MÉTHODE D'HUYGHENS

111. Si les deux termes ont de trop grands facteurs premiers, ou si le rapport est incommensurable, on ne peut

premiers inférieur» à iooo, qui suffit pour décomposer les nombres du premier million :

io3,

4oi,

8it,

On abrégera beaucoup les recherches de ce genre en employant des tables de diviseurs. Celles de Barlow atteignent 10 000, celle» de Chernac 1 030000, enfin celles de Burckardt ont été poussées jusqu'à 3o36ooo.

que procéder par approximation ('), en cherchant des fractions aussi simples et aussi peu différentes que possible de la proposée. On suivra pour cela une méthode employée pour la première fois par Huyghens et qui repose sur la théorie des fractions continues.

On développera sous cette forme le rapport proposé, on en calculera toutes les réduites et on choisira parmi elles la plus convenable. Si aucune n'est jugée telle, on aura recours aux réduites intercalaires.

On peut encore se procurer un grand nombre de fractions peu différentes do la proposée en opérant de la manière

suivante. Soit j le rapport et — la dernière réduite. On

peut leur substituer exactement ~ , , quels que soient

les valeurs et les signes des nombres entiers h et À7. Si ces fractions étaient rigoureusement égales entre elles, elles le seraient aussi à la suivante

ak 4- a'k'

ùk + b'k'

qui est formée en les ajoutant terme à terme. Or elles sont peu différentes Tune de l'autre, et cette transformée est comprise entre les deux. Par suite on pourra, sauf une faible erreur, prendre cette dernière pour le rapport proposé. Il sera toujours bon, du reste, d'évaluer la différence pour se faire une idée du degré d'approximation obtenu ('). Quant au choix à faire pour les valeurs de k et À', on ne pourra que recourir à des .tâtonnements en cherchant à former des fractions dont les deux termes se décomposent en facteurs premiers suffisamment simples.

(') L'horlogerie de précision présente des cas où il est nécessaire de réaliser rigoureusement un rapport commensurable, mais très-compliqué. On emploie alors des appareils d'une nature spéciale, qu'on appelle rouages différentiels et épicrchtdnux, et qui feront l'objet du chapitre suivant.

(») L'une quelconque de ces différences a pour valeur absolue, d'tprèa la

TRAINS D'ENGRENAGES. l35

1 12. Exemple I. — Jiouage lunaire, — Proposons-nous de relier deux axes dont l'un suive la révolution synodique de la lune, tandis que l'autre effectue sa rotation en douze heures. La valeur exacte de celte période est en temps moyen

ou, en la rapportaut au jour,

2cy,53o6.

Comme d'ailleurs douze heures forment la moitié du jour,

le rapport à réaliser est ici

ou, en simplifiant,

et en mettant la composition des deux termes en évidence :

Comme il est impossible d'admettre dans l'équipage une roue de 433 dents, nous devons renoncer à réaliser rigoureusement le rapport proposé.

Nous le développerons donc en fraction continue de la manière suivante :

théorie des fractions continues,

a ak + a'k' k'(*b'-ba') k' ,

b bk-t-b'k' ~ b{bk + b'k>) ~ b(bk + b'k - "~ ~r

Si donc b et b* sont de grands nombres, l'erreur sera de l'ordre des in-

l36 ÉTUDE GÉOMÉTRIQUE DES MÉCANISMES.

et nous formerons les réduites

"4ÎT~ 7-7 48o.53 73.661

La première fraction a été employée par Oughtred dès 1677. Elle ne correspond qu'à une période de 29 j jours, et ne peut être considérée par conséquent que comme une première ébauche. Le second rapport a été construit par Ferguson; il se trouve en excès de 57% 2 par lunaison. Parmi les autres réduites la quatrième seule pourrait encore être employée; elle ne donne lieu* qu'à une avance de i*,o5 sur chaque période.

En se servant des réduites intercalaires, on obtient les valeurs suivantes qui ont été indiquées par Willis :

2894.1-kl949 « 4843 2C). 167

— 7 ■ — rpz — — e — 7 — erreur — oy>o ,

On peut encore recourir à la formule générale

i47653.A-h48253.r 25oo.X 4-817.A'

pour retrouver des résultats dont la plupart ont été obtenus par d'anciens géomètres en suivant des voies toutes différentes. On arrive ainsi aux combinaisons suivantes:

TRAINS D'ENGRENAGES

oo oo

o en

en O