PROFILS DÉRIVÉS
23. Principe général. — Concevons qu'on ait trouvé une paire de courbes roulantes quelconques. Menons dans l'une d'elles une série de rayons vecteurs i u tin i meut voisins et marquons dans la seconde les rayons correspondants*, puis, cpncevons que Ton rapproche tous ces rayons les uns des autres en réduisant tous leurs angles dans un rapport fixe quelconque. Les courbes ainsi obtenues fourniront encore une solution de la question.
En effet il sera possible, comme dans le premier tracé, de placer bout à bout les rayons correspondants, car ils n'ont pas changé de longueur. De plus, si l'on fait coïncider successivement les directions de ces rayons, ce sera
à l'aide de rotations dont les rapports seront les mêmes que pour les courbes proposées, car les angles de ces dernières ont été réduils proportionnellement. Ce rapport sera donc l'inverse de relui des rayons des anciennes courbes, puisqu'elles roulent (3), et par suite des nouvelles, puisque ces rayons sont les mêmes. Il y a par suite encore roulement entre les profils dérives (').
(*) Je vais montrer que ce procédé de transformation n'est qu'un cas particulier d'un autre plus étendu, et qui est en môme temps le plus général que l'on puisse employer pour conserver la propriété des courbes roulantes. Nous nous proposerons pour cela le problème suivant :
Désignons par r, 9 et r', 0' les coordonnées de chacun des deux profil» proposés et par r\, 0 r' , û't celles des courbes dérivées. De quelle manière devra-t-on exprimer r et $ en r, et 0t pour qu'en transformant par les mêmes formules r', 0' en rj , &x les nouvelles courbes soient encore capables de se conduire par roulement?
11 faut, pour le roulement des deux premières, satisfaire à deux conditions :
. >d$ r'dô'
dr dr' '
dont la première permet de disposer deux rayons vecteurs sur la ligne des centres, la seconde exprimant qu'ils font le même angle avec les deux courbes. Nous devons donc faire en sorte que ces deux équations entraînent comme conséquence forcée
r,±,; = c<.nsl.,
quels que soient d'ailleurs les prolils considérés, c'est-à-dire eu laissant r et ù ou r, et 0, indépendants l'un de l'autre, ainsi que / ' cl 0' ou / ' et (/ .
i i r II
Il est clair d'abord, sans connaître encore les formules de transformation, que r±zr' dépendra de r, et / [ , mais la première condition exige que cette somme soit une fonction de r.rfcr' , afin que toutes les deux soient en même temps variables ou constantes :
/ rhr'=F(r,:±r;).
On en déduit et, par suite,
dr dr '
— consL — A.
En effet, ces deux expression* sont, par hypothèse, formées d'une manière
GALETS DE TRANSMISSION WRIABLE. 5l
21. Je placerai ici quelques propriétés générales de ces courbes qui ne me paraissent pas sans intérêt.
On sait, en premier lieu, que la sous-normale est le rapport des accroissements infiniment petits du rayon vecteur et de l'azimut. Pour des points correspondants, le premier reste le même, tandis que la variation d'azimut est réduite d'après le module de dérivation. Il s'ensuit que le rapport
identique, l'une en r, , l'autre en r' ; elles ne sauraient donc être égales qu'a la condition d être indépendantes de l'un et de l'autre de ces deux rayons. On tire de là
r = Ar, -4-/(0,);
car le ternie arbitraire introduit par l'intégration peut, jusqu'à nouvel ordre, dépendre de 0,.
Il faut encore que la seconde équation
dr' r' dr
entraîne comme conséquence forcée
Si donc on élimine entre ces deux relations le rapport - / j qui caractérise
par sa seconde courbe le système considéré, le résultat devra être une identité.
