Méthode graphique. — On peut encore substituer

(•) Le type le plu» général des courbe* qui sont a elles-raème» leur

à cette méthode de calcul un procédé graphique. Pour le faire mieux comprendre, je l'expliquerai pour un excentrique particulier proposé par M. Morin; mais il sera facile d'en dégager le principe général.

Le mouvement uniforme qui est produit par la came en cœur (59, II) est le plus simple de tous; mais comme il est nécessairement alternatif, la transmission présentera des chocs aux deux points de raccordement. Il sera préférable, d'après cela, d'avoir une vitesse variable qui s'annule aux extrémités. Le mouvement le plus simple auquel on puisse recourir pour cela est le mouvement uniformément varié. On emploiera donc deux pareils mouvements se raccordant au milieu de la course par la même vitesse. L'espace étant proportionnel au carré du temps ou l'ordonnée au carré de l'abscisse, la courbe qui représente ce mouvement en coordonnées rectangulaires sera une parabole AB (Pi. Iyjîg- 18). On construira la parabole BG symétrique par rapport au point B, pour représenter la seconde période du trajet. Puis, après avoir divisé l'abscisse totale en un certain nombre de parties égales et l'espace angulaire autour d'un centre en autant de parties, on portera les ordonnées correspondantes suivant les rayons vecteurs, à partir du centre ou d'une circonférence de cercle. La loi de mouvement cherchée sera ainsi réalisée, et la condition des diamètres évidemment remplie; car la somme de deux rayons vecteurs opposés sera la somme de deux ordonnées également distantes des extrémités, et leurs longueurs sont visiblement complémentaires.

propre conchoïde est représenté par l'équation

aiiîr \4«K /

/ désignant une fonction arbitraire, mais périodique, qui ait p pour périodo; n reste en outre arbitraire.

65. Excentriques variables. — Toutes ces méthodes fournissent un tracé essentiellement fixe, et Ton a parfois intérêt à le faire varier. Un premier moyen, employé dans Y excentrique de Saulnier, consiste à disposer l'un contre l'autre deux excentriques réunis par un boulon (Pl. VI, jig. 101). Celui-ci les traverse de part en part à l'aide d'une rainure circulaire décrite autour du centre de rotation, de manière qu'on puisse décaler les pièces, les faire jouer l'une par rapport à l'autre et les caler dans une nouvelle situation relative. De cette manière, on fait varier les partics qui débordent Tune sur l'autre. Comme d'ailleurs le cadre sera conduit effectivement par un tracé discontinu, formé des arcs extérieurs de chacun des deux excentriques, il s'ensuit que le profil de transmission sera variable.

Un dispositif plus simple, réalisé dans l'excentrique Meycr (Pl. VII, Jig. 102), consiste à disposer par la pensée l'un au-dessus de l'autre, comme une pile de pièces de monnaie, des excentriques à ondes (59, I) variant d'une manière continue. Il suint de supposer que le cadre soit mis en regard de l'un ou de l'autre pour que la transmission varie. Pour plus de simplicité, on laisse le cadre fixe et on déplace l'excentrique daus le sens de sa propre tige, ce qui revient au même.

66. Loi du mouvement. — La troisième catégorie dérive de la seconde, en supposant simplement que le plan du cadre tourne d'un angle droit de manière à se confondre avec celui de l'excentrique. Le cadre devient alors un rectangle circonscrit à la courbe (Pl. VII , fig. io3). Mais ce simple changement altère profondément la théorie de l'appareil.

La conduite n'a plus lieu, en effet, en raison de la variation du rayon vecteur de l'excentrique, mais de celle de la distance du centre à ses diverses tangentes, c'est-à-dire du rayon vecteur de sa podaire ( 1 ) .

La théorie que nous avons présentée (52), étant appliquée sans modification, fera connaître l'équation de la podaire

et il restera à en déduire celle de l'antipodaire, c'est-à-dire de l'enveloppe des perpendiculaires élevées sur les rayons vecteurs par leurs extrémités. Or, cette perpendiculaire aura pour équation entre r'et 0'

r'cos(0' — *)=/■,

et par suite, la recherche de l'enveloppe reviendra à l'élimination de 0 entre les deux formules (*)

r'cos(0'— 9)=/(0), r'sin(ô'-ô)=/'(0).

( • ) On appelle ainsi le lieu des projections d'un point Axe sur les tangentes d'une courbe proposée qui prend alors le nom d'antipodalre.

(•) Si l'on prend, par exemple, pour podaire la spirale logarithmique dont la normale fait avec le rayon vecteur l'angle «, que l'on peut considérer comme compris entre zéro et le quadrant

r = e0 tanga,

les équations deviennent

r'cos(0' — $)=zeQ t«nga, r'sin(0'-.0) = e*tanB«. tanga;

en ajoutant les carres, on obtient

e6 tang«

COSK

et en divisant, au contraire, membre a membre,

tang(0' $) = tanga.

67. Exemple I. — Jiepos. — La podairc à employer est alors un cercle concentrique (53, I), et il est évident que son antipodaire sera ce cercle lui-même. Car un cercle est à lui-même le lieu des projections de son centre sur les tangentes (66, note 2).

