MÉTHODE D'EULER

26. -Méthode générale. — On peut formuler une méthode générale pour trouver une infinité de solutions au problème des courbes roulantes, soit planes, soit sphériques; nous chercherons pour cela la courbe conjuguée

(•) Lmot, Géométrie descriptive, i834, p. i3a.

(•) Haton de la Goltillilre, Thèses de Doctorat, p. 17; chcï Ma Ile 1- Bâchelier, 1857.

(•) Voyet plu. loin (140).

d'une première ligne donnée arbitrairement par son équation en coordonnées polaires :

Si nous désignons par r\ ô' les coordonnées de la seconde courbe, nous aurons, d'après les formules fondamentales (3),

avec

Cette dernière devient, en multipliant ses deux membres par le temps dt ,

i/O' = - </0 = db t/ô,

Quant à la constante arbitraire, elle n'introduit aucune généralité, car elle correspond seulement au déplacement de Taxe polaire. Il ne reste plus, après l'intégration, qu'à éliminer le paramètre 0 entre les valeurs de r7 et 0'.

S'il s'agit de courbes sphéi iques, on se donnera la première par son équation

entre la colatitude cp et la longitude 0. On invoquera ensuite les équations fondamentales (3)

? + = «, wsin? ça w'sin»',

qui conduiront, par une marche identique, aux deux formules

entre lesquelles il restera à éliminer le

27. Exemple. — Il serait facile de retrouver par cette voie les solutions qae nous avons déjà étudiées -, mais il sera préférable d'utiliser cette méthode pour en déduire une nouvelle combinaison. Nous chercherons pour cela une paire de courbes telles, que, le mouvement de Tune étant uniforme, la projection de la rotation de la seconde sur la ligne des centres soit elle-même uniforme ( 1 ).

Cherchons d'abord l'équation de la première courbe qu'il faut employer à cet effet. Si nous désignons pour cela par (ù la vitesse angulaire de la rotation irréguliere dont la projection doit être uniforme, a>R sera la vitesse à la distance R, et wR sin0 sa composante suivant la direction fixe pour le point qui en est écarté de l'angle 0.

La vitesse angulaire de la rotation régulière sera, de son côté,

Comme d'ailleurs ces deux mouvements doivent être uniformes, leurs vitesses sont proportionnelles aux espaces correspondants ^R et rc, qui sont décrits simultanément pour un demi-tour. On a donc

RwsinO A — r aR ~~ «

Telle est entre r et ô l'équation de la courbe de rotation irrégulière. Il vient, en la résolvant par rapport à r,

7T sir» 0

it sinO -f- 2

(') Ces profils peuvent servir à mettre en rapport une manivelle uniforme et une tige dont on veut aussi rendre le mouvement uniforme. On les relierait, à cet effet, au moyen d'une bielle, dont nous négligerons l'obliquité, et d'un arbro intermédiaire aur lequel serait installée la seconde

Adoptant maintenant cette équation comme point de départ, il reste à lui appliquer la méthode d'Euler. Nous aurons pour cela, en invoquant la formule générale,

G'= J ~^—fiQ = ^ j sin0c/G = ^(i-cosÔ).

Nous avons vu que la valeur de la constaute est indifférente. Je la détermine dans l'équation précédente de manière que 0 et 0' s'annulent ensemble. De cette manière, les deux axes polaires se trouvent placés dans le prolongement l'un de l'autre pour la position initiale. Nous avons, en second lieu ,

\ 7T sin 6 2 / 7r sin 0 + 2

11 reste alors à éliminer 0.

Pour y arriver, nous tirerons de ces deux formules

cosG = î »

siu 6

ce qui donne, en ajoutant les carrés et supprimant les accents,