SI- MÉTHODE EXACTE
106. Cherchons maintenant à apprécier le rôle des engrenages dans la composition des machines. Nous les rangerons, à cet égard, dans les trois groupes suivants :
Première catégorie. — Trains ordinaires.
Deuxième catégorie. — Trains épicycloïdatix .
Troisième catégorie.— Trains irréguliers.
Dans la première catégorie chaque roue tourne autour de son centre, et le rapport des vitesses angulaires est constant. Il s'agit de l'évaluer pour un train quelconque.
Je supposerai d'abord un f/aiw j/mp/e, c'est-à-dire composé uniquement de deux roues dont la plus grande est appelée à proprement parler la roue, et l'autre le pignon. Les rotations seront de même sens ou de sens contraire, suivant que les engrenages seront intérieurs (') ou extérieurs. Nous savons (3) que le rapport des vitesses angulaires est égal à l'inverse de celui des rayons des cercles primitifs. Mais les rayons sont comme les circonférences et
(*) Les engrenages intérieurs sont peu employés, attendu qu'ils ne comportent pas le tracé à flancs réciproques (81) et que, de plus, on ne peut les installer qu'a un bout d'arbre. Si, en effet, leur arbre les traversait de part en part, il s'engagerait dans les rayons do la grande roue.
TRAINS D'ENGRENAGES
celles-ci comme les modules n et n', car le pas est le même pour les deux. On peut donc écrire
ou sous cette autre forme
fl(ù = /l'w'.
La substitution des modules aux rayons primitifs est avantageuse en ce qu'il est toujours aisé de compter les dents d'une roue, tandis que son rayon primitif peut être difficile à apercevoir ou n'être pas accessible.
107. Considérons maintenant un train complexe quelconque. Je supposerai une série de À -I- i arbres,
dont je représente les vitesses angulaires par o>,, w,, wa, &>,...&>*,, w*„
On installe sur chaque arbre intermédiaire une roue et un pignon de modules N etn. Mais les deux arbres extrêmes ne portent l'un qu'une roue et l'autre qu'un pignon. Nous représenterons un tel équipage de la manière suivante, en plaçant sur la môme ligne horizontale les deux roues qui engrènent ensemble et sur la même verticale celles qui sont montées sur le même arbre. •
N„ ff.
Ni
Ni-i nt.
Si nous appliquons à chaque couple l'équation précédente, il viendra
Pour éliminer les inconnues auxiliaires, il suffit de multiplier membre à membre. Il vient ainsi
d'où on tire le rapport cherché
Dans le cas particulier où toutes les roues seraient identiques, ainsi que les pignons, la formule devient
108. On peut, au sujet d'un équipage de roues, se proposer deux problèmes distincts.
En premier lieu, un train étant construit, déterminer son rapport de vitesses. Cette question ne présentera aucune difficultés puisqu'il suffit d'évaluer les nombres de dents et de les substituer dans la formule précédente.
On peut inversement chercher à construire un équipage qui réalise un rapport donné. Ce problème, beaucoup plus difficile, exigera, au contraire, d'assez grands développements. Je commencerai par prendre un exemple de l'un et de l'autre.
TRAINS dV.NGRK NAGES. I 29
Exemple I. — Comme exemple du premier problème, nous chercherons le rapport de vitesses dans la machine à aléser les cylindres.
Sur un arbre P est calée une roue A de m dents, plus loin un manchon B de n dents taraudé en écroù à son intérieur et monté librement sur le même arbre fileté en vis; il est pris d'ailleurs entre les joues fixes d'un palier, de manière a ne pouvoir que tourner sur place, tandis que l*arbrc a la faculté de se transporter dans sa longueur. De cette manière l'arbre et lui peuvent tourner, mais si ce n'est pas de la même quantité, le premier sera obligé de se transporter dans sa propre direction. Sur un arbre parallèle P sont calés un long pignon ( 1 ) A 'de m -f- 1 dents et une roue B' de n dents.
j\ous avons donc là un train de trois arbres, le premier • est P, le second P' et le dernier le manchon concentrique à P, mais indépendant. Le rapport des vitesses angulaires sera par suite
Il s'en faut donc de la quantité — ~ ■ que l'arbre et le
manchon exécutent tour pour tour, et, par suite, le premier éprouvera pour chaque révolution un déplacement longitudinal de du pas de la vis.
On prend en général m assez grand et le pas assez faible, et on obtient ainsi un déplacement extrêmement lent. Ce mécanisme est appelé, pour cette raison, engrenage différentiel.
(') On appelle long pignon une roue dont les denU présentent une grande longueur, suivant les génératrices, ou en quelque sorte un cylindre cannelé. De cette manière, une autre roue peut se transporter dans toute sa longueur sans cesser d'engrener avec lui.
l3o ÉTUDE GEOMETRIQUE DES MÉCANISMES.