Exemple II. — Transmission uniforme. — La podaire est alors une spirale d'Archimède (53, II). Je dis que son antipodaire sera une développante de cercle.

Soit, en effet, AD (PL 1, Jig. 19) une normale à la développante de cercle, tangente par cela même à ce cercle ou perpendiculaire à l'extrémité de OD. OD sera parallèle à la tangente AP, et par suite la projetante OP le sera elle-même à AD. La figure OPAD est donc un rectangle et le rayon vecteur OP de la podaire de la développante se trouve égal à AD. Mais cette dernière ligne n'est autre que Tare KD rectifié ; elle croît donc avec lui proportionnellement à l'angle qui sépare sa direction de celle de la tangente au point K. Ainsi le rayon vecteur OP varie proportionnellement à son azimut. Il appartient donc enfin à une spirale d'Archimède.

Éliminant d'après cela 0, il vient

,(«'-«)..ng, [,-(«*^)]»-.„

Ainsi, l'antipodaire d'une spirale logarithmique est une spirale égale tournée dans son plan de l'angle

log cos a

ItQf m

11 s'ensuit évidemment que la podairc d'une spirale logarithmique est do même une spirale égale tournée dans son plan et en sens inverse de ce même angle. La loi de conduite est donc la même pour cette rainure avec un cadre perpendiculaire ou avec un cadre circonscrit.

On peut, d'après cela, se proposer de trouver une spirale qui soit sa propre podairc ou antipodaire. Il suffira, pour cela, que la rotation no la déplace

Exemple III. — Transmission sinusoïdale. — La podaire est alors un cercle passant par le pôle (53,111), ou plus généralement un limaçon de Pascal qui en est la conchoïde. Nous avons vu, en effet (02), qu'une constante ajoutée sur tous les rayons agrandit le cadre, mais n'en modifie pas la marche.

Je dis que lantipodaire du limaçon dérivé du cercle Aï$ pour le point A (Pl. I, Jig. 20) est un cercle décrit de B comme centre, avec la longueur constante pour rayon. Si, en effet, nous menons un rayon quelconque BM de ce cercle, la tangente MP et la projetante APT celle-ci se composera du rayon vecteur AN du cercle primitif, plus la constante NP = BM. La projection P du point A sur les tangentes du cercle extérieur appartient donc au limaçon.

pas ou la ramène dans la même position. Nous poserons donc

log cos a

* -t — — = 2kn.

tanjja

Cette équation admet d'abord la solution

et = 3Â:r;

car on a

(log cos « \ o /— tanfja\

\ cos' a / a = 3 A 7r = ~(sin«cosa)a==aA7r=o.,

Mais, comme a est compris dans le premier quadrant, cette solution n*a de sens que pour A = o et n — o. Elle indique alors que la spirale dégénère en un cercle. Et, en effet, le cercle jouit évidemment de la propriété énoncée. Nous en verrons plus loin une application (G7, I).

Il ne peut, du reste, exister d'autres racines, car la dérivée du premier membre

loft cos« stn'a

est toujours réelle et positive dans le premier quadrant.

68. Méthode géométrique. — Le profil de l'excentrique, ainsi déterminé en vue de )a loi de mouvement que Ton veut réaliser, reste soumis à certaines restrictions analogues à celles que nous avons trouvées pour les cadres perpendiculaires, et qu'il nous faut de même approfondir.

On voit, en eflet, que les côtés du cadre dessinent deux tangentes parallèles du profil, et que les deux autres en marquent la distance. Ces derniers ayant une longueur invariable, il s'ensuit que les excentriques à cadre circonscrit sont nécessairement des courbes dont les tangentes parallèles conservent une distance constante.

Si donc on se donne une moitié du contour, l'autre partie sera l'antipodaire de la conchoïde de la podaire de la proposée. Ce point de vue fort compliqué se simplifiera dans un instant, mais il permet, dès à présent, de construire la courbe complémentaire comme enveloppe de droites. Nous pouvons même assigner sur chacune d'elles le point où elle touche l'enveloppe, et, par suite, tracer rigoureusement cette ligne par points et tangentes, suivant le mode employé ordinairement dans les arts graphiques.

En effet, si nous fixons par la pensée l'excentrique, le mouvement relatif du cadre sera celui d'un angledroit (Pl. /, Jig. 21) dont un côté AB passe continuellement par le centre O, et dont l'autre AM s'appuie en M sur l'arc proposé. Par suite, en menant la normale Mfl et la perpendiculaire OH, nous reconnaîtrons, comme nous l'avons déjà fait (i9). que U est le centre instantané (').

Si donc nous voulons savoir en quel point la droite NB touche son enveloppe, il suffit (VIII) d'y projeter norma-

(') Remarquons en passant ce théorème de Géométrie générale : Si Ton reut mener la normale en A à la podaire d'une courbe quelconque, il suffit de tirer A.Û, c'eat-a-dire de joindre le point décrivant au milieu K de la droite OM, qui va du pôle au point de contact

lement le centre instantané, c'est-à-dire de prolonger MCI jusqu'à sa rencontre en N. On voit par là que la corde de contact de l'excentrique et du cadre reste parallèle aux côtes transversaux.

