Les données sont (p

1* Les deux projections B, B' d'un parailélipipède rectangle^ oblique par rapport au pian vertical de projection ;

2*^ Les deux projections a-a^ a'-a' de l'axe d'un cylindre C, C' posé horizontalement sur le parailélipipède B, B';

3* La projection horizontale c'-n' de Taxe d'un second cylindre circulaire D, D' oblique aux deux plans de projection et perpendiculaire au premier cylindre sur lequel il est posé ;

4" Le rayon fc-m du deuxième cylindre et Tangle V que son axe foit avec le plan horizontal de projection ^

5** Les deux projections «-/, s'-l' d'un rayon de lumière.

On demande de construire les projections de ces cylindres ainsi que les limites d'ombre , et les ombres portées par ces corps sur eux-mêmes et sur les plans de projection.

Les opérations qui vont suivre étant assez composées, j'engage le lecteur à doubler toutes les dimensions de Tépure.

Projections du cylindre horizontal. Le rayon ao du cylindre horizontal sera déterminé (fig. 32) par la hauteur de Taxe a-a au-dessus de la face supérieure du parallélipipède B, B'; et sur la figure 35, la droite v'-v\ double de ao^ sera la projection horizontale de Tune des bases du même cylindre.

Cette même base aura pour projection verticale (fig. 32) Tellipse ot?ov, qui a pour grand axe la verticale o-o^ double de aOj et pour petit axe l'horizontale v-Vj déduite de la projection horizontale v'-v'.

L'autre base , si l'on voulait la projeter, se construirait de la même manière.

Projection horizontale du cylindre oblique. Le moyen le plus simple sera de faire une' projection auxiliaire sur un plan vertical X^AY, parallèle à la direction du cylindre incliné D,D'. Cette disposition d'épuré sera d'autant plus convenable dans le cas qui nous occupe, que les directions des deux cylindres étant perpendiculaires l'une à Tautre , le nouveau plan vertical de projection X'AY, parallèle au cylindre incliné, sera en même temps perpendiculaire au cylindre horizontal; ce qui est, comme nous l'avons vu en géométrie descriptive , la position la plus simple que puissent occuper deux cylindres par rapport aux plans de projection.

L'axe du cylindre horizontal se projettera sur le plan X'AY par un seul point a"^ dont la hauteur a"& au-dessus de la droite AX\ doit être égale à la hauteur du point a au-dessus de AX(/îg. 32); le cercle décrit du point a" comme centre avec un rayon aV égal à ao (fig. 32) sera la trace et en même temps la projection du cylindre horizontal CC' sur le plan X'AY.

Du point a", comme centre , avec une ouverture de compas a"k égale à la somme des rayons des deux cylindres , on décrira Tare de cercle MN, puis on tracera la tangente c"-n"^ faisant avec AX' un angle V donné par la question.

26 CYLINDRES. PL. g.

La droite c^^-n" sera la projection de l'axe cn^ cV du cylindre incliné D, D'.

Par suite de ces opérations , le point n" sera déterminé , et le point c" n'étant pas donné , pourra être pris à volonté. Le rectangle xxuu sera la projection du cylindre incliné DD' sur le plan auxiliaire X'AY, et les points cc^-nv! pourront être facilement construits sur les figures 35 et 32.

Les projections horizontales des deux bases du cylindre DD' seront deux ellipses, ayant pour leurs grands axes les droites e-c, c'-c\ égales chacune à deux fois le rayon n"w, et pour petits axes les droites a?'-a?', w'-m', projections horizontales des deux diamètres x-x^ u-ti.

Projection verticale du cylindre D. Si nous faisons {fig. 31) nn^ égal à z-n', et c-c'' égal à qc\ le rectangle D'" égal à D" pourra être considéré comme la section du cylindre DD' par le plan qui contiendrait son axe et qui serait perpendiculaire au plan vertical de projection.

Cette section, que l'on suppose rabattue sur l'épure en tournant autour de sa trace verticale n^c^ pourra être effacée dès qu'elle aura servi à déterminer les axes des deux ellipses qui représentent sur la figure 32 les projections des deux bases du cylindre incliné D.

Ombres.

48. Ligne de séparation sur le cylindre D, I/. Cette ligne (fig, 35) se compose de deux arcs l-M'-e'-2, 3-jp'-«-4, et des deux droites 2-3, 4-1 , suivant lesquelles le cylindre est touché par deux plans parallèles aux rayons de lumière (12).

