit de trouver sur une perpendiculaire aux deux axes un point dont les distances à ces derniers soient dans le rapport inverse des vitesses angulaires. On sait encore que ce problème comporte deux solutions dont l'une se trouve comprise entre les axes et l'autre en dehors de leur intervalle, du côté de la plus grande vitesse. C'est le sens respectif des deux rotations qui fixera le choix de ce point. Il faut en effet, pour qu'il ait une vitesse nulle, que ses deux vitesses composantes soient de sens opposés, et Ton s'assure facilement qu'il en est ainsi dans l'intervalle des deux axes si les rotations sont de môme sens, et à l'extérieur si elles sont de sens opposés.

En résumant ces différents résultats, nous voyons que fleux rotations autour d'axes parallèles se composent en une seule dont V axe est parallèle aux deux premiers, situé dans leur plan et à des distances réciproquement proportionnelles à leurs vitesses angulaires. En outre, suivant que les deux rotations sont de même sens ou de sens opposés, l'axe résultant se trouve en dedans ou en dehors

(' ) Car leurs produits respectifs mesurent le double des aires des deux triangle* qui forment chacun la moitié du parallélogramme.

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de l'intervalle des premiers, et. sa vitesse angulaire est égale à la somme ou à la différence des proposées.

XVII. Couples de rotation. — Attachons-nous un instant au cas particulier de deux rotations égales autour d'axes parallèles et de sens contraire. C'est ce que Ton nomme couple de rotation.

Si on cherche à le réduire par la règle précédente, on obtient une vitesse angulaire nulle autour d'un axe situé à l'infini dans le plan des deux premiers, c'est-à-dire une translation perpendiculaire à ce plan. On s'assurera facilement sur une figure qu'elle est dirigée du côté où il faut regarder le couple pour le voir tourner dans le même sens que les aiguilles d'une horloge, en considérant ses deux droites représentatives comme des tendances à la rotation du bras de levier du couple. Quant à la valeur de cette translation, il suffit, puisqu'elle est la même pour tout l'espace, de l'évaluer pour un seul point, et, par exemple, pour l'une des extrémités du bras de levier. Ce point ne recevant pas de mouvement de la part de l'une des rotations, sa vitesse absolue sera celle de la seconde ou (VI) le produit de la vitesse angulaire commune par le bras de levier. C'est ce que Ton nomme le moment du couple.

Ainsi un couple de rotation équivaut à une translation égale à son moment, perpendiculaire à son plan, et dirigée dans le sens oh il faut regarder le couple pour le voir tourner comme les aiguilles d'une horloge.

On pourra, par suite, faire subir à un couple toutes les modifications qui n'altéreront aucun des trois éléments dont dépend la translation équivalente. Et, par suite, on peut tourner et transporter à volonté un couple dans son plan, transporter ce plan parallèlement à lui-même, enfin modifier arbitrairement, mais en raison inverse l'un de l'autre, la vitesse angulaire et le bras de levier.

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La considération des couples permet de transporter à volonté nu axe représentatif de rotation d'une position w dans une autre parallèle Car, si nous introduisons deux rotations égales et opposées (a et w", ce qui ne change rien à l'étal des choses, nous pouvons, ne conservant que co', considérer & et <*>" comme formant uu couple, et les supprimer en les remplaçant par la translation équivalente. Cet artifice va nous permettre de résoudre très-simplement les deux cas suivants.

XVIII. Translation et rotation. — Désignons par v et w les droites représentatives de la translation et de la rotation qu'il s'agit de réduire ensemble. Je décompose par un rectangle (XJV) la translation v en deux autres : t>' parallèle et v" perpendiculaire à o>. Je remplace ensuite v" par un couple de rotations qui ait pour vitesses angulaires tù' et a>", cette dernière étan t égale et opposée à w. Cela est possible, puisque le plan du couple doit être perpendiculaire à vh \ c'est-à-dire parallèle à g>, et que, du reste, l'une des deux vitesses angulaires égales peut être prise à volonté (XVII). Dès lors o> et a)" se détruisent respectivement et il reste seulement a)' et v\ c'est-à-dire une rotation autour d'un axe et une translation parallèle à cet axe, ou un mouvement hélicoïdal (VII) dont les éléments se trouvent déterminés.

Si Ton cherche en particulier la condition pour que le résultat de la composition soit une rotation simple, il sera pour cela nécessaire et suffisant que v' soit nulle ou que la translation proposée soit perpendiculaire à l'axe de la rotation.

XIX. Deux rotations d'axes non concourants. — Désignons par û) et o>' les deux droites représentatives non situées dans un même plan. J'applique en un point quelconque de Taxe o>; deux rotations égales et directement opposées (0, , w, , qui soient en même temps parallèles et

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égales à w. Dans ces conditions, o> et w, forment un couple que l'ou peut remplacer par une translation (XVII). De plus, w' et cp, sont deux rotations dont les axes concourent au point qui a été choisi. Elles se réduisent donc par parallélogramme (XV) à une seule rotation. Dès lors on rentre dans l'application de la règle précédente (XVIII).

On remarquera que le résultat de la composition ne pourra jamais être une rotation simple, c'est-à-dire (XVIII) que la translation équivalente au couple ne pourra être perpendiculaire à Taxe de la rotation, qui résulte par parallélogramme de et w,. En effet, cette translation est perpendiculaire au plan de son couple ; il faudrait donc que la résultante du parallélogramme fût comprise dans ce plan^ or cela est impossible, puisque ce parallélogramme est construit sur une droite w, située dans ce plan comme opposée à wt , et d'une autre <>>' qui ne saurait s'y trouver, car alors elle serait comprise dans un même plan avec w, ce qui est contraire à l'hypothèse.

XX. Deux mouvements quelconques. — Quels que soient les mouvements proposés, chacun d'eux pourra toujours (XII) être considéré comme formé d'une rotation et d'une translation. On commencera par ramener les axes de rotation à passer par un même point, sur lequel ils se composeront par parallélogramme (XV). D suffira, pour cela, d'introduire un couple (XVII), c'est-à-dire une translation. Les trois translations se réduisaut ensuite à une seule par des parallélogrammes successifs (XIV), on rentrera dans l'application de la règle précédente (XVIII).