Exemple II. ; — Comme exemple dn second problème, je chercherai les rayoos que l'on doit donner aux roues d'une cisaille à recéper les pieux (Pl. VII, fig* 1 10).
Les deux branches de cette cisaille sont montées sur un même arbre et munies de secteurs R, r. Sur un autre arbre sont installées deux roues IV et r' qui engrènent avec ces derniers. De plus, on se propose de faire mouvoir les deux branches en sens inverses et avec la même vitesse. Pour cela l 'un des engrenages doit être intérieur et l'autre extérieur, et le rapport des vitesses angulaires égal à l'unité.
On posera donc, en appliquant la formule fondamentale et substituant les rayons primitifs aux modules,
c'est-à-dire
Si on joint à cette relation la condition de tangence
on eu lire, pour les secteurs en fonction des roues ,
fl-R'+rV R'-hr' K — 7T> 17 K » r— ~ '
ou pour les roues en fonction des secteurs,
109. Problème de Youkg. — Proposons- nous, dans les conditions les plus générales, de réaliser un rapport donné de vitesse. Il est clair que le rapport proposé ne peut être que celui de deux nombres entiers, puisque ses termes sont, comme on vient de le voir, le produit de pareils nombres.
Si le numérateur et le dénominateur sont très-simples,
TRAINS D'ENGRENAGES. l3l
c'est-à-dire ni trop grands ni trop petits ( !), on pourra se contenter d'une roue et d'uu pignon dont ils seront les modules.
Si on a, au contraire, des nombres assez considérables, l'emploi d'un équipage complexe est indispensable. La solution la plus naturelle consiste alors à supposer toutes les roues identiques entre elles, ainsi que les pignons.
Si nous représentons par a le rapport de vitesses qu'il s'agit de réaliser et par x le rapport arbitraire des modules
la formule (i) devient
ou, en résolvant à l'aide des logarithmes népériens,
La
Young a cherché à déterminer x par la condition de rendre minimum le nombre total des dents du train :
A :(n -f- N) = A (No: -h N) = Â S (i +*) = N.La. l^tî . Égalons pour cela sa dérivée à zéro,
N.Lo. — = o.
(*) Il y a, en effet, un minimum qu'on ne peut dépasser sans rendre le tracé de l'épure impossible. Des calculs assez compliqués ont fourni à Sarsry les limites suivantes, dans lesquelles p désigne le rapport des modules de la roue et du pignon :
7 ■+- !\p engrenage à lanterne; 16 -f- zp engrenoge â développantes; 10(1 -+- p) engrenage à flancs.
l32 ÉTUDE GÉOMÉTRIQUE DES MÉCANISMES.
N ne saurait être nul, non plus que La, puisque a n'est jamais l'unité, sans quoi il n'y aurait pas problème. De plus Lx ne peut être infini . ce qui exigerait que x fut nul ou infini, c'est-à-dire que n ou N fussent nuls. Il faut donc poser
Li=H — •
En résolvant par approximation ectte équation transcendante, on trouve
Si Ton prend la valeur 3, 60, elle s'exprimera par le rapport des nombres 18 et 5 ou 36 et 10, parfaitement convenables comme modules d'une roue et d'un pignon.
En formant les puissances successives de ce nombre, nous trouverons
fl = x*==3,6o 12,96 46*66 167,98 604,73
Si donc le rapport proposé a précisément l'une de ces valeurs, la meilleure solution sera celle de Young, dans laquelle on fera en trer un nombre de roues de 36 et de pignons de 10 fourni par la valeur correspondante de l\
HO. S'il en est autrement, le rapport proposé ne doit pas cesser d'être exprimé par une fraction ordinaire que l'on peut toujours supposer irréductible. On en décomposera les termes en leurs facteurs premiers' (l). S'il s'en trouve le même nombre au numérateur et au dénominateur et qu'ils ne soient ni trop grands ni trop petits, on les prendra pour modules d'après la formule générale.
Sinon on aura la ressource de multiplier les deux termes de la fraction par tels facteurs que l'on voudra.
(') Pour faciliter cette opération, je placerai ici la liste des 169 nombres
tuai n s d'engrenages. i33
Puis Ton fondra par multiplication ces coefficieuts avec les précédents, de manière à obtenir aux deux lermes le même nombre de facteurs convenables pour former des modules. Il y a là un tâtonnement et un arbitraire impossibles à éviter.
On peut encore combiner les facteurs qui se trouvent en trop avec l'unité placée dans l'autre terme, en faisant engrener des vis sans fin à un seul filet avec des roues dont les modules soient représentés par ces facteurs.
$ il
