EXERCICES. PI

axes de l'ellipse 76-76, projection horizontale à\\ cercle suivant lequel la sphère est coupée par le plan des rayons lumineux qui s'appuient sur la ligne de séparation u-8 du cône U.

Ainsi (/îjf. H), on projettera la sphère sur le plan ^*Z% perpendiculaire à la trace 49-A^'" du plan P^, qui touche le cônç U suivant la droite u-8.

Le rayon lumineux qui contient le sommet u du c6ne U perce le plan vertical de projection A^Z^, suivant (e point 75, qui détermine sur la figure 1 1 la trace verticale P^, du plan qui touche le cône U suivant la droite u-8.

La trace du plan P^, pourrait encore être obtenue ou vél^ifiée en projetant le point il , ou tou^ autre point de la droite u-8.

Cela étant fait, la corde 76-76 sera )a projection du cercle suivant lequel la sphère E^ est coupée pi^r le plan P^,

Le point 77, milieu de la corde 76-76^ déterniinerfi le centre de Tellipse cherchée \ le grand ai^e dp cette ellipse sera égal au diamètre 76-76 du cercle dont elle est la projection, et Tun des points 76 projeté sur le plan )iorizontal sera Tune des extrémités du petit axe.

Enfin, la droite e^-78, parallèle ^ A^Z"^, déterminera sur la droite 76-76 la projection 78, commune aux 0eux points suivant lesquels Tellipse cherchée touche le grapd cercle qui limite la projection horizontale de la sphère.

530. Çon^me exercice, et pour fajre comprendre quelle est )a partie de la sphère qui est comprise entre Ips deux plans tangents P, et P„ j'ai projeté Iq cercle 56-5&sur \dL figure ^1, et le cercle 77-77 sur la figure 9,

Ces projections sont faciles à obtenir, %\ ^épeqdent 49 principes que nous allons rappeler.

531. On sait que l'on peut facilement cpn3truir0 ^ne ellipse, lorsque l'on connaît un de ses axes principaux et un point de la circopfi^rçnce.

Fit la Ws. épurï;§ dç concours. m

En effet, supposons (/f^. 14? eM^) q^e l§ ^vq\\^ k\ soit l'un des axes 4*une ellipsç dpnt la circq|[)fpr^Oce çloi^ contenir le point M.

1^ MiiiiB On prenclfa c^ point pour ç^|[^^q fl'|in firc de cercle décrit avec un rayon MH , é^^\ ^ la o^oitié AQ âQ l'ai^e ^onné A4- 2^ "iiii" On tracera la droite ^^^

3"* "Fi^ On obtiendra KH pour }4 moitié 4u SQÇQod axe de |a courbe qu'il ser^ façilq ^9 co^t|:uirç.

^3% D'après pela, pour construire ^hf I^ $S^^6 9 )es projections du cercle 76-76 de la figure 1 1 , on 4^4u|ra de la figure 4 le centre et les extrémités de )'axq horizontal 77-77.

On joindra |e centre 77 de l'ellipse chejfcbpe avec le centre e^"* de la sphère, et la droite perpendiculaire sur c^*"-77 sera le grand axe, dgnt la longueur est égale à Ifi droite 76-76 de la figure 11.

Le grand axe de Tellipse pbtenu sur U figure 9 floit ^^^^ parallèle à la droite 54-79, suivant laquelle le plan de projection A^'"Z^"' ^st coupé pi^r le piai) qui contient le cercle 76-76.

Le point 54 s'obtiendra ^n prplongeant le rayon 4^ lumière ^G jusqu'au pl^n de projection A^'"Z"".

On opérera ^ )» mépie xn^nj^ris ppur qpnstruire sur là figure 11 la projection du cercle 55-55 4? ^ Sgure 9. Ainsi, le ^and axe de l'ellipse que Ton obtiendra sera perpendiculaire çur ^-56) et parallèle à ^ t|ace SQr75 du plan taugeut P?

533. La question qui nou$ Qcpupi^ ayf^nt cpnduit à projeter des cercles incliuésdaus l'espace , je rfippellerai encore la construction suivante, que l'on a souvent Toccasion d'appliquer. Supposons (fig. 18) que l'on Vjeut obtei^jr |e^ projections d'un jcercle d'un rayon connu, et sitji|é dans un pUu P dét^i^^ miné par se^ traces.

^6 EXERCICES. PL. 12 bit.

On remarquera que, lorsqu'un cercle est projeté obliquement, tous les diamètres se raccourcissent, excepté celui qui est parallèle au plan de projection.

