CHAPITRE IL

POLYEDRES.

18. Les faces d'un polyèdre étant nëcessairement planes , chacune déciles sera toujours entièrement éclairée ou entièrement obscure , à tnoins qu'elle ne reçoivent l'ombre portée par quelque corps étranger.

Ainsi les arêtes d'un polyèdre peuvent être classées de la manière suivante :

1® Les arêtes éclairées qui proviennent de V intersection de deux faces éclairées ;

T Les arêtes obsmres qui résultent de f intersection de deux faces obscures ;

S"* Les arêtes qui résultent de Vintersection d'une face éclairie avec une face obscure.

19. L'ensemble de ces dernières lignes compose, sur la surface du polyèdre, la ligne de séparation entre la partie éclairée et celle qui est obscure. Tous les rayons qui s'appuient sur ces arêtes forment un prisme qui enveloppe le corps , et dont rintersection avec les surfaces extérieures détermine le contour de l'ombre portée par le polyèdre.

Ainsi , dans tous les cas , le principe général consiste à concevoir le corps enveloppé par une surface parallèle aux rayons lumineux et qui aurait pour directrice la ligne où l'ensemble des lignes qui sur la surface du corps , séparent la partie qui est «clairée de celle qui est obscure.

20. La surface enveloppante dont nous venons de parler sera celle d'un cylindre ou d'un prisme , suivant que la ligne

de séparation sera composée de courbes ou de lignes droites.

La détermination de Tonibre portée ne consiste plus qu'à construire Tintersection du cylindre ou du prisme enveloppani avec les surfaces extérieures.

Or, toutes ces questions ayant été résolues dans la Géométrie descriptive que je suppose connue du lecteur, nous pouvons, dès à présent , regarder la théorie des ombres comme complète. Il ne nous reste plus qu'à choisir, comme sujets d'exercices, les exemples les plus convenables pour nous fannliariser avec les ditBcuItés de l'application.

SI . Premier exemple. Supposons que Ton veuille con-* struire (fig. 7, pi. 2) l'ombre d'une droite , ayant pour projection verticale le point 1.2, et pour projection horizontale la droite 1-2 perpendiculaire à la ligne AZ.

22. 11 est bien entendu que l'on doit admettre que cette ligne représente ici une tringle de bois ou de métal très-mince; car, il est évident qu'une ligne géométrique n'intercepterait aucun rayon lumineux , et ne pourrait par conséquent produire aucune ombre.

Tous les rayons lumineux qui s'appuient sur la droite donnée formeront un plan perpendiculaire au plan vertical de projection. La droite i.2 2' parallèle, à la projection verticale du rayon de lumière , sera l'ombre de la ligne donnée.

23. En général* lorsqu'une droite est perpendiculaire à Vun des plans de projection , son ombre sur ce plan est parallèle à la projection du rayon de lumière. L'ombre du point 2 résulte de l'intersection du rayon qui passe par ce point avec le plan vertical de projection.

24. Deuxième exemple. Soit (fig. iO) les deux projections d'un triangle horizontal dont les sommets sont projetés par les trois points 1 ,2,3 ^ on concevra par chaque sommet un

rayon de lumière dont on déternoinera Tintersectiôn avec le plan horizontal. Ces points étant joints entre eux par des lignes droites, on aura le contour de Tombre portée par le triangle sur le plan horizontal.

On remarquera ici que Tombre portée par le triangle est égale à cette figure elle-même. Cela provient de ce que les pians contenant les rayons lumineux qui s'appuient sur les trois côtés du triangle donné, forment un prisme triangulaire. Or, le triangle et son ombre étant deux sections horizontales , et par conséquent parallèles dans un même prisme , doivent être égales.

25. En général , l'ombre portée par une figure plane sur un ]/ plan qui lui est parallèle est toujours égale à cette figure.

26. Troisième exemple. Ombre d*un prisme vertical (fig. 8). Si par les arêtes verticales 1.2, 4.5 on conçoit deux plans parallèles au rayon de lumière, il sera facile de reconnaître que les faces 1 .2-6 , 4.5-6 sont éclairées , tandis que les faces 1 .2-3, 4.5-3 sont obscures ; et comme la base supérieure est éclairée, il en résulte que la ligne qui sépare la partie éclairée de celle qui est obscure, passe par les sommets 1 , 2, 3, 4, 5. En construisant Tombre de chacun de ces points (23), le contour de Tombre portée sera déterminée.

27. Quatrième exemple. Dans la figure 9 le prisme est hexagonal , et il sera facile de reconnaître ^ comme dans l'exemple précédent, que la ligne de séparation passe par les sommets 1,2,3,4,5,6,7,8.

