SURFACES DES ENGRENAGES. 1 I

sous cela pour chaque instant en laissant même varier d'une manière continue l'inclinaison de cet élément, nous décrirons par rapport aux deux corps deux zones inûniment étroites qui se touchent constamment sur les cylindres primitifs. En effet, elles ont actuellement en commun l'élément qui les décrit toutes les deux, et celui qui appartient à la fois à det df. Cela fait, si nous prolongeons arbitrairement l'élément générateur par deux courbes quelconques (S) et (£>' qui soient seulement assujetties à varier elles-mêmes d'une manière continue, elles décriront deux surfaces D et D' qui remplissent les conditions voulues.

95. Exemple. — Engrenage de JVhite, — Cet appareil a été réalisé par Hooke et construit de nouveau par White en simplifiant, autant que possible, les moyens de solution.

Les cylindres primitifs sont circulaires (Pl. VII, fig. 108). La directrice d est une hélice, il en est par suite de même de d! . L'élément générateur garde constamment la même inclinaison et reste situé dans le plan des deux axes. Il décrit ainsi deux zones tangentes à des héliçoïdes gauches. L'engrenage de White est donc celui de deux vis excessivement étroites ou mieux de deux surfaces se raccordant avec elles le long d'une hélice. On l'appelle aussi engrenage de roulement ou engrenage de précision. On ne l'emploie guère, en effet, que dans les appareils de précision, car il est alors encore plus nécessaire d'atténuer les frottements, et dans les machines de force, la pression mutuelle ne s'exerça m que par un seul point désorganiserait la matière dans les environs.

M. Breguct a employé avec succès ces engrenages pour réaliser des vitesses angulaires tout à fait exceptionnelles, d'environ huit mille tours par seconde.

Il 8 ÉTUDE GÉOMÉTRIQUE DES MÉCANISMES.

SU- AXES CONCOURANTS.

9G. Engrenages coniques. — Lorsque les deux axes se rencontrent en un même point, le mouvement relatif, s'effectuant autour d'un point fixe qui est l'intersection des deux axes, peut être assimilé au roulement simple de deux cônes qui seraient les lieux de Taxe instantané dans l'espace absolu et dans la figure mobile (XI). On les appelle cônes primitifs. Nous en avons vu la théorie sous le titre de galets canin nés.

Dans le cas particulier où le rapport des vitesses angulaires est constant, ces cônes sont de révolution (4).

97. La solution la plus naturelle consiste dès lors à adopter pour surfaces des dents d'autres cônes ayant le même sommet et des directrices convenables. On les appelle engrenages coniques ou roues (Vangle (Pl. Fil, fig. 109). Si l'on coupe tout l'ensemble par une sphère concentrique d'un rayon quelconque, on n'aura plus à considérer que les traces de ces diflérents cônes.

Nous nous trouvons ainsi ramenés à établir une théorie des engrenages sphériques semblable à celle des engrenages plans. Ses raisonnements seraient identiques à ceux que nous avons exposés, et je ne m'arrêterai pas à les développer de nouveau. Il suffira de remplacer partout les droites par des arcs de grands cercles, les épicycloïdes, les développantes, etc., par des épicycloïdes sphériques, des développantes sphériques, etc.

Ajoutons que, pour compléter la solution de la question, l'intervention des procédés de la Géométrie descriptive devient nécessaire. Le problème est posé dans chaque cas par la théorie qui précède, et c'est à cette science qu'il appartient de déterminer d'après cela les projections des roues

SURFACES DES ENGRENAGES. I l()

et le développement des panneaux. Ces détails se trouvent dans tous les ouvrages qui traitent des Applications do la Géométrie descriptive.

98. J'indiquerai ici de préférence un procédé beaucoup plus simple, dù à Tredgold, à la vérité approximatif, mais Iç seul usité dans la pratique. Nous le restreignons, bien entendu, au cas des cônes primitifs circulaires. H est fondé sur ce que, pour des raisons que nous avons expliquées (XXV), les dents sont toujours petites, de sorte que le contact s'éloigne peu des cônes primitifs et du plan des axes.

Représentons ces derniers (PLII,Jig. 33) par AOP et AO'P' et par AftR Taxe résultant qui forme actuellement l'arètc de contact des cônes primitifs QAR, Q'AR. Menons, par le point R, deux plans à angle droit sur les axes. Ils déterminent dans les cônes deux bases circulaires projetées sur QR, Q'R. J'élève encore un autre plan perpendiculaire sur celui de la figure suivant PRP'. Puis je prends ses points d'intersection P et P' avec les axes comme sommets de deux autres cônes qui auront pour directrices les cercles QR et Q'R, et seront ainsi opposés base à base avec les cônes primitifs. Ces cônes auxiliaires auront pour plan tangent commun le plan PRP7, et, si on leur fait suivre le mouvement des cônes primitifs, l'arête de contact PRP' s'écartera peu de ce plan pendant toute la durée du passage d'un couple de dents, puisque nous l'avons supposée trèscourte. On peut donc admettre, par approximation, que les choses se passent pour les engrenages sphériques comme elles te passeraient pour des engrenages plans tracés dans ce plan PRP'.