La détermination des droites 2-3, 1-4 dépend du principe général donné en géométrie descriptive pour construire des plans tangents à un cylindre parallèlement à une ligne donnée. Mais, d'abord , on n'a pas toujours les traces du cylindre, en-

suite, sa forme circulaire permettra, dans le cas actuel, d'employer des moyens qui seront convenablement placés ici comme sujets d'exercices.

49. Première solution* En l'absence de la trace horizontale du cylindre , on pourra opérer de la manière suivante :

1* Par le point y, y' (fig, 34 et 35) , pris à volonté sur Taxe du cylindre, concevons la droite yd, y'd' parallèle à la direction «"-I", s'-V du rayon lumineux. L'axe c"'n!\ c'-n' du cylindre , et la droite y-d, y'-d' déterminent un plan parallèle au cylindre et au rayon lumineux;

2° La droite d-d', perpendiculaire à X'A, déterminera le point d', suivant lequel la droite y-d, y'-d' perce le plan qui contient la base du cylindre , de sorte que â!-n! sera Tintersection de ce plan par celui qui contiendrait Taxe du cylindre et qui serait parallèle à la direction de la lumière.

Or, si Ton fait mouvoir ce dernier plan parallèlement à lui-même il sera tangent au cylindre lorsque la droite loVd' sera venue prendre la position w"-d" parallèle à w'-d! et tangente à Tellipse l-w'-2-w', qui est la projection horizontale de Tune des bases du cylin'lre.

Le point de tangence 2 déterminera la droite 2-3, suivant laquelle le cylindre est touché par un plan parallèle à la direction de la lumière.

Nous aurons souvent , par la suite , l'occasion de construire des tangentes à une ellipse , parallèlement à une droite donnée. Je crois, pour cette raison, qu'il sera utile de rappeler la construction connue.

Soit (fig, 33) une ellipse à laquelle on veut mener deux tangentes parallèles à la droite $4.

On commencera par construire une corde quelconque ac , parallèle à la direction de s-I, et l'on joindra le milieu de cette corde avec le centre o, par un diamètre dont les extrémités m et n seront les points de tangence demandés.

28 CYLINDRES. PL. g.

C'est ainsi que l'on a dëtenniné les points de tangence 2 et 1 (/¥gr. 35), en faisant passer le diamètre 2-1 par le milieu d*uiie corde parallèle à d'tc'.

Pour éviter la confusion des lignes , cette corde n'a pas été conservée.

SO. Deuûcième solution. Les deux côtés x-u^ x-u {fig. 34) étant prolongés , perceront le plan horizontal suivant les deux points mV", wV". L'ellipse u'"-e"'U'^'-e" sera la trace horizontale du cylindre incliné D, D'.

De là résultent les constructions suivantes :

V Par le point n"n' ou par tout autre point de Taxe, on construira la droite n"-gf, w'-gf', parallèle à la direction de la lumière,

S*» On déterminera le point g\ suivant lequel cette droite perce le plan horizontal, et Ton joindra g' avec n"' par la droite g'-n"', qui sera la trace du plan mené par Taxe du cylindre parallèlement à la direction du rayon lumineux ;

3** Il ne restera plus qu'à faire mouvoir ce plan parallèlement à lui-même, jusqu'à ce que sa trace g'n'" soit venue se placer en t"-2'.

Cette dernière droite, parallèle à gfV", sera la trace du plan formé par les rayons de lumière qui touchent le cylindre suivant la ligne 2-3.

Le point de tangence 2' et le point correspondant 1', appartenant à la droite 1-4, se détermineront comme dans la solution précédente.

Toutes les constructions que nous avons faites ici dans le plan horizontal de projection, auraient pu être faites également dans la face supérieure du parallélipipède B''B', ou dans tout autre plan horizontal.

51. Troisième solution. Les deux solutions précédentes exigent la construction des tangentes à l'ellipse , de sorte que l'exactitude du résultat dépend de la précision avec laquelle

cette courbe aura été tracée. Or, une ellipse ne pouvant être construite que par points^ les opérations qui en dépendent ne sont jamais aussi exactes que celles qui résultent de la seule combinaison de la ligne droite et du cercle.

Pour atteindre ce but, on opérera de la manière suivante :

i* On construira comme précédemment la droite y-d, y'-d', et Ton déterminera le point S;

^ On fera tourner le pian dtoto" autour de sa trace horizontale ton?". Par ce mouvement, le cercle u-u viendra se placer dans le plan horizontal, et la droite \xSdi deviendra v'd"';

3** Enfin , le rayon n'^'-â", perpendiculaire sur M?'d"', déterminera le point de tangence 2", et par suite la droite 2-3.

