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EXEMPLES
79. Je choisirai, pour montrer des exemples définitifs delà théorie précédente, les appareils employés dans Fin
Di
dusiric. On s'y assujettit toujours à conserver un rapport constant de vitesse. jSous avons vu qu'alors (1) le système correspondant de galets est formé de deux cercles qu'on appelle cercles primitifs, et qui peuvent être extérieurs ou intérieurs.
Engrenage à /(interne (*). — La dent mobile D est un cercle ou fuseau dont le contre se trouve sur la circonférence primitive C (Pl. KJIffig. io4). Ce point décrit ainsi une épicycloïde. Or, quelle que soit la route que parcou 1 1 le centre d'un cercle, on sait que son enveloppe est une courbe parallèle, cVst-à-dire une autre développante de la môme développée (*). Comme d'ailleurs la développée d'une épicycloïde est elle-même une épicycloïde, il s'ensuit (pie la dent conjuguée D' ou X alluchon est une développante d'épirycioïde. Mais comme cette courbe présente un rebroussement sur la ligne des centres, on ne peut employer que l'une de ses branches, et de cette manière la conduite n'a lieu que d'un côté de la ligne des centres.
80. Engrenage à développantes. — La dent mobile est une développante D d'un cercle Ci intérieur et concentrique à C. Aous avons trouvé (78) que la roulette auxiliaire A est une spirale logarithmique qui décrit par son pôle cette développante quand on la fait rouler sur C. D après cela, la dent conjuguée D', qui s'obtient (76) en faisant rouler cette même spirale sur C, sera pour la même raison la développante d'un cercle C, intérieur et concentrique à C,. 11 n'y aura d'ailleurs aucun point singulier
(') Jo me borne ici à ce qui est nécessaire pour faire comprendre les exemples. J'ai dunué, dans mon Traité théorique et pratique des Engrenages, des détails très-circonstanciés qui dépasseraient ici les limites du cadre dont je dois conserver les proportions.
(•) UATOS DK LA GoUI'JLDËHKf Calcul mfuutâunuii , p. 194.
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sur la ligne des centres, et ia conduite aura lieu de part et
d'autre.
On remarquera que toutes les roues à développantes peuvent engrener ensemble, car le rayon de l'une ne détermine en aucune façon celui de l'autre, comme cela avait lieu par exemple dans l'engrenage à lanterne. C'est un avantage qui mérite d'être remarqué, car si une des roues vient à se briser, l'autre reste en état de servir. En outre, s'il est nécessaire que les roues puissent s'écarter ou se rapprocher, comme dans les laminoirs, la conduite n'en a pas moins lieu. Il suffit simplement de changer, par la pensée, de cercles primitifs. Enfin une roue peut en conduire à la fois plusieurs autres dissemblables, si cela devient nécessaire, dans un cas donné.
On remarquera encore qu'une usure constante ne modifie pas le profil des dents. Elle le remplace en effet par une courbe parallèle ou une seconde développante de cercle ; et toutes les développantes d'un même cercle sont identiques.
81. Engrenage à èpicycloïdea . — La roulette auxiliaire A est un cercle quelconfjue, et le point décrivant M est pris sur sa circonférence. Il s'ensuit que les dents D, D' sont les épicvcloïdes engendrées par le roulement de A sur CetC.
Engrenage à flancs, — On simplifie le système en supposant que le diamètre de A soit le rayon du cercle C, auquel il est intérieur. Dans ces conditions, l'épicycloïde D, engendrée par le roulement de A à l'intérieur de C, dégénère en nn diamètre de ce cercle que Ton appelle le flanc. En effet [PL ll,fig. 24), les arcs ntîl et il/M, sont alors égaux comme mesurant un même angle H, OU, qui est angle au centre du cerde de rayon double et angle inscrit dans le cercle de rayon moitié. Donc M est la position de ft,
to4 ÉTUDE GÉOMÉTRIQUE DES MÉCANISMES.
après un roulement effectué sur l'arc ftft, et par suite ce point ne quitte pas ie diamètre Oïl ( 1 ) .
Engrenage à flancs réciproque. — Lorsque le contact arrive sur la ligne des centres, il atteint le rebroussement de l'épicycloïde et géométriquement il doit passer sur la branche suivante; mais comme celle-ci ne saurait exister matériellement en même temps que la première, le contact cesse, de sorte que la conduite n'a lieu que d'un côté de la ligne des centres. Pour obvier à cet inconvénient, on double l'appareil (Pl. II,Jig. s5) en imaginant un cercle A', moitié de C, qui remplisse les mêmes fonctions que A par rapport à C. Par là chaque dent se trouve formée d'un flanc et d'une épicycloïde.