On n'aura, d'après cela, qu'à supposer les cônes auxiliaires développés suivant les secteurs QRP et QrRP'(P/. JJt fi«. 34), et à appliquer textuellement la théorie des engre-

nages plans et les divers modes de tracé qu'elle nous a fournis. La seule particularité qu'il soit nécessaire d'observer consiste à prendre pour pas une partie aliquote des secteurs primitifs, et non de leurs circonférences entières. Si on enroule après coup les deux parties de l'épure sur les cônes auxiliaires, on obtiendra les directrices des dents.

99. Solution générale. — En reproduisant textuellement les raisonnements des §§ 92 et 93 avec la précaution d'y remplacer les cylindres par les cônes primitifs, on formera des solutions plus générales dans lesquelles le contact s'effectuera, soit suivant une ligne, soit par un seul point.

On peut encore, comme au § 94, obtenir, pour le cas des axes concourants, des engrenages qui fonctionnent par simple roulement. Il est important de signaler leur existence, car on n'en saurait plus trouver de semblables dans le cas qu'il nous reste à considérer.

S ni.

AXES NON CONCOURANTS.

100. Solution générale. — Lorsque les deux axes ne sont pas situés dans le même plan, le mouvement résultant peut être reproduit par le roulement mutuel de deux surfaces réglées qui sont les lieux de l'axe spontané dans l'espace absolu et dans la figure mobile, ce roulement étant accompagné à chaque instant d'un glissement le long de la génératrice autour de laquelle il s'effectue (XIII).

La détermination de ces surfaces est facile dans le cas où le rapport des vitesses angulaires doit rester constant. En effet, pour chacune d'elles la génératrice conserve, par rapport à l'axe, une distance et une inclinaison constantes; car ces deux éléments ne dépendent, d'après la règle de la

SURFACES DES EKGKEJfAGES. 121

composition des rotations (XIX), que de la position respective des axes et du rapport des vitesses angulaires. Ce sont donc des surfaces gauches de révolution ou des Ityperbolo'ides de révolution à une nappe. Nous les appellerons liyperboloides primitifs.

Ce mode de communication est employé depuis longtemps dans les filatures, ou du moins on y voit des organes construits à peu près sur ce modèle et munis de stries pour mieux assurer la transmission du mouvement (*).

101. En reproduisant pour les surfaces réglées primitives les raisonnements qui ont été faits déjà pour les cylindres (92 et 93) et pour les cônes primitifs (99), nous obtiendrons des solutions générales dans lesquelles le contact s'effectuera, soit suivant une ligne, soit par un seul point.

11 est bien essentiel de remarquer qu'où ne pourra plus, comme ci-dessus (94 et 99), obtenir des engrenages qui fonctionnent par simple roulement. 11 faudrait, en effet, pour cela que, dans le mouvement relatif, les points de contact eussent une vitesse nulle; or ce mouvement est à chaque instant hélicoïdal (XIX) et ne peut jamais se réduire à une rotation simple. Par suite, ceux des points pour lesquels la vitesse est minimum sont les points de l'axe spontané, et ils possèdent encore le mouvement de translation de cette espèce de vis le long de son écrou (*).

(l) M. Bélanger a appelé l'altenlion sur ces appareils dans une Noie insérée aux Comptes rendu* de l'Académie des Sciences, dans la séance du 28 janvier 1861.

(* ) C'est pour cette raison que les surfaces réglées des galets sont nécessairement des cônes ou des cylindres (2). En effet, les axes devant être, pour que le roulement soit possible, concourants ou parallèles, leur point de concours est immobile; il appartient donc à tous les axes instantanés, et ceux-ci, c'eat-à-dire les génératrices, ne peuvent former qu'un cône ou com tne limite un cylindre.

Il ne se présente pas non plus dans ce cas de solution générale aussi naturellement indiquée que celle des engrenages cylindriques et coniques pour les précédents. On ne peut que recourir à des combinaisons particulières que je vais indiquer, et pour lesquelles on suppose les cylindres primitifs circulaires.

11 serait, du reste, à peu près inutile de se livrer k des recherches par trop compliquées sur ce sujet, car on peut toujours éviter, dans la composition des machines, d'avoir à considérer des axes non-concourants. Il suffît pour cela de les relier par un arbre intermédiaire qui les rencontre tous les deux, et d'établir entre lui et chacun des proposés deux répétitions de roues d'angle.

102. Exemple I. — Fis sans fin. — On emploie depuis Pappus (*) l'engrenage de la vis sans fin pour réunir deux axes non-concourants rectangulaires. On adopte arbitrairement pour l'un d'eux un héliçoïde gauche à plan directeur ou surface de vis à filet carré. Il est alors facile de trouver la surface conjuguée.

