CHAPITRE IIL

32. La forme souvent très-composée des surfaces sur lesquelles se. projettent les ombres, peut donner Heu à des plis ou des interruptions qui présentent quelques difficultés avec lesquelles le lecteur ne pourra se familiariser que par un grand nombre d'exemples.

33. Premier exemple. Soit {fig. 17 et 18, pi. 5) les projections verticale et horizontale de deux marches parallèles aux plans de projection, la partie hachée en points représentant la coupe d'un mur vertical. Les lignes AX et BY sont les traces des plans horizontaux qui forment les faces supérieures des deux marches, et les droites Â'X', S'Y' sont les traces des plans qui forment les faces verticales.

Supposons, actuellement, que Ton veuille construire l'ombre portée sur ces marches , par une droite inclinée 1-2 , la direction du rayon de lumière étant donnée par ses deux projections s/, «T.

Tous les rayons lumineux qui s'appuient sûr la droite donnée 1-2 forment un plan dont il ne reste plus qu'à chercher l'intersection avec la surface de l'escalier.

Voici l'ordre des opérations :

1** On pourra commencer par construire les points 1', 2' qui sont les ombres des points 1 et 2 sur la surface verticale du mur, puis on tracera la droite l'-2' dont on ne conservera que la partie 1 -a,

2^ La verticale a^a! déterminera le point a' que Ton joindra avec 2", qui est l'ombre du point 2 sur la face horizontale de

la marche supéiieure; de sorte que l'ombre portée sur cette marche par la ligne donnée sera a'-2" dont on ne conservera que la partie a'-e'.

3® La verticale e-e déterminera le point e que l'on joindra avec 2"', qui est Tombre du point 2 sur la face verticale de la deuxième marche ; Tombre sur cette face sera donc e-u.

On tracera la verticale. u-u' et Ton auran', que Ton joindra avec 2'^, qui est Tombre du point 2 sur la face supérieure de la première marche. On ne conservera que u'-v!. '

i"" La verticale W-n donnera le point n que Ton joindra avec 2^ qui est Tombre du point 2 sur la face verticale de la première marche, i^'ombre sur cette face sera n-2^ dont on ne conservera que nro.

5® Enfin la verticale o-o* déterminera le point o' que l'on joindra avec 2^' qui est Tombre du point 2 sur le plan hori" zontal qui représente la terre. La petite droite o'-2'" complétera Tombre de la ligne donnée.

34. Les droites 1 -a, e-u, n-o^ doivent ôtre parallèles entre elles comme résultant de Tintersection de trois plans parallèles par le plan des rayons lumineux , qui s'appuient sur la droite donnée.

Il en est de môme des droites aV, u'-n!^ o'-2''.

35. Deuocième exemple. Supposons que Ton veuille construire Tombre portée sur les mêmes marches par un parallélipipède rectangle dont on a les deux projections (fig. 19 et 20). On reconnaîtra d'abord facilement que la ligne de séparation passe par les sommets 1 , 2, 3, 4, 5, 6, i .

Voici l'ordre des opérations :

!• On déterminera d'abord 1-2' qui est l'ombre de Taréte i -2 sur le plan horizontal qui représente la terre.

2*» La petite droite 2'- a' parallèle à 2-3 (-2S) sera l'ombre portée sur la terre par une partie de cette arête.

3"" l.a verticale a'-a donnera le point a que l'on joindra avec le point o suivant lequel l'arête 3-3 perce le plan qui forme la face verticale de la première marche ; de sorte que la droite a-o sera Tintersection de cette face par le plan des rayons lumineux qui s'appuient sur l'arête 2-3, et par conséquent la petite droite a-e sera l'ombre portée par une partie de cette arête.

4® La verticale 6-e' déterminera le point e' par lequel on tracera e'-r' parallèle à l'arête 2-3, et qui sera l'ombre portée par une partie de cette ligne sur la face supérieure de la première marche.