D'après cela, le point 0€> situé dans le plan P étant le centre du cercle demandé, on tracera :

^^ ■■iB La droite a'a! parallèle à la trace verticale, et ec parallèle à la trace horizontale du plan P.

a'a! sera le grand axe de la projection verticale du cercle, et ce seca le grand axe de la projection horizontale. 2* ■■iB Les droites aa et cV, parallèles à la ligne AZ, seront les secondes projections des diamètres précédents. 3« HB On projettera le point a' en a, et le point c en c\ ^0 iiBm Q„ connaîtra, par conséquent, un axe et un point de chaque ellipse ^ ce qui permettra de la tracer (531).

534. Les principes précédents peuvent servir pour construire la ligne de séparation sur une sphère (/!g. 12).

En effet, le rayon de lumière étant déterminé parles deux projections SO , S'O', on tracera :

1« ■■iB La droite a'a^ perpendiculaire sur S'O', et ce perpendiculaire sur SO.

Ces droites, perpendiculaires sur les projections du rayon lumineux, seront parallèles aux traces du plan qui contient le grand cercle formant la ligne de séparation sur la sphère.

2* "BiB Les droites aV et ce seront les grands axes des deux ellipses demandées (833), et les secondes projections aa et c'e' de ces deux droites étant parallèles à la ligne âZ, on connaîtra pour chaque ellipse un axe et un point, ce qui permettra de la construire (531).

535. On peut encore déterminer les petits axes de ces deux ellipses, en opérant de la manière suivante (fig. i6) :

1* BBiB On concevra la sphère projetée sur le plan vertical

Pin 12 Ws- ÉPURES DE CONCOURS. 357

A'Z') et l'on rabattra ce plan autour de Thorizontale 1)0, t?'0', qui contient le centre de la sphère, 2^ ■■iB Le point S viendra se placer en S", que l'on ob«

tiendra en faisant SS" égal à t^'S'.

3" ^"^ Le diamètre m"m" perpendiculaire au rayon ra-«

battu S"0 sera la ligne de séparation sur la sphère. 4i* ■■■ Le point m", ramené en m sur SO, sera Textrémité du petit axe de l'ellipse suivant laquelle le grand cercle de séparation se projette sur le plan horizontal. En rabattant le plan projetant k"Z" autour de la droite uO, u'O', le rayon de lumière du centre devient S"'0', que l'on obtient en faisant S'S'" égal à tiS.

La' ligne de séparation se projette sur le plan rabattu par ledia* mètre nV perpendiculaire à S'"0', et le point n", ramené en n sur S'O', est l'extrémité du petit axe de l'ellipse suivant laquelle le grand cercle de séparation se projette sur le plan vertical.

536. ombres portées sur le cône V; Si Ton néglige un instant les lignes de séparation , Tombre portée sur la surface du c6ne V sera :

V iHM La courbe à double courbure 57-34-8, provenant de Tintersection du cône V par ia surface cylindrique, formée par les rayons lumineux qui s'appuient sur la circonférence de la base du cône U; 2^ mmÊÊÊt L'arc d'ellipse 8-67-45-59 provenant de la section du cône V, par le plan des rayons lumineux qui touchent le cône U, suivant la ligne de séparation u-8; 3^ «HH Une petite droite 59-58 (fiig. 3) appartenant à l'intersection du même plan , et de celui qui contient la base du cône V *, 4<» miatam Enfin , une petite portion de l'ellipse 58-57 suivant laquelle ce dernier plan coupe le cylindre des rayons lumineux , qui s'appuient sur la circonférence de la base du cône U.

3b% EXERCICES. PL. It his.

Ces deuft deMiières lignes n'ont pas été tracées sur là projection horizontale (/ig. 4).

537. Une partie des ombres que nous venons dMndîquer se confondant avec Tombre propre du c6ne V, il s*ensuit qu'en ayant égard aux lignes de séparation de cette surface , le contour de la partie ombrée sera, en commençant par le point 1 :

1* «HM L'arc de cercle 1-3-2 formant ligne de séparation;

2" «MM La droite 2*34 formant également séparation \

3^ ■■■» La courbe d*ombre portée 34-57, qui partant du point 34, passe par les deux points 64 , 60 , et vient couper la circonférence de la base du cône V au point 57 -,

4,^ «HH Le petit arc d'ellipse 57-58, ombre portée sur la base du cône (fig, 3) ;

5^ ■■M La droite 58-59, ombre portée (fig. 3) \

&* ^^ L'arc d'ellipse 59-63-45, ombre poviéeÇfig. 4 et 1);

7^ ■■M La droite 45-1 , séparation.

538. La courbe à double courbure 57-64-34, suivant laquelle la surface du cône V est pénétrée par les rayons lumineux qui s'appuient sur l'arc 8*1(K9 du cône U ^ peut être obtenue de plusieurs manières.