Les sommets 1 , 2, 3, 4, porteront leur ombre sur le plan vertical ; mais on remarquera que Torabre de l'arête 4 et 5 fait un pli, et qu'une partie de cette ombre a lieu sur le plan vertical de projection , tandis que le reste de l'ombre de la même droite se porte sur le plan horizontal*

Oq détermioe d'abord 5' qui est Toinbre du point 5 sur le plan vertical , comme si le plan horizontal n'existait pas , et Ton tracera la droite 4-5' dont on ne conservera que la partie il -m. On construira ensuite le point 5'' qui est l'ombre du point 5 sur le plan horizontal , et la droite mS" complétera Tombre de rareté 4-5.

En continuant à tourner dans le même sens on déterminera, sur le plan horizontal , les points 6', 7', 8' et 1", de sorte que 8-1'' sera Tombre de Taréte 8-1 ; on ne conservera que 8'-n et l'on joindra le point n avec 1' par lequel nous avons supposé que Ton avait commencé.

Ligne de séparation sur les polyèdres.

28. Dans les deux exemples précédents la lignq de séparation était facile à reconnattre , mais lorsqu'il y aura quelque incertitude on pourra raisonner de la manière suivante : soit a6, be (fig. 1 1 ) les sections de deux faces adjacentes , par un plan parallèle aux rayons de lumière ; soit de plus mn l'un de ces rayons venant dans la direction indiquée par la flèche F \ il est facile de reconnattre que la face ab sera éclairée, tandis que la face bc sera dans l'ombre, puisqu'un rayon lumineux ne pourrait parvenir à cette face qu'en traversant la masse qui est indiquée par des hachures.

Dans la fig. 12 les deux faces ab, bc sont éclairées , tandis que si la lumière venait dans le sens contraire de celui indiqué par la flèche, les deux faces seraient obscures.

29. De ce qui précède on peut conclure cette règle générale : l^ On coupera le polyèdre par un plan parallèle à la direction de la lumière^ ce qui donnera un polygone A (fig. 16),

2* On construira , par chacun des sommets de ce polygone^ un rayon lumineux.

PLi 2. Ligne de séparation. 44

Ceux de ces rayons qui n* entrent pas dans le polygone^ dé" terminent les arêtes formant la ligne de séparation.

Les rayons qui entrent dans le polygone déterminent les arêtes éclairées . tandis que les rayons qui ne peuvent sortir du polygone qu'après l'avoir traversé^ déterminent les arêtes obscures.

Ainsi les arêtes des points 2 et 5 appartiennent à la ligne de séparation.

L'arête qui contient le point i est éclairée.

Enfin , les arêtes des points 3 et 4 sont obscures.

Il est bien entendu que la section A doit être choisie de manière à ce qu'elle coupa les arêtes pour lesquelles on éprouve de rincertitude [ il pourra même arriver que Ton soit obligé de faire plusieurs sections, parce qu'une seule ne couperait pas toutes les arêtes du polyèdre.

30. Cinquième exemple. ( Fig. i 3 , 1 5. ) Si nous appliquons les principes précédents à l'arête il-12 qui a la même projection verticale que 1 et 2 , nous supposerons le polyèdre coupé par un plan vertical pq parallèle au rayon de lumière, et nous construirons la projection vertical vsu de la section , et celle du rayon mn qui passe par le point s ; et comme ce rayon entre dans le polyèdre, il en résulte évidemment que l'arête il-12 est éclairée.

J'ar dit, en géométrie descriptive, comment on construisait les projections du dodécaèdre régulier dont on propose ici de construire les ombres.

En raisonnant comme nous venons de le dire y on reconnaîtra que la ligne de séparation passe par les sommets 4 , 2, 3^ 4,5,6,7,8,9,40.

Si nous supposons que l'on commence par le point 1 , on cherchera d'abord l'ombre des sommets 4, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sur le plan vertical de projection ; on joindra ces points par

iâ POLYÈDRES. PL. 2.

des droites jusqu*à ce que Ton soit parvenu au point t), suivant lequel l'ombre de Taréte 6-7 rencontre la ligne AZ.

On cherchera ensuite les ombres des sommets 7, 8, 9, 10, i sur le plan horizontal ^ ce qui déterminera la ligne brisée

Enfin on joindra le point u avec \\ ce qui complétera le contour de l'ombre portée par le polyèdre sur les plans de projection.

31. On fera bien, pour s'exercer, de construire la projection auxiliaire (/tgf. 14), ce qui donnera en même temps un moyen simple de vérification pour chaque point. La direction

'e la lumière sur la figure i4 se déterminera comme nous

avons dit au n® 14.