ENGRENAGES PLANS. IO
ce qui peut s'exprimer ainsi par le seul changement de signe des rayons p et p' :
Ce problème comprend en particulier celui des roulettes. Si, en effet, au lieu de considérer a' comme l'enveloppe d'une ligne donnée a, on l'envisage comme la trajectoire d'un point a lié à la courbe «, il suffira de considérer a comme un cercle de rayon infiniment petit, ou de faire dans la formule générale p = o.
86. La formule (i) peut s'interpréter d'une manière fort simple (Pl. JI,Jig. 3o). Elle exprime, en effet, que les droites ow, o'w' qui joignent deux à deux les centres de courbure des lignes a, a et a', a' se rencontrent sur la perpendiculaire mp élevée au point de contact m des courues roulantes sur la normale commune uw' des courbes enveloppes.
Pour le faire voir, abaissons de o et o'ies perpendiculaires 0/7, o'q' sur &>o>'. Puis calculons mp en considérant d'abord p comme situé sur la droite ow. Les triangles semblables won, iùpm donnent pour cela la proportion
pm oq mm «7
Mais on a d'ailleurs, dans le triangle rectangle moq,
w m =■ -h m p = p -f- d, oq = om.$\nomq = rsinÔ, w<7 =«/7ï — qm z= (p d) — rcosÔ,
et par suite
(ù-\-d)rs\n 0
pm = — — .
(p -h f/j — rcosô
Si l'on calcule de même pm en considérant maintenant p
comme situé sur la droite o'ot/, on déduira de la similitude des triangles v'o'q' et ta'pm
(p' — d)r'ùn9 Pm-r«**-tf-d)
Or, la formule (i) peut s'écrire ainsi
cosG i i cosO
pH- d "r r' " * p' — d 1
ou encore
rcosO — (/>-+-</) (pr — d) — r'cosô (P +<<)'• (P'-^)'''
Ces expressions renversées sont, au signe près et sauf le facteur sin9, celles que nous venons de trouver successivement pour les longueurs interceptées sur la perpendiculaire pm par chacune des droites owct o'ù/. On voit donc que ces trois droites se rencontrent au même point.
87. On déduit de là une construction fort élégante de l'un quelconque des centres de courbure, quand on connaît les trois autres. On choisira en effet par mi ces derniers les deux qui se correspondent. On les joindra par une droite que Von prolongera jusqu'à la rencontre de la perpendiculaire mp, puis, joignant le point p au tr oisième centre, on obtiendra le dernier à V intersection avec celle des deux normales communes sur laquelle H doit se trouver.
On remarquera que le point jut de contact des enveloppes ne joue aucun rôle dans cette construction. Si donc on substitue successivement à a les diverses développantes de sa développée, le point changera, mais c*> restera le même, par suite aussi &/. On obtiendra donc pour enveloppe les diverses développantes de la développée de a'. En d'autres termes, il suffit qu'une courbe a en enveloppe une autre a' pour que toute la série des courbes
EMC REMAGES PLA>§. III
éqiùdistcuites à a enveloppe la série des combes éqiùdislanlas à a'.
88. Tracé approximatif de Willis. — Dans la pratique les dents sont toujours nombreuses et courtes (XXV). Leur courbure varie doue dans d'étroites limites, et ou peut, quand on se contente d'une approximation, les considérer comme un are de cercle. On a été pendant longtemps dans l'usage de prendre pour centre de chaque dent la base de la suivante. Cette méthode est grossière et sans aucune raison d'être. Il faut au moins, pour que l'arc de cercle puisse remplacer le profil exact, qu'il ait le même centre de courbure en un point moyen.
C'est en partant de ce principe que M. Willis est ar- . rivé à simplifier le tracé des engrenages par uue méthode qu'il a introduite dans les ateliers anglais (Pl. Il ,fig. 3i). Il remplace pour chaque roue le flanc et la courbe par deux arcs de cercle dont les centres se déterminent de la manière suivante.
On mène encore par le point m une droite mw sous l'angle de degrés, et on lui élève la perpendiculaire ppt que l'on prend égale des deux côtés et moindre que le plus petit des. rayons primitifs. En se servant d'abord du point p, sï on le joint à o et 0', on trouvera en w et 00 ' deux points que l'on peut considérer comme des centres de courbure correspondants (87). La valeur absolue des rayons de courbure restant arbitraire, on prend un point fx sur le cercle C à un demi -pas de la ligne des centres, et les rayons de courbure son»! «f* pour le flanc D de la roue C et «'u^ pour la courbe D' de la roue C. En, se servant de même du point on trouve à l'aide de opi et o'px les points (ùt et w'; puis prenant à» un demi-pas de m sur le cercle C, on adopte les rayons w, u, pour la courbe Dt de la roue C et co't fx, pour le flanc D', de la roue C
lia ÉTUDE GÉOMÉTRIQUE DES MÉCANISMES.
Pour simplifier le tracé, on mène comme tout à l'heure de o comme centre avec ow et ou,, puis de o' avec o'w' et o'w'( comme rayons, quatre cercles qui seront les lieux des quatre rentres de courbure respectifs. On s'est borné sur la fig. 3i à décrire des centres fi, ftt et û', £l\ les profils DD, et D'D',.
89. Pour faciliter l'emploi de sa méthode, M. Willis a imaginé une sorte de règle graduée qu'il appelle odontographe (PL VII, fig. xo5). Cet appareil, qui est rapporté au pied anglais, aurait besoin de subir une transformation pour être introduit dans les ateliers du continent. Voici du reste en quoi il consiste.
, L'instrument porte sur son plus grand bord une double graduation qui part du zéro et s'étend à la fois vers a et vers b. Un côté oblique s'éloigne du zéro sous l'angle de 75 degrés. Enfin la règle renferme deux tables, A et B, qui font connaître suiv ant le pas et le module les distances du point de contact des cercles primitifs aux deux centres de courbure du flanc et de la courbe. Indiquons maintenant la manœuvre de l'appareil.
On marque sur le cercle primitif C un pas mm que l'on divise en deux parties égales au point p (Pi. 11, fig. 3a). On mène les rayons o'm de ses extrémités. Puis on applique sur chacun d'eux le bord oblique de l'odonlographe en faisant affleurer la règle graduée à l'extrémité correspondante m. Le zéro tombe par cela même au point m. On trouve dans la table A la distance m v/ du centre de courbure du flanc et on la prend sur la graduation a, de manière à obtenir le point w', d'où l'on décrit le cercle D',. On lit d'autre part dans la table B la distance mu' du centre de la courbe et on la compte sur la graduation b. On trouve ainsi le point w'd'où l'on décrit le cercle D'.
ENGRENAGES PLAKS. I I 3
Il est clair, en effet, que la" position de gauche reproduit identiquement les conditions de la Jig.'Si. Il en est de même pour l'autre, mais par rapport au point y.' qui serait pris symétriquement de l'autre côté de m. Il est nécessaire de dédoubler ainsi l'opération, attendu que sur la Jig. 3i les cercles des dents doivent être décrits l'un de w' par le point fi, et l'autre de w', par p, qu'on peut confondre avec p-, tandis qu'ici les deux arcs doivent partir du même point u. (Jig* 3a), ce qui oblige, quand on veut décrire le second, à faire touruer toute la Jig. 3i d'un pas vers la droite.
