ENGRENAGES PLANS

des deux corps qui doit conduire l'autre, des périodes pendant lesquelles les rayons vecteurs sont croissants, ce qui produit en effet la conduite, mais aussi d'autres intervalles pendant lesquels les rayons iront en décroissant, et la transmission s'arrêtera, puisqu'il n'y a pas attraction de la substance de l'une des courbes pour celle de l'autre. Cette difficulté, dont je n'ai pas parlé alors, se lèvera en adaptant aux galets, dans ces intervalles, une denture dont l'engrène» ment entraine le second corps. Le tracé de ces engrenages, pour lequel on ne donne d'ordinaire aucune règle, sera fourni justement par la théorie généralisée comme je viens de le dire.

Je commencerai par réduire les difficultés de la question en l'envisageant d'abord dans un plan, et cherchant simplement à armer deux centres de rotation de courbes planes qui engrènent.

74. Si nous réduisons par la pensée l'une des deux dents au repos (XXI), le mouvement relatif de l'autre sera un mouvement plan, et à ce titre (IX) on peut le considérer comme le roulement de deux courbes qui sont le lieu des centres instantanés dans l'espace absolu et dans la figure mobile. Le problème se transforme donc de la manière suivante : Deux lignes, qu'on appelle primitives, C, C, roulant l'une sur l'autre, les armer de deux autres courbes ou dents D, D' qui restent continuellement en contact. Dès lors il se subdivise en deux questions distinctes. En premier lieu, trouver des couples de courbes roulantes : c'est un problème déjà résolu (chap. 1 et II), et aux solutions duquel nous n'avons qu'à nous reporter. En second lieu, deux courbes primitives étant données, leur adapter des couples de dents. Ce second problème est encore indéterminé, et, pour un système roulant assigné arbitrairement, il existe une infinité de systèmes glissants. On peut, pour

les trouver, employer deux méthodes également générales que je vais faire connaître. La première est due à M. le général PooccJet,

75. Méthode des ekvbloppes. — Désignons par C la courbe fixe et par C la courbe mobile qui prend les positions consécutives C, Ct Cf.... Choisissons arbitrairement une dent D pour l'adapter à C, et désignons de même parDt D, D„. . . ses positions successives. Concevons l'enveloppe D' de celle série de courbes : ce sera év idemment la dent conjuguée qu'il faut adapter à la roue C, car c'est une ligne tangente à D dans toutes ses positions.

Ce principe semble exiger le tracé d'une courbe enveloppe, opération graphique peu satisfaisante. On peut, pour plus de précision, assigner le point de contact situé sur chaque enveloppée. ISous savons, en effet (MU), qu'il suflit pour cela d'y projeter le centre instantané, cYst-àdire le point de contact actuel des courbes roulantes, qui en sont toutes les deux le lieu. De là un principe général et fondamental dans la théorie des engrenages plans : La normale commune des t lents passe nécessairement parle point de contact des courbes primitives.

On peut encore apporter plus de précision et de simplicité dans le tracé graphique en évitant la reproduction de la courbe D dans tontes ses positions D, D, D, . . . et construisant tous les points de D' à l'aide d'un seul tracé D. Si nous prenons en effet (PL 11, fig. a3) en ftft' un arc égal à Xlll', , nous aurons en £V le poiut que le roulement amène en iï , et par suite, en abaissant £lf M normalement sur la courbe D, nous obtiendrons Û'M dans la première position, car cette droite n'a pas cessé de faire un angle droit avec la courbe proposée D. Il suffira donc de mesurer la longueur de cette normale et l'angle qu'elle fait avec la ligne C en LV pour la reporter sous cette inclinaison et

BMC REff AGES EtARS. 99

avec cetle longueur en ft', M,. On aura ainsi le point M, , et sa tangente s'obtiendra en élevant une perpendiculaire à 17, M, .

