La formation successive des fractions est des plus

(') Ces table* ont été publiées ù la fin du fascicule de M. Brocot. J'en donnerai le spécimen suivant pour faciliter l'intelligence de l'exemple numérique que je prends plus loin :

Fraction décimal*.

0,968 jaio5a6

simples, mais il n'en serait pas de même du calcul de IV reur si Ton devait pour la trouver réduire en décjmales par la division tous les rapports trouvés. Mais on peut facilement obtenir ces erreurs sous la forme de fractions ordinaires par des additions et soustractions convenablement dirigées. C'est ce qui résulte du lemme suivant :

Lbmme III. — Lorsqu'un rapport est représenté approximativement par deux fractions qui le comprennent et qu'on ajoute celles-ci terme à terme, la nouvelle erreur se déduit des deux premières en ajoutant de même les valeurs absolues de leurs dénominateurs et les valeurs algébriques de leurs numérateurs.

Soit, en effet, un rapport g représenté approximati veulent par les deux fractions

Les. erreurs respectives sont, en mettant leurs signes en évidence,

A a aB — bk

B b ~ ZTB '

et l'erreur cherchée peut être mise sous la forme

A __ a+a' {b'k — a'B) — (aB — & A) B b + b'— bB //B '

ce qui démontre le théorème.

1 1 8. Exemple. — Rouage de Met-cure. — Cherchons à réaliser par un rouage le rapport 87,96926 qui représenté la durée de la révolution sidérale de Mercure.

En séparant la partie fractionnaire 0,96926, nous tron-

TRAINS d'eNGHEKAGES. 1^5

vous dans la table comme nombres voisins,

0,96923 = —» erreur — o,oooo3,

o,g6938 = erreur -+-0,00012.

On prendra donc

La première fraction est assez approchée, mais elle renferme le facteur irréalisable 953.. La seconde serait plus facile à construire, mais elle est moins exacte et on peut souhaiter une approximation plus satisfaisante. On formera pour cela la série :

5718-4-8621 14339 »3. i io3

Ce dernier rapport peut, à la rigueur, se construire avec des roues de 127 et de 293 et des piguons de 9 et de 47. L'erreur qu'il laisse n'est plus que de 0,000007 ou moins de ~ de la précédente.

ETCUE (.ÉUMtUlQlK DES MÉCANISMES.