La ligne v"2" représente dans le rabattement, Tintersection du plan de la base du cylindre par le plan tangent suivant la droite 2-3, et qui est parallèle à la direction de la lumière.

52. Quatrième solution. 1** Si du point n"' comme centre^ on décrit la circonférence w*^-e"-ti''-c", on pourra considérer cette courbe comme la projection horizontale de la section du cylindre par un plan v^ \C perpendiculaire au plan de la projection auxiliaire X'AY. Les points u^, u^ seront déterminés par la rencontre des deux lignes a5-w, x--u prolongées, avec les droites ti'^'-t*', u'^'-t*^, perpendiculaires à X'A;

2* La droite g-n", g-n', prolongée jusqu'au plan ti^-ie' (/îg. 34), déterminera le point A, V, et par suite la droite fcW" qui résulte de Tintersection du plan u^'-vH' par le plan qui contient Taxe du cylindre et qui est parallèle aux rayons de lumière ;

3** Le rayon n"'-2"', perpendiculaire sur n'"-/i', déterminera le point de tangence 2'" et par conséquent la droite 2-3.

La petite tangente t-2'", perpendiculaire sur le rayon n" -2"', est Tintcrsection du plan u"'-u^ par le plan qui touche le cylindre suivant la droite 2-3.

Les projections des deux droites 2-3, i-4, sur la figure 32,

30 CYUNDRES. PL, g.

seront déterminées par les intersections de l'ellipse l-6'"-2-e'" avec les verticales élevées par les points 1 et 2 de la figure 35.

On remarquera aussi que les hauteurs des points 1 et 2. audessus de la droite ÂX, sur la figure 32, doivent ôtre égales à celles des mêmes points au-dessus de AX' {fig, 34).

J'ai indiqué toutes ces solutions comme sujets d*exercices. 11 est bien entendu que, dans la pratique, le lecteur choisira dans chaque cas celle qui conviendra le mieux à la disposition particulière des données.

53. Les deux dernières solutions ne sont applicables qu*aux cylindres circulaires. II eût été plus général de ne pas introduire cette condition*, mais les principes pour construire un plan tangent à un cylindre quelconque, ayant été exposés dans la Géométrie descriptive^ j'ai pensé que dans un Traité d'application il fallait mieux s'exercer sur des exemples qui se présentent fréquemment, surtout dans les dessins des machines.

D'ailleurs les deux premières solutions conviendraient à tous les cylindres , pourvu que Ton ait leur trace ou leur section par un plan quelconque , de sorte que la seule différence consisterait dans les moyens employés pour obtenir ces courbes, qui alors se construiraient par points.

La construction des tangentes et la détermination des points de tangence dépendrait aussi de la nature des courbes {Géométrie descriptive).

54. Ombre portée par le cylindre DD'. La ligne de séparation étant déterminée et passant par les points l-M-e-2-3-a?'-e-4-i (fig, 35), il ne reste plus qu'à construire l'ombre portée par chacune des parties de cette ligne.

Première opération. Les rayons de lumière qui s'appuient sur l-t*'-e-2 forment une portion de surface cylindrique dont rinterseclion avec la face supérieure du parallélipipède B, B' sera la courbe 1"-m'-2^ (fig. 35).

PL. 5. GYUNDRES. 31

La construction de cette courbe sera rendue facile par la projection auxiliaire (/îgr. 34). Ainsi, par exeniple, le rayon de lumière du point 2 percera le plan horizontal u-al en un point ^^^ dont la projection horizontale 2^ sera Tombre du point 2.

On déterminera de cette manière autant de points que l'on voudra , en choisissant de préférence ceux qui sont situés sur les tangentes à la courbe, parce qu'on sait (Géométrie descriptive) que la tangente se confondant avec la courbe dans le voisinage du point de tangence , la direction de la courbe se trouve toujours mieux déterminée lorsque Ton connaît la tangente et le point de tangence (fig, 36) qu'elle ne le serait par un point d'intersection (fig, 38). •

Ainsi, on déterminera (fig, 35) les points 2^, 1" suivant lesquels la courbe l"-u-2^ est touchée par les droites 2^-i', i"-r', résultant de Tintersection de la face supérieure du parallélipipède B, B' par les deux plans que forment les rayons lumineux qui s'appuient sur le cylindre.

Le grand nombre d'ellipses que l'on a l'occasion de tracer dans les diverses applications de la géométrie descriptive, familiarise promptement avec la forme de cette courbe. De là il résulte qu'il est souvent plus facile de tracer la courbe tout entière , sauf à eifacer après coup les parties que Ton n'a pas besoin de conserver.

