SECTIONS CONIQUES

20. Ellipse. — Une seconde solution repose sur l'emploi delà courbe telle que, pour chacun de ses points, la somme des distances à deux foyers fixes reste constante. On en déduit cette autre propriété, que la tangente est partout également.inclinée sur les deux rayons vecteurs. Cette courbe est appelée dans le plan ellipse, et sur la sphère ellipse sphérique. Je me bornerai encore à présepter pour l'ellipse

plane la démonstration qui convient également aux deux cas.

Nous emploierons deux ellipses égales assujetties à tourner autour de leurs foyers F, F', que Ton sépare par une distance égale au grand axe (PL /, fîg. 8). Il devient dès lors possible de leur donner une position initiale dans laquelle les deux grands axes sont dirigés suivant la ligne des centres, les ellipses se touchant par les sommets A et A', . Je prends, à partir de ces sommets, deux arcs égaux

Il suffit de montrer qu'après le roulement de ces arcs les deux ellipses se toucheront par sur la ligne des centres, c'est-à-dire que la somme des rayons vecteurs FH et F'ft sera égale à cette ligne des centres, et que les deux courbes feront avec ces rayons des angles égaux. On a, en effet,

Fû = f; a,

car ce sont deux rayons qui aboutissent à des points homologues dans deux ellipses égales. Par suite,

Fû -h F'tt

a la même valeur que

c'est-à-dire le grand axe ou la distance des centres. En second lieu, on a, par la même similitude,

TUF = THF;;

mais d'ailleurs, en raison de la propriété que j'ai énoncée pour l'ellipse,

THF', =T'nF'.

Par suite,

TnF=T'aF'.

Ces angles, étant égaux, peuvent être opposés par le sommet, de manière que les deux courbes présentent la même inclinaison sur la ligne des centres»

Le rapport des vitesses angulaires, qui est à chaque instant l'inverse de celui des rayons vecteurs (3), se déduira encore facilement de l'équation de l'ellipse. Mais nous n'avons besoin que de connaître ses limites, qui seront évidemment

en désignant, suivant l'usage, par e le rapport de l'excentricité au grand axe. Le rapport du minimum au maximum sera dès lors

et l'irrégularité

On n'aura d'ailleurs, dans chaque tour et pour chaque pièce, qu'un maximum et un minimum de vitesses.

21 . Hyperbole. — Ce mode de solution n'a été indiqué jusqu'ici que pour l'ellipse. Je vais montrer qu'on peut également employer les deux autres sections coniques, et d'abord l'hyperbole, c'est-à-dire la courbe telle, que la différence de ses distances à deux foyers reste constante.'

Il suffit, pour cela, de prendre (PL lf%fig» 9) deux hyperboles égales assujetties autour de leurs [foyers que l'on établit à une distance égale à l'axe transverse. On peut alors reproduire complètement la démonstration précédente; car l'hyperbole jouit, comme l'ellipse, de la propriété d'être partout également inclinée sur ses deux rayons vecteurs.

22. Parabole. — On peut de même se servir de deux paraboles égales (Pl. 1,fig* 10), dont l'une est assujettie

à tourner autour de son foyer F, et l'autre à prendre une translation rectiligne perpendiculaire à son axe F\ A',, le foyer de la première étant placé sur la directricede cette dernière.

On sait, en effet, que dans la parabole les distances de chaque point au foyer et à la directrice sont égales,

ce qui montre que les deux points réunis en XI sont homologues sur les deux courbes. Donc les angles FUT et FJ HT sont égaux; mais, d'après une autre propriété de la parabole, la tangente est également inclinée sur le rayon vecteur et sur l'axe. On a donc

F' = T'ftK,

et, par suite, les angles FflT et T'ftK sont susceptibles d'être opposés par le sommet, de manière que les courbes restent tangentes après que des arcs égaux Aïl et A\ il ont passé par roulement.