On s'assurera facilement (Pl. II,Jtg. 26) que cette combinaison ne saurait être réalisée avec des cercles primitifs intérieurs, car l'une des épicycloïdes, au lieu d'être en prolongement du flanc correspondant, formerait avec lui un rebroussement impossible à réaliser.
82. Crémaillère. — Si nous imaginons qu'un des rayons primitifs croisse jusqu'à l'infini, la vitesse angulaire, qui est en raison inverse (3), devient nulle, et le mouvement se change en translation (Pl. VII, fig. 107). La crémaillère sert donc à transformer une rotation en une translation. 11 en existe une infinité dont on obtiendra les profils en passant à la limite dans les solutions précédentes.
(') On roit par là que les sommets d'un polygone régulier inscrit au petit cercle décritent, lorsque les deux roues tournent sur leurs centres, les rayons d'une étoile régulière dans le grand cercle. On a utilisé cette propriété) en figurant ces sommets par des boulons que des bras relient au centre du petit cercle, et ces rayons par des rainures rectilignes pratiquées dans le disque du grand cercle. La rotation du premier détermine alors celle du second. Dans le modèle adopté, la petito roue a trois bras et la grande trois diamètres ou lit rayons.
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Nous rencontrons d'abord deux sortes de crémaillères à lanterne. Si on adapte les fuseaux à la roue, l'alluchon de Ja crémaillère est une développante de cycloïde-, si on adapte, au contraire, le fuseau à la crémaillère, l'alluchou de la roue est une développante du cercle primitif.
Dans l'engrenage à développantes, la courbe devient rectiligne lorsque la courbure du cercle concentrique au cercle primitif diminue jusqu'à zéro, et l'on a une crémaillère à plans inclinés.
Il existe encore deux crémaillères à flancs. On peut, en eflet, faire porter le flanc par la crémaillère, et la courbe de la roue devient la développante du cercle primitif; ou adapter le flanc à la roue, et la courbe de la crémaillère se change en cycloïde. La réunion des deux systèmes fournit la crémaillère à flancs réciproques (PL II, Jig. 27).
83. Épures d'engrenages. — Pour produire la conduite d'un arbre par l'autre, une seule dent suffirait au point de vue géométrique; et même, dans la réalité, on peut citer la cisaille ou la presse à excentrique (Pl. III, Jig. 36) comme exemple d'un engrenage d'une seule dent qui est un cercle excentrique conduisant uu autre engrenage d'une seule dent, à savoir une droite. A la vérité, le rapport des vitesses n'est pas constant (244) ; mais nous avons écarté ci-dessus cette restriction (73).
84. Cependant le caractère distinctif d'un engrenage, lorsqu'on se préoccupe du frottement, est, comme je l'ai expliqué (XXV ), la reproduction répétée d'une dent de faible dimension. Pour constituer dans ces conditions une roue dentée à l'aide de l'une quelconque des solutions précédentes, on divise le cercle primitif en un nombre entier de parties égales qui formeront autant de dents. Ce nombre est appelé le module, et l'intervalle le pas. On prélève, dans la pratique, ~ à 7; du pas pour former le jeu, et on
répartit le reste entre le plein et le vide en raison inverse des résistances spécifiques des matières de la roue et de sa conjuguée. Cette division se fera donc en parties égales si cette substance est la même pour les deux. Les points ainsi marqués servent d'origine aux deux séries de lignes destinées à former les faces de chaque dent. On termine les dents à l'extérieur par un cercle dit d'èclianfrinemcnt, et on les relie Tune à l'autre à l'intérieur par un autre cercle dit d* avidement.
Pour déterminer leurs rayons, on s'impose habituellement la condition d'avoir continuellement trois couples en prise. D'après cela, on porte sur les cercles primitifs C, C, à partir de leur point de contact Q. (PL H,fi$. 28), deux arcs ft IN, il iV représentant trois pas ou un pas et demi, suivant que, dans la solution employée, la conduite s'effectue d'un seul côte ou de part et d'autre de la ligne des centres. On construit en NM, N'M' les positions correspondantes des dents, et, pour connaître le point de contact actuel, on y abaisse de H des normales en £2 M, ftM' (75). Les dents doivent dès lors cesser à partir de ces points, et par suite OM', O' M sont les rayons des cercles d'échanfrincment A, A'. Quant à ceux des cercles d'évidement B, B', ce sont, au jeu près, les différences de ceux-ci à la ligne des centres. Il est, en effet, inutile de refouiller chacune des roues plus qu'il n'est nécessaire pour le passage des saillies de l'autre, et par suite chaque cercle d'évidement doit être tangent au cercle d'échanfrinement conjugué. On termine en arrondissant par de petits arcs de cercle les angles ou rentrants, que présente encore le tracé.
E> G H E.\ A.G ES PLAK6. IO7