5** La verticale t'-r déterminera le point r que l'on joindra avec le point n suivant lequel l'arête 2-3 perce le prolongement de la face verticale de la deuxième marche \ par conséquent r-ti sera l'ombre portée sur cette face.

& La droite u'- m', parallèle à la ligne 2-3 sera l'ombre portée par cette arête sur la face horizontale de la deuxième marche.

7® La verticale w!^m donnera le point m que l'on joindra avec 3' qui est l'ombre du point 3 sur la face du mur. Cette dernière opération complétera Tombre de l'arête 2-3.

8® Les droites 3'-4', 4'-5' seront le ombres des arêtes 3-4, 4' 5 sur le mur.

9® La droite 5'-a?, ombre portée sur le mur par une portion de l'arête 5-6, sera déterminée par la condition qu'elle doit être parallèle à 3'- m, ou bien enjoignant 5' avec le point v suivant lequel l'arête 5-6 prolongée perce la face verticale du mur.

10^ La verticale x-cd donnera le point x\ et la droite x*'Z\ parallèle à l'arête 5-6 , sera Tombre d'une partie de cette ligne sur la face supérieure de la deuxième marche.

il® La verticale 2'-jç déterminera le point z par lequel on tracera js-p parallèle à 3'-m et formant l'ombre portée par une partie de l'arètè 5-6 sur la face verticale de la deuxième marche.

12® En continuant à raisonner conrnnie nous venons de le faire, on construira successivement :

pV parallèle à l'arête 5*6 ; gy parallèle à 3'-m.

Enfin y'-6'" parallèle à 5-6 ,

ce qui complète Tombre de cette arête.

36. On remarquera que la droite js-p prolongée doit passer par le point t suivant lequel Tarête 5-6 perce la face verticale de la deuxième marche.

Par la même raison la droite g-y doit aboutir au point c ; et les droites x^'Z\ p-g' prolongées doivent passer par les points 6', 6" suivant lesquels les faces supérieures des marches sont percées par le rayon de lumière du point 6.

37. Il ne faut négliger aucun de ces moyens de vérification qui forment , par la même occasion , autant de sujets d'exercices.

D'ailleurs la direction d'une ligne droite étant toujours déterminée par deux points , il faut , par de nombreux exemples , s'exercer à choisir sans hésitation , dans chaque cas, les deux points les plus avantageusement^ situés.

38. En général, après avoir reconnu quelle doit être^ sur la surface d'un polyèdre donné , la ligne de séparation entre la partie éclairée et celle qui est obscure y on cherchera V ombre d*un premier côté en prolongeant ^ sHl le faut^ la face qui reçoit cette ombre , et après avoir effacé tout ce qui est en dehors des limites de cette face^ on construira la suite de V ombre sur la face adjacente à la pretnière , en ne conservant que ce qui est dans les limites de cette deuxième face , et fon continuera de celte manière à chercher la suite de Vombre sur les troisième , quatrième et cinquième faces des corps extérieurs jusqu'à ce

que l'on soit revenu à V ombre du point par lequel on a commencé.

Toutes ces opérations sont la conséquence des principes exposés dans la Géométrie descriptive , sur la pénétration des polyèdres et l'exemple qui vient de nous occuper revient à Tintersection des surfaces des deux prismes , dont l'une est formée par l'ensemble des rayons lumineux qui s'appuient sur le polyèdre , tandis que l'autre se compose des faces verticales et horizontales de Tescalier.

39. Troisième exemple. Soit (fig, 21 et 22) les deux projections d'un escalier représenté en coupe sur la projection auxiliaire (fig. 23), la direction de la lumière étant déterminée par ses projections $-/, s -i', s"'f.

Les lignes de séparation, dans cet exemple, sont :

l"" Les arêtes brisées à droite de chacun des murs de rampe ;

^* Les arêtes verticales des points, H et 12 (fig. 22)^

3" L'arête horizontale 11-13 (fig. 21).

l** On construira d'abord sur le plan horizontal, et parallèlement à s'-l'^ la droite 1.2-a' qui sera Tombre portée par une partie de l'arête verticale 1-2.

