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546. Les deux ellipses suivant lesquelles la sphère est coupée par les plans tangents au c6ne U, suivant les droites v*9 et v*8 , peuvent être déterminées par la méthode exposée aux n"» 534 ou 535. Ainsi ;
1* HH Par le sommet u du cône U (/igf. 4) , on concevra un plan P|4 parallèle au plan vertical de projection A'Z*.
2* HB Le rayon de lumière du point 9 sera coupé par le plan P|4 suivant un point 84 dont on construira la projection verticale figure 1 .
3* ■■"* La droite u'-84 de la figure 1 sera parallèle à la trace verticale du plan tangent au cône suivant la ligne de séparation u-9.
4® HB Le plan A"'Z"' perpendiculaire sur u'-84 , sera perpendiculaire au plan de la courbe cherchée, dont la projection 8o-85 sera par conséquent une ligne droite que Ton pourra déterminer en projetant le point u et le point 86 du rayon u*86.
5*BHMEn opérant comme au n^ 532, on obtiendra le centre 56, et les axes de l'ellipse suivant laquelle se projette Tombre portée sur la sphère par la ligne de séparation u-9 du cône U; les points de tangence seront déterminés par le point 88.
547. Le plan P|4 coupe le rayon de lumière du point 8 suivant un point 89 dont la projection verticale sera le point89 de la figure 1 .
La droite u -89 de la figure 1 sera parallèle à la trace ver* ticale du plan qui touche le cône U suivant la ligne de séparation u-8.
La projection sur le plan a'"'Z'"' rabattu figure 15 sera
PL. 12 bis. ÉPURES Î)E CONCOURS. 365
par conséquent perpendiculaire au plan du cercle suivant lequel ia sphère est coupée par le plan tangent au cône U, suivant la ligne de séparation u-8.
La courbe cherchée sera projetée sur la figure 15 par la droite 90-90, d'où il sera facile de déduire le centre 77 et les axes de sa projection sur la figure 1 .
548. Les ellipses suivant lesquelles les bases des cônes V et U se projettent sur le plan A'Z', peuvent être obtenues par les méthodes exposées aux n®' 531 , 535, ou bien en opérant de la manière suivante.
Le plan A**^Z"' perpendiculaire au plan vertical A'Z', et contenant Taxe nV du cône U, peut être rabattu autour de la droite qui contient le point n et qui est parallèle au plan A'Z'.
Par suite de ce mouvement, le point uu' viendra se placer en ti"^ que Ton obtiendra en traçant la droite w'ti"^ de la figure 1 , perpendiculaire sur la projection uV de Taxe du cône : et faisant u^u^"* égal à u-35, qui si|r la figure 4 exprime la différence des distances des points n etu, au plan vertical de projection A'Z'.
La droite 'n!u^^'' sera par conséquent Taxe du cône U.
La droite u"^-71 , tangente à la projection de la sphère inscrite , sera l'une des limites de la projection du cône sur le plan A^"^Z"\.
La perpendiculaire abaissée du point 71, sur Taxe nV'^ du cône , déterminera le' centre Z , que Ion ramènera en js' sur la projection verticale de Taxe. Enfin , le point 71, ramené sur nV, sera l'extrémité du petit axe de Tellipse demandée dont on connaît déjà le centre z^ et le demi grand axe js -93 égal à la droite 71 -Z.
Pour obtenir les axes de Tellipse suivant laquelle se projette le cône U, on rabattra le plan A^^Z^^, et le point v deviendra i?^^3 ensuite on tracera la droite v^W qui sera l'axe du cône. La tangente tf^-87, à la projection de la sphère inscrite,
^ SX^ÇSCBB. fL. 12 ki$.
4^termiDeri|l^ point 87, par lequel oq tmc^ra une perpendi- QUlAÎra à Tdxe t?^^m' du cône , ce qui donnera le point C.
