EXERCICES PL

un angle très-ouvert YAX. Les côtés de cet angle seront les directions des arêtes horizontales de la croix, Fangle YAX doit avoir au moins 140 degrés; une ouverture moindre (/Ig. 18) ferait paraître l'objet trop près, ce qui serait contraire aux sensations que l'on éprouve habituelleméht, et qui proviennent de ce que , pour regarder un corps, on se place toujours à une distance assez grande pour que le phénomène de la vision se produise d'une manière distincte.

Sur les côtés de l'angle YAX, on portera des longueurs à peu près proportionnelles aux parties correspondantes de l'objet, en évaluant par sentiment, le plus ou moins de raccourcissement qui doit provenir de la direction des lignes AY et AX; le reste ne dépendra plus que des hauteurs et du parallélisme des arêtes.

557. Si quelques-unes de ces arêtes sont circulaires comme celles du vase qui est dessiné en perspective (/îgf . 1 7) et en projections (Jig. 13 et 1 4), on construira la perspective du quarré circonscrit à chaque cercle , en opérant, comme pour la face supérieure du socle rectangulaire S". La perspective de chaque quarré sera le parallélogramme conjugué de l'ellipse correspondante, et lorsque ces ellipses seront tracées, on effacera toutes les lignes d'opérations. Avec un peu d'habitude, il sera facile de dessiner la perspective de chaque cercle sans tracer avec le compas la perspective du quarré circonscrit.

558. perspective Itométriqiie. La. perspective cavalière que nous venons d'étudier, ayant seulement pour but de faire comprendre la forme de certains détails d'assemblage,

PL. 41. ET QUESTIONS DIVERSES. dlS

n'exige pas une exactitude absolue , que d'ailleurs on ne peut obtenir que par la méthode des projections.

La perspective ordinaire, qui donnée une image fidèle des objets d'une certaine étendue, en altère encore plus les dimensions.

Ce n'est donc pas avec des dessins en perspective que l'on pourra faire exécuter un corps dont les dimensions sont déterminées. La méthode des projections seule consçrve la grandeur exacte de toutes les parties ; mais alors on ne reconnaît plus aussi bien la forme de l'objet représenté , et la description n'en peut être complète qu'avec deux projections.

Ces motifs ont engagé plusieurs fois à chercher s'il ne serait pas possible avec une seule figure, d'exprimer exactement la forme et les dimensions de l'objet que l'on veut décrire.

Pour atteindre ce but, M. le professeur anglais Farish a proposé la méthode suivante , reproduite par M. Tom Richard dans la 2° édition du Dictionnaire des Arts et Manufactures, et depuis par M. E. Dupré, conducteur des ponts et chaussées , dans le n** 27 du journal VIngénieur^ année 1854.

659. Soit {fig, 16 et 16) un cube qui a pour projection horizontale le quarré indiqué par des points sur la figure 16 ; Tune des diagonales de ce quarré étant parallèle au plan vertical de projection , qui a pour trace la ligne kby la projection verticale du cube sera le rectangle o^hu'h (fig. 16).

Si l'on suppose que la solide tourne autour de l'horizontale projetante oo', jusqu'à ce que sa diagonale oW soit venue se placer dans la position verticale oV, la nouvelle projection horizontale du cube sera l'hexagone régulier Avsn4:e.

876 BXEftctdBli PL. 41.

Or, si Ton conçoit que les diiTérents points de Tespace soient rapportés à troi^ axes rectangulaires qui aboutissent au point A, et qui coïncident avec les trois arêtes AX, AY et AZ du cube, les trois plans coordonnés correspondants ZX, ZY et XY seront les faces de Tangle trièdre qui a son sommet en A.

Mais la projection actuelle du cube étant un hexagone régulier, dont par conséquent le rayon oA est égal au côté Av ou Ae, û est évident qu'une longueur de tin fnètre, par exemple, parallèle à AZ, sera égale en projection à un mètre compté sur une parallèle à AX ou AY.