539. PremUre mithoSe. On sait que, pour déterminer tes points communs à deux surfaces , il faut les couper par des surfaces auxiliaires dont le choix , dans chaque cas , dépend de la forme des corps dont on veut obtenir la pénétration.

Or, les deux surfaces dont il s'agit dans le cas actuel étant le cône V et le cylindre des rayons lumineux qui s'appuient sur la base du cône U, il est évident que les surfaces coupantes les plus simples seront des plans parallèles au cylindre et passant par le sommet du côà6 ; d'oà réftultent les opérations suivantes :

PL. 12 6i5- ÉPURES DE CONCOURS. âSè

1« mmm On construir Ift trace horissontalé L du cône V ; cette trace est une parabole dont le foyer et la directrice seront facilement déterminés par la figure 6.

20 lÉMÉi Par le point k , suivant lequel lé plan hori2oiltal de projection est percé paf le rayon de lumière iqul contient lé sommet ^ du cône Y , on fera passer une droite quelconque qui coupe la trace parabolique L dû cône V, et l'ellipse 9-10-34, trâôê du éyllndte Formé par les rayons lumineux qui s*appuient sut la base du cône it. Cette droite petit être considérée comme la trace d'un plan Ps qui éontiendrait le rayon de lumière vft, et qui, pAr bonséquent , jfSassef ait pâ^ le sôihmét dû colle , et serait parallèle au cylthdre.

3<» lâMM Les points 60 , suivant lesquels la trace du j[)laji Pg coiipêra lâ trace parabolique L du cône V, seront les pieds de déut génératrices dont on construira les projections , et que Ton pourra vérifier en les projetant sur les figures 4 et 6.

4f màm On tracera également les rayotts lumineux par leé deux points suivant lesquels la trace du plan t^g coUpe Tellipse 9-34 , qui forme la tracé du cylindre.

^e kdÉÉA Les quatre points 60, Suivant lesquels ces deux rayons de lumières rencontreront leë génératrices côrres* l[)ohdantôs dii cÔnë V, appartiendront à la ligne d'ombre portée sur cette dernière âuffac^e par la basé du cÀnê tf.

Le ^dtnt 60 , ^Ut e^t lé plUâ ptè^ du point ô , est lé seul

pàMâi leii t^triitré 'pdltits ()be îf^n vient d*bbtenir qut appartienne

au contour de Tombre portée , et qui ^ par conséquent , doit être coâietvé ; mais oh fera bien cependaht de construire la courbé tout entière , ftàn de mieut comt)rénàré sa formé et ses relations àveé les autres lignes.

Ëtt recommençant Tôpëiraiion précédente , on déterminera quktt^ Yioùveaùt points , et l'on continuera juâqu'à ce que ta courbe de pénétration soit complétemèiit dbtefiue.

360 ËXERGICE& PL. i2 bis.

Dans répure actuelle , cette courbe est déterminée par les points 57^0-64-34-60 8-62-60-34-64-60-0.

Les plans dont les traces horizontales seront comprises dans l'angle Prfc-Pi« seront évidemment les seuls qui contiennent les points de la courbe demandée ; cette courbe doit être tangente à la génératrice suivant laquelle le cdne V est coupé par le plan P«

Pour vérifier la position de cette génératrice , on fera bien de projeter sur la figure 6 le point 61 de l'ombre portée. Le rayon lumineux correspondant percera la base x"V' du cône, çn un point que Ton rabattra successivement sur a^'js^, et sur la figure 3 , d'où on le ramènera sur la projection horizontale de la base du cône V ; la génératrice que Ion obtiendra sera tangente à la courbe à double courbure au point 62, déterminé par le rayon de lumière qui aboutit au point 62 , suivant lequel Tellipse 9-34 est touchée par la trace du plan P»

540. Deuxième méthode. Quelques points pourront être déterminés directement, et sans le secours de plans coupants auxiliaires.

Ainsi , les deux ellipses 9-34 et 2-61 se coupent suivant deux points trop rapprochés pour qu'il ait été possible de les désigner par des chiffres.

L'un de ces points est l'ombre du point o suivant lequel se touchent les deux cônes U et V.

Le rayon de lumière passant par le second point déterminera celui qui est désigné par le n*^ 57, sur la circonférence de la base du cône V {fig. 4 et 3).

L'ombre kx de la génératrice vx située sur la partie supérieure du cône Y coupera l'ellipse 9-34 en deux points qui détermineront les points 64 de la courbe cherchée (fig. 4).

Enfin les deux points 34 de l'ombre portée sur le plan horizontal détermineront les points correspondants sur la ligne de séparation t?-2 du cône V»