Puis les points 87 et C étant ramenés sur dW, on coniiattra le centre c\ le demi petit axe c'-^7, et le demi grand axe c-74 égal à C-87 de l'ellipse demandée*
549. Les projections sur le plan A'Z' des ombres portées par le c6ne U sur le cône V , pourront être obtenues en élevant une perpendiculaire par chacun des points de la figure .4 jusqu'à la rencqntre de la génératrice correspondante projetée sur la figure 1.
On pourra vérifier les points de Fellipse 65-67-59 en les projetant sur la droite 68-73 (fig. 7), et prenant ensuite sur cette nouvelle projection la hauteur de chaque point audessus de A'^Z**, on portera cette hauteur au-dessus de A'Z' i^ur la perpendiculaire élevée par la projection horizontale du pQint correspondant.
850. Remarqua. La question que nous venons de résoudre offre un nouvel exemple du parti que Ton peut tirer des projections auxiliaires. Ainsi on a employé i
1 plan horizontal; 8 plans verticaux; 7 plans inclinés;
16 plans de projection.
Il ne faut pas s'effpayer de toutes ces projections auxi-
Uaîres, dont chacune se réduit souvent à quelques lignes, que
l'on a dû conserver ici pour l'explication de l'épure^ mais que,
dans la pratique, on efface aussitôt que l'on a obtenu le résultat cherché.
851. problènw. (Fig. 200 Vncàm circulaire étant déterminé par 9a projection $ur un plan u^tical èiïl paraiUU
JPZ. 12 6«. ÉPURER pg ÇQJiaOURS. %fft
à fOT» axe, il faut canstruir^ Iq projection ko^ontal^ dM cône j et les deux projections d'un cylindre drculaife d'iin f ayoi9 donné j q^i sqit fangent au çùne et au plan horizontal qui contient le sQintn^t du cùne.
V iiMw Le sprnmet u' étant projeté en t^^ Ia droite us parallèle à A'Z' sera la projectio}) borûontale de l'axe du cône.
2^ m^^m La perdendiculaire ^z donnera le centre de l'ellipse suivant laquelle se projette la base.
3"" iw La perpendiculaire r'r déterminera l'entrémité r du petit aie , et le demi grand axp sera égal à jsV , moitié de r'r'.
4® m^^mm La drpîte Wti', perpendiculaire sur t*V, déterminera le centre n' de la sphère inscrite.
S^ p^pw Ënfifi , l'horizontale ttV coupera la droite rV en un point o', qui sera la projection commune aux deux points o<,o , suivant lesquels l'ellipse touche les deux génératriis^s ifo^ limites de la pi^ojection horizontale du cône.
Les projections du cylindre demandé resteraient indétermisié0s, si l'on n'ajoutait pas quelque nouvelle condition à l'époncé du problème.
En effet, on conçoit qu'un cylindre circulaire d'un rayon donné pourra toujours être placé comme on voudra sur le plan horizontal , qui contient le sommet du pône donné ; or, ^ï l'on fait ensuite f'puler Ip cylindre , il y aura toujours un moment où les deux corps seroi^t tangei)ts l'un à Tautre.
D'après celi^ , supposons que , pour déterminer la question , o>n yeut que le point de tang^nce d^s deux corps soit situé sur lut circonférence g'h! du cercle suivant lequel le cône donné ser^i^ coupé par un plan P, parallèle à sa base.
On commencera , en opérant comme nous l'avons dit au n* 51:6, par chercher les deux projections d'une sphère, de même rayon que le cylindre demandé, et q\ii serait tan-*
368 EXERCICES. PL. 12 ins.
gente au c6ne donné suivant un point de la circonférence g'hi.
Puis , quand la sphère sera déterminée, il ne restera plus qu'à construire le cylindre horizontal circonscrit.
Pour éviter les répétitions, et pour que Texplication donnée au no 516 puisse convenir au cas actuel, j'ai employé :
Sur la figure 20 , les mêmes lettres que sur les figures 4 iO et 8. J*ai seulement dû changer Taccentuation , puisque les projections de la figure 20 n'ont aucune relation d*ordre avec celles qui font le sujet de la grande épure. Ainsi les accents ^ et* des figures 10 et 5 seront remplacés par les accents ' et " de la figure 20.