2° Le reste de celte ombre se relève verticalement depuis a jusqu'à 2' qui est l'ombre du point 2 sur la face verticale de la première marche.

3* L'ombre portée sur cette même face, par une partie de l'arête horizontale 2-3, doit être parallèle à la projection verticale S'I du rayon de lumière (23), et par conséquent doit être dirigée vers le point 3, suivant lequel le plan qui forme la face verticale de la première marche est percé par la droite ^-3.

4** La petite droite c'-3', parallèle à l'arête 2-3, sera l'ombre portée par une partie de cette ligne sur la face horizontale de la première marche.

o" On tracera ensuite la droite 3'-e' dirigée vers le point 4'

18 POLYÉWIES. PL, 3.

suivant lequel le rayon du point 4 percerait le prolongemeot de la face supérieure de la première marche, de sorte que 3W est l'ombre portée sur cette face par une partie de Faréte 2-3.

6*" La continuation de cette ombre devient successivement e-n dirigée vers le point v sur la face verticale de la seconde marche ; ensuite fl-ni dirigée vers 4'' sur la face horizontale de la même marche ^ m-u dirigée vers les points 4 ou 3'' sur la face verticale de la troisième marche.

Enfin m'-4"' sur la face horizontale de cette dernière marche.

Quant à l'arête horizontale 4-5, son ombre lui sera parallèle et par conséquent perpendiculaire au plan vertical de projection.

I/ombre de la rampe à droite ne rencontrant pas les marches sera plus facile à construire, et se composera de la manière suivante :

1" La droite 6.7-7' parallèle à s-J' et formant l'ombre portée sur le plan horizontal par l'arête verticale 6-7.

2** La droite 7'-8' provenant de Tarôte horizontale 7-8 à laquelle elle doit être parallèle.

3** La droite 8-z' qui est l'ombre portée sur le plan horizontal par une partie de l'arête inclinée 8-9.

4** L'ombre portée par le reste de la même droite sur la face verticale du mur devient jg-9".

5** Enfin l'arête 9-10 étant perpendiculaire au plan vertical de projection, son ombre 9' -9. 10 doit être parallèle à la projection s-l du rayon lumineux (23).

Les ombres portées par les arêtes verticales des points 1 1 et 12 doivent être parallèles à $-{'.

L'ombre portée par l'arête horizontale 11-13 ne peut pas être vue.

40. On pourra , comme vérification ou comme exercice, se servir de la projection auxiliaire (/î^. 23) qui représente une

coupe de l'escalier, par un plan parallèle au inur de lampe. La projection 5"-/" du rayon de lumière se construira comme nous Tavons dit au n*' 14.

41. Quatrième exemple. Soit (/fg. 24 et 25, p/. 4) les projections verticale et horizontale d'un pan de bois, composé :

1^ De deux poteaux verticaux; 2** De deux traverses hori?:ontales ;

3* D'une pièce de décharge inclinée ou guette , assemblée dans les deux traverses.

On veut avoir l'ombre portée par ces différentes pièces :

1* Sur la face verticale d'un mur,

2*" Sur les faces horizontale et inclinée d'une banquette dont la coupe est indiquée par des hachures sur la figure 26 ;

3^ Enfin sur le plan horizontal de projection qui , dans cet exemple, représente la terre.

Les ombres des deux pièces horizontales oe présenteront aucune difficulté à construire -, celle de la traverse inférieure se portera sur le plan horizontal , et celle de la pièce supé* rieure aura lieu sur la face verticale du mur.

Pour les deux poteaux verticaux, il est évident que la séparation des faces éclairées et des faces obscures sera formée par les arêtes verticales désignées sur le plan par les points i et 2.

