COURBURE DES ENGRENAGES

85. Formule de Savary. — Supposons qu'une ligne quelconque a roule sur une autre a' (PL II,fig. 29). Une courbe a est liée à a et enveloppe dans son mouvement une quatrième ligne a'. Il existe nécessairement une relation entre les courbures aux points de contact simultanés, de telle façon que, trois d'entre elles étant données, la dernière puisse s'en déduire.

Pour trouver cette relation, menons la normale commune oo' des courbes a et a'. Si nous prenons deux arcs infiniment petits égaux mm j = mm{ = ds, leurs extrémités m, et m\ viendront plus tard en contact. Les normales mxo et m\ol de ces points se trouveront alors en prolongement, et par conséquent la rotation éprouvée par la figure mobile sera la somme des angles momi et mo' m\. Il est clair, du reste, que ces normales déterminent par leur intersection avec les premières les centres de courbure o et o' des lignes a et a'.

Menons de même la normale commune coa/ des courbes « et a'. Nous savons (75) qu'elle passe nécessairement par le point de contact des courbes roulantes, c'est-à-dire par m. Les normales qui viendront au second instant coïncider sont, d'après cela, celles qui aboutissent en mt et m\, puisque ce sont ces points qui forment alors le contact de a et Il suffit donc de mener m,^ et m\p\ normalement à a et a' . Ces droites déterminent les centres de courbure 6> et «'et elles viendront se mettre en prolongement l'une de l'autre après une rotation égale à la somme des angles et fA'wf/, .

Le déplacement angulaire se trouvant ainsi exprimé de

deux manières différentes, on peut poser

momx mo'm\ — p-wp, pw'j*', .

Désignons par r et p et p' les rayons de courbure des lignes a et a'% a et a'. Appelons aussi d la distance rtift des deux points de contact, et Q l'angle des deux normales communes. On a d'abord

mmt ds

momx =: rr= — ,

ma r

. , mm. fis

et ensuite, en abaissant m h et mhf perpendiculairement sur wjut, et w'/jl',,

<frcos0

lit w

r/jcosG

il vient donc, en supprimant le facteur ds^

Telle est la relation cherchée.

Pour la généraliser complètement, il suffit de supposer que les rayons r, iJ et p, p' puissent devenir négatifs quand le sens de la courbure est l'inverse de celui que nous avons supposé. Il est clair, en effet, que les rotations partielles correspondantes sont alors de sens contraires et qu'elles se retranchent au lieu de s'ajouter. En même temps, la position de d change par rapport à p et p', et les termes.

p -h fi p'—et

deviennent, soit ensemble, soit séparément,