Lorsque la sphère qui a pour centre le point eé sera déterminée, on construira le cylindre circulaire circonscrit.
Mais il est évident que la direction de ce cylindre n'est pas arbitraire , et si Ton veut quMI soit tangent au cône , il faut que les deux surfaces soient touchées par un même plan.
La solution de cette dernière partie du problème se réduira donc aux opérations qui suivent :
1® iw La génératrice qui contient le point 55' suivant lequel le cdne donné "est touché par la sphère , percera la base f'f' du cône en un point al qui , rabattu sur le plan horizontal r 'K , en tournant autour de Thorizontale projetante du point redeviendra a".
2° mi La droite a V perpendiculaire àrextrémité du rayon js V sera une tangente , qui , ramenée à sa place , se projettera sur le plan vertical par aV.
3® mmmm Cette tangente percera le plan horizontal de projection en un point c', rabattu en c" sur le plan horizontal r'K et ramené de là en c , ce qui déterminera la droite ac^ tangente au point a à Tellipse suivant laquelle se projette la base du cône.
A^mmÊmhBi dfoite uc sera la trace horizontale du plan tangent au point 55' et parallèle , par conséquent au cylindre
PL. 12 his. ÉPURES MB CONCOURS. 360
horizontal demandé, dont il sera facile alors de oonstruire les deux projections.
S52. ombres. Les résultats obtenus sur la figure 30 ont été transportés sur la figure 17, et renversés de droite à gaudie , afin que les opérations soient plus convenablement placées dans Tespace disponible.
Cela étant fait , les ombres ont été tracées : l^awiSur le cône; 3^ mmmm Sur le cylindre ; 3^ BMiB Sur les plans de projection.
La ligne de séparation sur le cône a été déterminée par la méthode exposée au n*^ 520.
La ligne de séparation sur le cylindre , par la projection auxiliaire sur le plan Â^'Z'', perpendiculaire au cylindre.
Les ombres portées sur le plan horizontal ont été obtenues par la projection horizontale, par la projection verticale A'Z', et vérifiées par la projection A"Z".
Enfin, cette dernière projection a principalement servi pour déterminer les ombres portées sur le cône et sur le cylindre. Ces ombres , en partant du point 3 , sont composées de la manière suivante : 1*^ wmÊÊm La droite 3-4 formant l'une des lignes de séparation sur le cylindre j go ^gi^g^ VdLXC d'ellipse 4-5-6 , provenant de la section du cylindre par le plan qui touche le cône suivant la ligne de séparation uA ; 3° mmÊm La droite 6-7, qui appartient à la seconde ligne de
séparation sur le cylindre; 4'' «HM L'arc de cercle 7-8-3 , qui appartient à Tune des bases du cylindre et qui sépare cette base de la partie de surface cylindrique qui est plongée dans Tombre ; 5"aMi La droite 9-10, prolongement de 3-4, appartient à l'une des lignes de séparation sur le cylindre ;
370 ËXËRaCES. PL. 12 bis.
6* mamm La petite courbe 10-11 appartient à Tellipse 17-11- 10-18 provenant de l'intersection du cylindre, par le plan des rayons lumineux qui touchent le cône suivant la droite u-2 ;
7^ mamm La courbe 11 -12-1 3-1 4 est une partie de la ligne à double courbure 19-14-12-1 1-20-21 .22-23,suivant laquelle la surface du cylindre est pénétrée par les rayons lumineux qui s'appuient sur la circonférence de la base du cône;
9*WÊÊÊm La droite 14-15, prolongement de 7-6, est une partie de ligne de séparation sur le cylindre ,
9^ ■■■» Enfin , Tare de cercle 15-16-9 sépare la base obscure du cylindre de la partie de surface qui est éclairée.