On abrégera encore en opérant de la manière suivante. On prendra sur C une série de points que Von reportera sur C en y prenant des arcs égaux. De chacun d'eux on essayera une ouverture de compas, en la rétrécissant jusqu'à ce que le cercle décrit cesse de couper la courbe pour la toucher. La droite qui joindrait le centre au point de contact sera la normale de cette ligne, comme étant celle du cercle tangent. On reportera alors la pointe du compas, sans changer son ouverture, au point correspondant de C et on décrira un arc de cercle. Il contiendra le point M t , comme ayant pour rayon £1, M, , et sera tangent à D', puisque la v normale de cette courbe est un de ses propres rayons. Cette courbe, étant tangente à tous les arcs de cercle ainsi décrits, pourra être tracée comme leur enveloppe. On évitera ainsi l'emploi peu satisfaisant du rapporteur pour la reproduction d'angles nombreux.

76. Méthode de3 houlettes. — Prenons, outre les courbes primitives C, €', unè troisième ligne arbitraire A et faisons-la rouler sur C pendant que C roule sur C, de manière que les trois courbes restent continuellement tangentes. Au même point il y aura, par cela même, roulement de A sur C, puisque ce mode de mouvement revient à l'application d'ares égaux les uns sur les autres. Un point quelconque M, pris sur la circonférence de A ou plus généralement dans son plan, décrira une trajectoire D' dans l'espace absolu; il en parcourra une autre D dans le roulement relatif à la courbe G, trajectoire que l'on se figurera plus facilement en fixant par la pensée la ligne C pour y faire rouler A. Je dis que D et D' fournissent une paire de dents.

En effet ces courbes se rencontrent, puisque c'est le même point qui les décrit toutes deux, et elles sont tangentes comme ayant môme normale : car la normale à la trajectoire d'un point d'une courbe roulante s'obtient (VIII) en joignant Je point décrivant au point de contact des courbes proposées, qui est le centre instantané (XXII), et ce point de contact est le même pour les deux modes de généralion. Nous vérifions ainsi de nouveau que la normale commune des dents passe par le point de contact des lignes primitives.

77. Celte méthode est plus simple que la précédente, mais moins directe, en ce que le choix arbitraire porte sur une courbe auxiliaire A et non sur Tune des dents que Ton veut employer. Ou peut montrer, du reste, d'après une remarque de M. Airy, qu'elle a exactement la même porlée que la première, c'est-à-dire qu'on peut toujours trouver une courbe A telle, qu'en la faisant rouler sur une ligne donnée C, un de ses points engendre une autre ligne donnée D.

Prenons, en efTet, le point M mobile de la Courbe inconnue A comme centre d'un système de coordonnées polaires, la droite qui va de ce pôle M au point quelconque CL de A est la normale de D comptée jusqu'à C. D'après cela, puisque C et D sont données, on peut considérer comme déterminé pour chacune de ces normales r l'angle qu elle fait avec la courbe C, ou, si l'on veut, la tangente trigonométrique de cet angle sous la forme f(r). Mais la ligne A, étant tangente à C, fait le même angle qu'elle avec le rayon

vecteur, et a ce titre cette tangente a pour valeur On aura par suite, pour la courbe inconnue A :

ENGRENAGES TLANS. 101

d'où son équation finie

On trouvera donc toujours une courbe A remplissant la condition voulue, sous la seule réserve que les normales de D rencontrent C.

78. Exemple I. — Cherchons une courbe qui, en roulant sur une droite, engendre une autre droite.

L'angle que la normale de D fait avec C sera alors constant, et nous poserons

il vient, en intégrant,

mQ = logr — logC, r=Cem0,

équation d'une spirale logarithmique.

Exemple II. — Cherchons de môme une courbe qui, en roulant sur un cercle, engendre la développante d'un cercle concentrique intérieur.

La normale de celte développante fait encore un angle constant avec le cercle extérieur. Le calcul que nous venons de faire s'appliquera donc de même, et on retrouvera une spirale logarithmique. Le problème précédent n'est qu'un cas limite, vers lequel on tend eu augmentant indéfiniment les rayons des cercles.