On peut, d'après cela, se représenter le profil conjugué d'une manière beaucoup plus simple. En effet, MN étant la normale commune aux deux courbes, et restant constante, on voit que ces lignes sont partout équidistanlcs et forment un couple de courbes parallèles ou de développantes d'une même développée (*).

69. Exemple I. — Repos. — Le profil étant un cercle concentrique (67, I) de rayon R, la courbe conjuguée sera un autre arc de cercle concentrique de rayon A — R,si A est le côté du cadre.

Exemple II. — Transmission uniforme. — Le profil étant une développante de cercle (67, II), la ligne conjuguée sera une courbe égale, car toutes les développantes d'un même cercle sont identiques.

Exemple III. — Transmission sinusoïdale. — Le profil étant un cercle excentrique de rayon R (67, III), la ligne conjuguée sera un autre arc de cercle concentrique à celuici et de rayon A — R. Celte solution ne diffère en rien de celle du premier exemple, le profil commun tourne seulement, dans le cas actuel, non plus autour de son centre, mais autour d'un point excentrique.

70. Quant à la condition de raccordement aux extrémités entre un arc et l'arc conjugué, elle se réduit à ce que la corde extrême soit normale en ces deux extrémités à Tare proposé, et égale à la distance consume des tangentes.

(') Par exemple, le profil conjugué d'une spirale logarithmique, d'une cycloïde ou d'une épieyclofde fera une développante de spirale égale, de cycloîde égale ou d'épicycloide semblable.

Si l'on veut qu'il y ait symétrie dans la conduite, il suffit de se donner un quart du profil et d'en déduire le second par la symétrie, après quoi Ton rentrera dans le cas précédent. Le quart proposé devra, par suite, avoir ses tangentes extrêmes perpendiculaires Tune à l'autre, pour que la condition précédente soit satisfaite et qu'il y ait également continuité entre les deux portions symétriques.

71. Méthode analytique. — Pour procéder par la voie analytique dans la recherche du profil conjugué d'une courbe

prenons l'équation de sa tangente

et déduisons-en celle d'une droite menée parallèlement à la distance A,

Pour trouver l'enveloppe de cette droite, il nous faut éliminer x entre son équation et sa dérivée relative à x,

Nous remarquerons que f"[x) est facteur commun et constitue une solution étrangère. Si, en effet, on l'annule, on obtient un certain nombre de solutions déterminées, et, en les reportant dans l'équation précédente, elles fournissent seulement le système des droites menées à la distance voulue, parallèlement aux tangentes des points d'inflexion du profil proposé. Supprimant donc ce facteur, il reste

On en tire

et 1 équation de l'enveloppée devient alors

C'est entre ces deux relations très-simples qu'il restera dans chaque cas à éliminer x pour avoir l'équation du proûl complémentaire.

Si l'on applique, par exemple, cette méthode à l'équation du cercle, j on trouvera, comme nous l'avons vu (69, I), celle d'un cercle concentrique de rayon A — R. Cette solution a été appliquée dans les machines sous deux formes différentes que je vais indiquer.

72. Excentrique circulaire à cadre. — Si l'on prend A = 2R, l'arc conjugué est le prolongement du demi-cercle proposé, et l'on obtient un noyau complètement circulaire installé autour d'un point quelconque autre que son centre. Nous avons vu d'ailleurs (67, III) que le cadre est alors animé d'un mouvement sinusoïdal dont la course est double de l'excentricité.

Excentrique triangulaire. — Si l'on prend A = R, le cercle conjugué se réduit au centre, disposition que l'on réalise de la manière suivante (PL VII, fig. io3). On décrit sur chaque côté d'un triangle équilatéral et du sommet opposé un arc qui est dès lors de 60 degrés 5 la figure formée par ces trois arcs est appelée excentrique triangulaire, et l'on doit la faire tourner autour de l'un de ses sommets.

Le mouvement est périodique à chaque tour, chacune des périodes comprend un aller et un retour symétriques, et chacune de ces courses simples trois phases dont deux

EXCENTRIQUES A CADRE. Cp

de mouvement sinusoïdal symétriques Tune de l'autre, et la troisième de repos ou d intermittence, ^ous avons reconnu en effet que Tare de cercle concentrique est le profil de repos (67, I), et que l'arc de cercle tournant autour d'un de ses points est le profil de transmission sinusoïdale (67, III).

Si d'ailleurs, pour mettre le détail du mouvement en évidence, nous considérons l'excentrique dans les trois positions OAB, OBC, OCD (PL II, fig. 22), les deux premières phases comprendront le passage de OAB en OBC et de OBC en OCD, et seront évidemment symétriques par rapport à la position moyenne. Si l'on effectue encore, à partir de OCD, une rotation de 60 degrés, Tare CD glissera sur lui-même sans déplacer le côté DT du cadre, et, par suite, celui-ci restera immobile pendant cet intervalle.