Pour faire cette élimination, je forme les différentielles totales
A %■«■/'(«,) dO dO dt\ do'
d7t' de, **■ de,
et, par suite,
On aura de même
dr'
dr' d0, fj d9t " j ';
^ ~ ££ ^1 ££1 d0* t>x dr*
dT7 df/ dtf dT7 r. J6~t~i~ d(/ Nous devons donc avoir identiquement, en substituant ces deux valeurs
des deux sous-norniales reste constant et égal à n. On peut dire également que le rapport des deux sous-langentes reste
constant et égal à - ; car le rayon vecteur, qui ne change
pas ici, est dans toute courbe la moyenne géométrique de la sous-tangeuie et de la sous-normale. On pourra donc d'après cela, et lorsqu'on connaîtra la tangente de la courbe
dons l'équation (i),
ce qui nous conduit à annuler séparément les coefficients des diverses puissances du rapport -^f qui caractérise par sa première combe le système considéré. On obtient ainsi les trois conditions distinctes :
i | (i) /'(«'l)jf[Ar,+/(».)]«[Ar'1+/(»'1)]^/'(»,). '
Si nous divisons membre à membre le» deux relations extrêmes, il Tiendra
Znr—Tno\ 1T' — const — IS»
ewt-û-dire
En divisant alors (3) et (a), on troure
A 1 B /' ( 5, ) ' ( * > AB/' (*J h- 1/' ( 0, ) ,
proposée, construire très-simplement celle du profil dérivé et faciliter ainsi son tracé par points.
En second lieu, les aires élémentaires du profil générateur et du profil dérivé peuvent être assimilées à des sec*
leurs de cercle d'angles dO et — Or des secteurs qui ont
fi
des rayons égaux sont entre eux comme leurs angles, et
ou, en réduisant, . ^
(G) (AB-t)^/'^)-/'^,)]»©..
Un premier moyen de solution consisterait à disposer des constantes en posant
AB — i = o, B = i« Nous aurions alors à intégTer l'équation différentielle partielle (5)
ce (jui se fera en posant
dj^ dr, . dO
A ~ /'(*.)" o ' = const. , A r, ■+■ j ( 0, ) = const. ,
. et enûn c'est-à-dire
ce qui est inadmissible, puisque 6 et r doivent rester indépendants. Il faut donc poser, pour satisfaire ù l'équation (6),
= : — = const. ,
ce ipii sera encore impossible, à moins de prendre
-/'(*,) = <>, /(*,) = const. = C,
car /'(*,) ne renferme pas r, et ne saurait le faire disparaître du premier membre.
Mais alors l'équation (4) disparaissant d'elle-même, les doux autres se réduisent à
fji(Ar,-4-C)= |r(Arî -+-C}= const. = D,
de /. c\ d$' / c\
dT\K^7j^dTi ^^-pj = const.= E,
par suite la première surface est égale à n fois la seconde. Le rapport des aires élémentaires, étant constant, sera encore le même pour les surfaces finies-, et par suité les aires des deux courbes comprises entre des rayons correspon-
dr% ~ Ar,-»-C' dOt
La première donne
U faut donc, pour que la seconde soit compatible avec elle, prendre
c'est-à-dire simplement
(7) ' ' = Ar,
pour la valeur de r; et, quant à celle de 0, en changeant les lettres qui représentent les arbitraires
ê$ .F dû drt-7t> d6t~ '
et, par suite,
(8) 6 =■ F log r, -r- C 6, ■+• H.
Les formules (7) et (8) font connaître la transformation la plus générale propre à conserver la propriété des courbes roulantes. Pour en déduire celle que nous avons considérée en particulier, il suffit de prendre
•n laissant G arbitraire.
On peut suivre pour les courbes sphériques nnc analyse touto semblable. En partant des formules de la page 33
on arrivera par des calculs identiques aux suivantes :
àO D dff Esin?,
d?t «n(Afl + C)' 49, aiu(APl+l,/ qu'on ne peut rendre compatibles qu'en prenant
dants ont jx>ur rapport invariable le module de conversion (*).
Ordinairement ce module est entier, la courbe génératrice est fermée, et, pour compléter le profil dérivé, on le
reproduit dans les n angles égaux à ^ que l'on peut former
autour d'un point. Dans ces conditions, on peut dire que le profil dérivé a la môme surface que la courbe génératrice, quel que soit le module. Si donc 1 économie de la matière méritait d'être prise en considération pour des pièces d'aussi
