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l38 ÉTUDE GEOMETRIQUE DES MÉCANISMES.

143. Exemple II. — Rouage solaire. — Cherchons de même à relier deux axes, de manière que Tun donne le jour et l'autre Tannée tropique, qui a pour valeur

365J 5h 48» 48-, ou, en la rapportant au jour,

Le rapport à réaliser est donc, en revenant de la fraction périodique mixte à la forme ordinaire,

et en mettant les facteurs premiers en évidence

Malgré sa complication, celte forme a été employée par Pearson.

Pour avoir des résultats plus simples, sinon aussi exacts, développons en fraction continue

et formons les réduites successives

TRAINS D ENGRENAGES

33 3. ii ' 46751 {675 1

La première a été construite par Oronce Finée vers 1 700 ( 1 ); elle ne représente que Tannée ordinaire de 365 jours. La dernière l'a été par Janvier; elle est compliquée, mais fort approchée, et ne pèche par excès que de i', 2. Les autres fractions ne sauraient être utilisées.

En recourant aux réduites intercalaires, Willis a indiqué la valeur suivante :

588o4. 1 ■+• 46751 io5555 3.5.31.227 161 . 1 4- 128 289 17 . 17

Elle ne produit par an qu'un retard de 0% y.

Si Ton forme encore l'expression générale, elle donne ici

En faisant d'abord

on trouve

(') Oronce Finée se proposait de relier deux arbres dont les révolutions s'opéraient l'une en 3 et l'autre en 365 jours. Le rouage qu'il a employé est ainsi composé :

On reconnaît de suite l'inutilité d'une pareille complication.

l4<> ÉTUDE GÉOMÉTRIQUE DES MÉCANISMES.

c'est la solution indiquée par le P. Alexandre, et depuis par Camus et Fcrguson. Elle donne une avance de io*,69. En faisant au contraire

X=3, *' = — io, on obtient ce résultat de Willis :

qui se trouve aussi en excès de 5% 38.

S ni,

TABLES DE M. BROCOT.

114. Les méthodes précédentes sont compliquées -et attendent beaucoup du tact personnel du calculateur, car elles laissent une grande indécision dans la direction du tâtonnement. M. Brocot a réussi d'une manière ingénieuse .à simplifier ces recherches et à fournir sans aucun calcul une première approximation qui pourra souvent être jugée suffisante et qu'il sera toujours possible d'ailleurs de perfectionner dans chaque cas particulier. Dans ce but il a construit une table fondée sur un grand nombre de 1 cm mes que nous pouvons réduire aux deux suivants :

Lemme I. — Lorsque deux fractions di fièrent de l'unité divisée par le produit de leurs dénominateurs, la fraction obtenue en les ajoutant terme à terme est la plus simple de toutes celles qui sont comprises entre les proposées.

Si nous supposons en effet

b b'~ bb'

OU

TRAINS D'ENGRENAGES. l4l

et si nous désignons par — une fraction quelconque telle que l'on ait, par exemple,

nous tirerons de là

a a -4- a' a m b ~ bTT'^Z"

ab' — ba' — bm

- ' b(b+ 6'j> Yn '

i an — bm

D'ailleurs

an — bm J i , multipliant par la précédente il reste

et, par suite, en multipliant parla première inégalité,

ce qui montre que la fraction — a des termes plus compliques que y^-jr

1. K.Mme II. — Lorsque deux fractions diffèrent de l'uni té divisée par le produit de leurs dénominateurs, la fraction obtenue en les ajoutant terme à terme remplit la même condition par rapport à chacune d'elles.

Si nous supposons eu effet

b ~~ V — FF'

ab'-ba'=:l,

l4'i ÉTUDE GÉOMÉTRIQUE DES MÉCANISMES.

on aura identiquement

a a -h a' ab' — ba! i

b ~ ¥+1? ~ b(b-hb') — b{b + b')'

ce qu'il fallait démontrer.

Ho. Si nous remarquons maintenant que ° et y sont

des fractions qui remplissent les conditions voulues, il suit

de ces deux lemmes que la fraction ° ~*~ 1 = - est la plus

simple de toutes celles qui sont comprises entre elles et qu'elle remplit encore avec chacune d'elles les mêmes conditions. Par conséquent

1 Hh a ~~ 3 2 + 1 "~ 3

seront les fractions les plus simples que l'on puisse insérer entre la troisième et chacune des deux premières, et elles rempliront avec leurs deux voisines les conditions en question; et ainsi de suite indéfiniment.

En suivant cette marche M. Brocot a formé toutes les fractions qui se présentent successivement et dont le dénominateur ne dépasse pas ioo. 11 les a converties en décimales à . dix figures et disposées en forme de table. Celle-ci renferme trois colonnes, dont Tune donne la valeur décimale et les deux autres le numérateur et le dénominateur. On possède par là une série de 3o53 fractions dont les termes n'ont que deux chiffres et dont chacune remplit, par rapport aux deux voisines, la condition que leur différence soit égale à l'unité divisée par le produit des dénominateurs. Cette différence est, bien entendu, variable, mais on peut s'en faire une idée par sa valeur moyenne qui sera,

TRAINS D ENGRENAGES. 1^6

d'après le nombre de ces fraclions, ou avec dix figures

116. Pour se servir de cette table on commencera si le rapport proposé n'est pas moindre que l'uni té par l'y ramener. On pourra, pour cela, soit le renverser, soit considérer à part la partie fractionnaire. Après l avoir réduit en décimales on cherchera si par hasard il se trouverait exactement dans la table, et dans le cas contraire on notera les deux valeurs qui le comprennent. Si la plus voisine ou, à son défaut, si l'autre est décomposable en facteurs convenables et si elle est suffisamment approchée, on pourra s'en tenir là.

S'il n'en est pas ainsi, on se servira des deux valeurs voisines qui remplissent les conditions fondamentales pour resserrer davantage l'approximation en les ajoutant terme pour terme d'après l'application des deux lemmes précédents. Et Ton continuera ainsi jusqu'à ce que l'on obtienne une fraction dont les termes soient convenablement décomposables et dont l'approximation soit jugée suffisante.