Commençons par le poteau à droite et supposons que l'on veuille d'abord déterminer l'ombre portée par Taréte verticale du point 1 .

\^ plan vertical formé par les rayons qui s'appuient sur cette arête coupera la surface de la terre, le talus, la face supérieure de la banquette et la face verticale du mur, suivant une ligne projetée sur le plan horizontal par la droite l-a-c'-ie'<îtsur le plan vertical par la ligne brisée l-a-c-e^l'.

Les verticales a!'^^ d-Cy e-« détermineront les trois points.

On construira de la même manière l'ombre du poteau k

gauche.

43. Pour reconnaître quelles sont les arêtes de la pièce in* clinée qui forment la ligne de séparation , on pourra employer le principe du n* 29.

Ainsi , en coupant cette pièce par un plan vertical pq^ parallèle à la direction s'-^ du rayoi> lumineux, on obtiendra pour section (fig. 24) le parallélogramme 3'-3'-4--4"; et les deux rayons 6-d, h-k ne traversant pas ce parallélogramme , nous en conclurons que la ligne de ^paration pour cette pièce passe par les points 3', A" et se compose, par conséquent, des arêtes 5-6, 7-8 situées dans les deux faces opposées du pan de bois , comme on peut le reconnaître par rinspection des figures 25, 26.

Ordre des opérations, i® Supposons que Ton ait d'abord déterminé le point 5' qui est l'ombre du point 5 sur la face verticale du mur. On tracera 5-0 parallèle à l'arête 5-6, ce qui donnera Tombre portée sur le mur par une partie de cette arête.

2* La verticale o-o' donnera o', que Ton joindra avec le point u'suivant lequel Tarête 5-6 perce le plan horizontal qui forme la face supérieure de la banquette, de sorte que o'-z' sera Tonibre portée sur cette face par une partie de Tarête 5-6.

3* La verticale a'-JK déterminera «, que l'on joindra avec m suivant lequel Tarête 5-6 prolongée perce le plan incliné qui forme le talus ; et la droite z-x^ z'-x' sera Tombre portée sur ce plan par une partie de Tarête 5-6.

Âf" Enfin, la verticale x-ocf déterminera le point x\ que l'on joindra avec v' suivant lequel Tarête 5-6 prolongée rencontre la terre , ce qui complétera l'ombre de l'arête 5-6.

Ainsi, cette ombre est une ligne brisée projetée sur le

PL. 4. OMBRES BRISÉES. âl

plan vertical par o'-o-JS-x-6' et sur le plan horizontal par

43. La projection auxiliaire {fig. 26) sera très-commode pour déterminer le point m, ou bien encore les points 5", &\ qui sont les ombres des points 5 et 6 sur le plan incliné qui forme le talus.

Si cependant on n'avait pas assez de place sur T^pure pour construire la projection auxiliaire 26, on appliquerait le principe admis en géométrie descriptive. Ainsi {fig. 30), pour 4étermi4aer l'ombre du point m sur un plan parallèle à I^ ligne AZ et dont les deux traces seraient GB, G'B\

On construira :

1* Le plan vertical rrlfq contenant le rayon de lumière du point m;

2® La droite a6, ay qui résulte de Tintersection du plan donné par le plan mlpq;

3* Enfin le point ml\ wT suivant lequel la droite ab est rencontrée par le rayon de lumière du point m.

De sorte que les deux points m^ et wT seront les deux projections de l'ombre du point m sur le plan donné CB, C/fi'.

L'ombre de l'arête 7-8 (/S9. 24 et 25) se déterminera en opérant comme pour l'arête 5-6.

44. Cet exemple suffit pour faire comprendre ce qu'il. y aurait à faire pour construire tes ombres portées par un système de charpente, quelques nombreuses que soient les pièces qui entreraient dans sa composition.

On voit qu'il suffit de chercher séparément l'ombre de chaque pièce y et la solution complète de la question résultera de la réunion de toutes ces opérations particulières.