D'où il suit que toutes les longueurs parallèles aux axes AZ, AY ou AX, qui seront égales dans l'espace, se^ ront aussi égales en projection , et les rapports qui existeront dans Tespace entre deux dimensions parallèles aux axes seront encore égaux aux rapports des projections des mêmes lignes.

D'après cela, si nous concevons {fig. 8) que les angles YAZ et ZAX soient égaux chacun à 60 degrés , les droites AY , AZ et AX seront les projections horizontales de trois axes rectangulaires , parallèles aux arêtes du cube projeté sur les figures 15 et 16, et tous les points de l'espace pourront alors être déterminés par leurs distances aux plans coordonnés ZY, ZX et YX.

660. Supposons, par exemple, que Ton veut déterminer (fig. 8) la position d'un point M situé dans le plan des YX, on fera Am égal à la distance du point dont il s'agit au plan des ZY, et sur mM parallèle à l'axe AY, on fera mM égal à la distance du point M au j>lan des ZX.

561 . Pour déterminer (fig, 10) la position d'un point M d« Tespace , on fera :

Am égal à la distance du point M au plan des ZX ;

PL. 4i. ET QUESTIONS DIVERSES. 377

On fera ensuite mm' parallèle à AX, et de plus égal à la distance du point M au plan des ZY ;

Enfin, m'M parallèle à AZ sera la distance du point M au plan des XY.

562. Pour représenter (fig, 6) une droite MN de l'espace, on déterminera les positions M et N de deux quelconques de ses points.

La droite m'n! prolongée pourra servir à déterminer les traces t? et u de la droite MN.

563. Enfin, la position d'un plan P (fig, 12) sera déterminée par deux quelconques de ses trois traces eu, un ou m.

564. Voilà ce que M. le professeur Farish a nommé la perspective isométrique, c'est-à-dire qui conserve l'égalité des dimensions.

Cette méthode serait mieux désignée parle mot àeprojec^ tion isométrique, car il ne s'«agit évidepiment que d'une projection sur un plan perpendiculaire à la diagonale d'un cube, dont Jes faces remplaceraient les plans de projectiop que Ton emploie ordinairement dans la géométrie descriptive et dans l'analyse algébrique.

665. Pour donner à la méthode précédente un caractère de généralité, l'auteur a nommé plans isométriques les trois faces du cube auxquelles il rapporte les différents points de l'espace. Ainsi le plan des YZ a reçu le nom de plan vertical isométrique de gauche; le plan des ZX se nomme plan vertical isométrique de droite; et le plan des XY sera le plan isométrique horizontal, parce qu'il est toujours parallèle aux faces horizontales des objets que l'on veut projeter (fig, 9).

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Les parallèles à la droite AX seront des lignes isométriques de droite ; les parallèles à AY seront les isométriques de gauche, et les parallèles AZ seront des verticales isométriques.

666. Je crois que l'inventeur de la perspective isométrique, si toutefois on peut accorder à cette méthode le nom d'invention, s'est beaucoup abusé sur la portée de sa découverte, et je m'étonne que M. Dupré, conducteur des ponts et chaussées, et par conséquent essentiellement praticien, ait pu être séduit par une apparence de simplification qui n'existe certainement pas.

La méthode dont il s'agit ayant la prétention de remplacer d'un seul coup la perspective et la géométrie descriptive, nous allons l'examiner successivement sous chacun de ces deux points de vue.

Nous écarterons d'abord du débat la perspective rigoureuse, avec laquelle le principe que nous discutons n'a rien de commun. Il ne s'agit donc ici que de géométrie descriptive et de perspective cavalière.

667. Mais d'abord, pour que la figure que l'on obtiendra puisse, comme on le prétend, remplacer les deux projections de l'objet, t'I faut que le dessin soit exécuté avec le compas^ à une échelle déterminée. Or cette seule condition suffit évidemment pour lui faire perdre toute utilité pratique comme moyen de description expéditive.

668. Ensuite, c'est à tort que Ton prétend, par cette méthode, conserver les rapports des dimensions.

En efiet, le triangle OVU (fig, 14) étant rectangle en U, on a :