SPIRALE LOGARITHMIQUE

17. Nous avons reconnu (3) que la condition du roulera en l des deux courbes planes ou sphériques (*) qui servent de directrices à des cylindres ou à des cônes est que leur contact s'effectue constamment sur la droite des centres ou l'arc de grand cercle des pôles de rotation. Telle sera donc la condition à vérifier dans chaque cas.

Une première solution indiquée par Euler repose sur l'emploi de la courbe qui traverse, sous un angle constant, tous ses rayons vecteurs. Cette courbe s'appelle spirale logarithmique dans un plan et loxodromie sur la sphère. Je me bornerai à présenter pour la spirale le raisonnement qui s'applique également aux deux cas.

18. Supposons deux spirales logarithmiques égales et assujetties à tourner autour de leurs pôles (Pl. I,fig- 6). Rien n'empêche de supposer que, dans une première position, elles se touchent en un point M de la ligne OO' des centres, puisque, par hypothèse, ces courbes font tontes les

(') Ce genre do questions n'est envisagé d'ordinaire que pour les courbes planes. La forme que nous lui donnons ici a l'avantage de s'étendre, sans autres explications, à la Géométrie de la sphère, c'est-à-dire au cas des axes concourants.

doux le même angle avec leur rayon vecteur. Il s'agit seulement de reconnaître qu'en prenant, à partir de M, deux arcs élémentaires égaux MN, MIV, les deux rayotis ON, ON7 auront encore pour somme OO'; alors, en effet, les points N, N' pourront être amenés à se confondre sur la ligne des centres, et les spirales seront par cela seul tangentes, puisqu'elles font le même angle avec tous leurs rayons vecteurs.

Si, pour le faire voir, nous abaissons NK, M¥J perpendiculaires sur OM, ON', les triangles rectangles MNK, MN'K' seront égaux comme ayant des hypoténuses égales et un même angle NMK = MN'K'; car c'est l'angle invariable des deux spirales. Dès lors MK = N'K', c'est-à-dire que l'augmentation de l'un des rayons est égale à la diminution de l'autre.

19. Comme la spirale logarithmique est une courbe ouverte, on ne peut en employer, pour cette transmission, qu'une portion limitée, qui s'étend au plus depuis son pôle jusqu'au rayon vecteur égal à la distance des centres. 11 sera donc nécessaire, pour obtenir la continuité de la transmission, de grouper plusieurs arcs de même nature. Pour obtenir la périodicité du mouvement, on disposera leurs cordes extrêmes suivant les côtés d'un polygone régulier

Pour compléter cette élégante solution, qui a été proposée par M. Wcissbach, je calculerai l'angle de la spirale qui correspond au polygone de n côtés. On sait, pour cela, que, si aB est l'angle constant de la spirale, elle a pour équation, entre les coordonnées polaires r et 0,

r0 étant le rayon extrême à partir duquel nous évaluons l'azimut 0. Si donc r, est l'autre rayon extrême, incliné sur le premier de la moitié de l'angle au centre du polygone,

GALETS DE TRANSMISSION Y AKl A.BLE. 45

c'est-à-dire de -> on aura n

- cotai>gaH rt = r,e

D'ailleurs,

ir

r, = r, cos n

on a par suite, en multipliant,

-cotanga, n

et, en prenant les logarithmes népériens,

- cotanga, -f- log.cos- = o.

On tire de là

tang oLn = —

n log.cos^

valeur essentiellement positive.

Le rapport des vitesses angulaires, qui est à chaque instant le rapport inverse des rayons vecteurs (3), se déduira facilement de l'équation de la courbe. Mais nous n'avons

mm

besoin que de connaître ses valeurs extrêmes, qui seront et — • Le rapport du minimum au maximum sera donc

( 2lY ou cos* j« Or, il devrait être l'unité dans une transmission uniforme 5 l'irrégularité sera donc mesurée (') par

I — cos1-* n

(•) On remarquera cette marche fort simple que nous appliquerons à tous les organes de transmission variable pour comparer leur degré d'irrégularité.

c'est-à-dire

On aura d'ailleurs évidemment, dans chaque tour et pour chaque pièce, nmaxima et n minima de vitesses.

Cetie solution a été appliquée pour le cas particulier du carré dans la machine à imprimer de Bacon et Donkin. Nous trouverons, en faisant dans les formules précédentes

m n ic

tanga — — - — 2 j — jogijî

4 log COS-r

on en déduit, en ayant soin de ne pas oublier que le logarithme appartient au système népérien,

L'irrégularité devient en même temps

de sorte que le rapport des vitesses atteint un maximum double de son minimum.