Prenons pour plan de la figure celui qui serait mené par Taxe O de la vis à angle droit sur celui O' de la roue (PL III, fig. 35). L'héliçoïde sera actuellement coupé par ce plan suivant une certaine génératrice D. La rotation aura pour effet d'amener successivement différentes génératrices dans le plan, de sorte que la trace de la surface sera une droite animée d'un mouvement de translation ou, si Ton veut, le flanc d une crémaillère C. Or, si les surfaces sont constamment tangentes, il eu doit être de même de leurs traces. Par suite, celle de la surface inconnue doit être la dent de la roue conjuguée de la crémaillère à flancs, c'està-dire (76) une développante D' du cercle primitif C.

(') Pappcs, Collectiom mathématiques, liv. VIII, prop. aij.

SURFACES DBS ENGRENAGES. I a3

Mais il ne suffit pas pour que les surfaces engrènent que leurs traces restent en contact. Il faut encore que les deux pians tangents coïncident. Or le point de contact se trouve (75) en M au pied de la perpendiculaire abaissée de Q. sur la dent D. I) parcourt donc la droite C. Mais le long d'une droite parallèle à Taxe d'un héliçoïde à plan directeur le plan tangent reste parallèle à lui-même. Ainsi donc le plan tangent à la vis qui doit coïncider avec celui de la dent de la roue garde une inclinaison constante sur le plan de la figure.

On peut, d'après cela, considérer la dent conjuguée tomme l'enveloppe d'un plan dont la trace reste tangente à une développante de cercle, et qui conserve une inclinaison constante sur le plan de cette développante ('). L'invariabilité de cette inclinaison montre que l'intersection de deux plans consécutifs fera elle-même un angle constant avec le plan de base. L'arèle de rebroussement sera donc déjà une courbe d'égale pente. De plus cette intersection doit couper le plan de base a la rencontre des deux traces consécutives, ou au point M de l'enveloppe. Enfin elle est évidemment perpendiculaire sur cette trace D et se projette par suite à angle droit en MU, c'est-à-dire sur la tangente au cercle C Mais si la projection de la génératrice enveloppe ce cercle, Tarête de rebroussement est tracée sur le cylindre dont il forme la base, et comme elle a déjà une inclinaison constante, il s'ensuit que cette courbe est une hélice. La surface conjuguée est donc un héliçoïde développable.

(') Il n'est pas mémo indispensable d'adopter la surface déveluppable qui forme l'enTeloppe du plnn mobile. Toute surface se raccordant avec elle le long de la développante satisferait également à la question, puisque le contact a toujours lieu sur cette courbe. On rencontre souvent des pignons creusés en forme de gorge de manière à épouser plus complètement la forme de la vis.

103. On donne souvent à la vis plusieurs filets distincts, ce qui se fait en disposant plusieurs vis égales à des intervalles égaux qui soient une même fraction de leur pas commun.

Si l'on imagine, d'après cela, un cylindre d'un diamètre notable sur lequel on a taraudé un grand nombre de filets, et qu'au lieu de lui laisser une longueur de plusieurs pas en forme de vis sans fin, on le coupe par deux plans assez rapprochés qui ne laissent sur chaque filet qu'une fraction de spire, on obtient une véritable roue qui porte le nom d'e/igrenage hélicoïdal, et dont la nature géométrique est la même que celle de la vis sans fin.

104. Exemples II et III. — Engrenages d'Olivier. — Considérons maintenant deux axes quelconques O, O' dont le premier peut toujours être supposé vertical. Menons un plan P qui leur soit parallèle et décrivons autour des axes deux cylindres de révolution C, C tangents à ce plan.

Figurons la projection Oi de Taxe O sur P et enroulonsla sur le cylindre C en forme d'hélice h'. On adopte pour Taxe O' l'héliçoïde développable H' dont elle serait l'arête de rebroussement et dont C forme le cylindre de jour. Le plan P tangent à C coupe cet héliçoïde suivant une génératrice qui n'est autre que O,. La rotation de C amènera d'ailleurs successivement dans ce plan diverses génératrices qui toutes viendront se placer verticalement, car ce sont les tangentes d'une même hélice, et Tune d'elles O, est verticale. Le plan tangent à H' est le plan osculateur de son arête de rebroussement h'. Or le plan osculateur d'une hélice est déterminé par la condition de contenir la tangente 0| de cette courbe et la perpendiculaire au plan tangent P de son cylindre. C'est donc un plan vertical perpendiculaire à P. Ainsi le plan tangent se transporte parallèlement à lui-

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même et peut être considéré comme le flanc d'une crémaillère. Par conséquent (82) la surface conjuguée est celle d'une roue cylindrique à développantes.

105. On peut aussi construire un autre modèle dans lequel les deux roues soient de môme nature. On trace pour cela dans le plan P une droite quelconque qu'on enroule sur C et C sous forme de deux hélices h et /i', puis on adapte aux axes O et O' les héliçoïdes développables H et H' dont elles sont les arêtes de rebrou ssemen t. Ces surfaces couperont le plan P suivant une de leurs génératrices qui sera pour toutes les deux la droite d. Leurs plans langents devant l'avoir pour trace et être perpendiculaires à P coïncideront, et par suite ces deux surfaces engrèneront continuellement.

Cette combinaison a été réalisée par M. Venniu, à Lille, dans une machine à fraiser les engrenages.