La transmission, dès lors, n'est pas uniforme, et il
(' ) On l'emploie notamment pour briser des arbres de couche très-longs, afin de permettre les flexions qui proviendraient d'un tassement irrégulier du terrain. Ou utilise également le joint de Cardan comme suspension, d'après la possibilité qu'a le croisillon de se placer suivant toute espèce d'orientation.
(*) C'est la uno questiou célèbre d'analyse. On sait que la rotation des deux eûtes variables d'un triangle spfaérlque dont le troisième côté ni l 'angle opposé restent constants, et qui n'est autre d'ailleurs que la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique, revient sous forme différentielle à l'équation d'Euler, et sous forme linie aux formules d'addition des fonclioua
203 ÉTUDE CÉOMéTIlIQlE DES MÉCANISMES.
importe de trouver à chaque instant le rapport des vil angulaires (PL 111, fig. 44).
Concevons pour cela qu'on s'avance sur un des axes O vers le point de croisement C, et <|ue l'on place, comme point de départ, le quadrant mobile suivant le grand cercle perpendiculaire à Taxe eu KK', de telle sorte que son extrémité se trouve à l'intersection K des deux grands cercles. S\ nous l'envisageons ensuite daus une position quelconque AA', les deux fourchettes auront tourné pour l'y amener <les angles KA et K'A'. On aura alors, dans le triangle sphérique AKA',
cos AA' = cosAK tosA'K -4- sinAK sin A' KcosAKA',
c'est-à-dire, en désignant par * l'angle des axes qui est le supplément de AKA',
o = cos? sin?' — sin y cos y' cosa, (i) tang?' = tangocosa.
I! vient ensuite, en differeniiant,
H ~ 7" eoSKi
OOS'f cos1?
d'où l'on tire pour le rapport des vitesses angulaires
•/ __ cos'?' cos2 o' tang ?' ___ siai?'
w cos2? cos1? lang? " sin2?
Les vitesses ne seront doue égales qu'à l'instant où l'on aura
sin? cos? = sin?' cos?'
elliptique!. La couaidératien du triangle confrUUia la méthode de Lag range pour 1 mtegrai iu n de l'équation d'fculer. Dan» le cas actuel, où le côte constant est un quadrant, le module du système elliptique est simplement le de \\
l'AIUU-ÉIOGHAMMES ET JOINTS. 2o3
OU
langy ting? tangycosa
i ■+■ tang'y — i 4- tang*?' i -+- tang'? cos'a 1
d'où l'on tire facilement
tan6 1 = ^71' UnS? = — =' cosa ^ COSa
tang'?' = cosa, tangf' = ± y'cosa,
ce qui fournit quatre positions opposées deux à deux.
Quant aux limites de la variation, elles seront évidemment
a = o, toux. = »
cosa
«p ss 90 °, min. = cosa; le rapport de ces limites est
COSJK,
et l'irrégularité ou la différence à l'unité
sin~ a.
On remarquera que cette irrégularité est du second ordre
pour les faibles angles des axes. Au contraire, pour ceux qui dépassent 45 degrés, la transmission devient fort irrégulière, exposée à l'enchevêtrement, et il est nécessaire de substituer au joint simple un joint multiple.
192- Joints multiples. — Le joint de Hooke est formé de la réunion de deux joints Hollandais par un arbre intermédiaire dont la longueur est réduite presque à rien, et «pie l'on établit entre les deux proposés, de manière à adoucir leur angle trop prononcé. On a employé aussi un joint triple. Plus généralement nous imaginerons un joint multiple d'un ordre quelconque.
Je suppose, pour fixer les idées, que l'on installe tous les joints simultanément dans la position initiale que j'ai dé-
finie (191), c'est-à-dire qu'en parcourant le polygone des axes on rencontre lous les croisillons dans des plans perpendiculaires aux côtés sur lesquels on s'avance vers eux. Si, à partir de là, on attribue un dérangement quelconque au système, on pourra appliquer l'équation fondamentale (i) à chacun des joints, et on aura, en désignant d'une manière générale par l'angle des axes de rangs n et n-f-i,
tang?#=tang?,cos(?,?l), tang?l = tang?Jcos(?l?,),
tang?x, = tang?* cos (?*,?*).
On en déduit, en multipliant membre à membre,
tang?,= tang^.cos(?.T.) cos(T,?1). . .cos(?,, p) ;
et, en particulier, si les axes font des angles égaux,
tangf^tang^.cos'a.
Dans l'un ou l'autre cas, la formule fondamentale (îj * conservé la même forme, le coefficient seul a changé.
193. Il est très-essentiel d'avoir égard à la restriction que nous avons imposée pour les positions initiales. Si on lui en substitue d'autres, le résultat est complètement modifie.
Considérons, par exemple, un joint de Hooke établi dans les conditions précédentes et pour des axes parallèles: les angles qu'ils feront avec l'arbre intermédiaire seront alternes-internes, c'est-à-dire égaux, et on aura
tangy, = langf3.cos'a.
Supposons, au contraire, que les plans des croisillons se trouvent simultanément perpendiculaires aux arbres extrêmes : la formule du joint simple s'appliquera en plaçant les observateurs successivement sur chacun de ces
PARALLÉLOGRAMMES ET JOINTS. 2o5
arbres, de manière qu'ils se regardent au lieu de se suivre. On aura ainsi
iang?,= tangtlcosa, tang?l= tang?lcos«,
et par suite
la transmission est devenue uniforme.
C'est ce qui aura lieu, d'une manière générale, dans un joint multiple d'ordre pair et d'angles égaux, en disposant chaque moitié de l'ensemble des joints de la manière prescrite, mais pour des observateurs qui s'avancent en sens contraire. On peut, du resle, prendre ces joints dans un ordre quelconque.
ÉTCOE G KO MÉTn IQl' E T^TTS MÉCANISMES