Ainsi , on fera bien de construire le point li^" suivant lequel l'ellipse l"-t*-2^-u^" est touchée par la droite ti^-t*''" perpendiculaire à AX'.

On remarquera également que les deux ellipses l"-u-2'-u'"', 1-uV-2 doivent se toucher en un point u' situé dans la face supérieure du parallélipipède B', B", et que de plus elles sont touchées toutes les deux au même point par la droite u-u\ perpendiculaire à AX'.

Deuxième opération. La droite 2^-f' est l'ombre de la ligne 2-3 et provient de l'intersection de la face supérieure du pa-

rallélipipède par le plan tangent formé par les rayons lumineux qui s'appuient sur 2-3.

Le point 2^ étant déterminé par Topération précédente, il suffira de construire l'ombre d'un second point de la droite 2-3. Ainsi, par exemple, le rayon de lumière qui passe par le point 9 (/Ig. 34) étant prolongé jusqu'au plan u-o\ déterminera sur le plan horizontal le point 9' que Ton joindra avec 2^.

On pourrait aussi déterminer le point suivant lequel la droite 2-3, prolongée, rencontrerait le plan horizontal d-Uy prolongé aussi.

Enfin on pourrait se contenter de tracer 2^-9 parallèle à 2'-tD", parce que ces deux droites sont les intersections de deux plans parallèles par le plan tangent formé par les rayons lumineux qui s'appuient sur la droite 2-3.

La verticale i-t déterminera le point i, que Ton joindra avec 3' qui est Fombre du point 3 sur la face verticale du mur. On peut remarquer, comme vérification , que la droite (-3' prolongée doit aboutir au point 10' suivant lequel la droite 2-3 prolongée aussi perce la face du mur. La hauteur du point 10' au-dessus de AX (/îg. 32) doit être égale à la hauteur du point 10 au-dessus de AX' {fig, 34).

On opérera de la même manière pour construire les deux droites i"'r' (fig. 35)etr-4' (/îg. 32), qui forment Tombre portée par la droite 1-4 sur le parallélipipède et sur le mur.

Troisième opération. La courbe A'-x'"'3* (fig 32), qui est l'ombre portée par l'arc 4-a5'-3 , ne présentera pas de difficulté. Les hauteurs des points pourront être vérifiées par la projection {fig. 34). Ainsi , la hauteur du point x'" au-dessus de AX (fig, 32) doit être égale à Ax" (fig. 34).

Quatrième opération. Lés deux plans tangents formés par les rayons lumineux qui s'appuient sur les droites 2-3, 1-4, couperont le cylindre horizontal C, C' suivant deux ellipses inclinées qui sont les ombres portées par une partie de chacune des deux droites 2-3, 1-4.

La courbe t)"'-o"-6"' {fig, 35) provient de l'intersection du cylindre C, C' par les rayons lumineux qui s'appuient sur la portion de droite 5-6 {fig, 34 et 35). Les deux points 5 et G seront déterminés sur la figure 34 en construisant les deux tangentes 5-5' et 6-6' parallèles à la projection 5"-l" du rayon de lumière. Le diamètre 5'-6\ perpendiculaire à la direction de s"-r, déterminera avec exactitude les deux points de tangence 5' et 6' dont les projections horizontales 5" et 6" seront sur les droites 5-5", 6-6" tangentes à l'ellipse «"■•o"-6".

On déterminera ensuite, de préférence, les points v"', t)"' suivant lesquels la courbe est touchée par les deux droites v"-d"' situées dans le plan horizontal qui contient Taxe du cylindre C, C.

Les deux points o", o", situés dans le plan vertical qui contient le même axe , appartiennent à la tangente 2^-9' et à une autre tangente parallèle à la première et qui passerait par le deuxième point o".

On déterminera de cette manière un assez grand nombre de points pour que la courbe puisse être tracée avec exactitude.

On remarquera aussi combien la projection auxiliaire (/îg. 34) facilite les constructions. Cela vient d'abord, de ce que cette projection est parallèle au cylindre D', D" et ensuite de ce qu'elle est perpendiculaire à toutes les surfaces sur lesquelles les ombres sont portées.

55. En général, dans toutes les questions où il s'agira de construire la courbe de pénétration de deux surfaces, le travail sera toujours considérablement simplifié si l'on place Tune d'elles perpendiculairement à l'un des plans de projection \ ce que l'on pourra toujours faire lorsque cette surface sera un plan, un prisme ou un cylindre-, elle devient alors l'une des deux surfaces projetantes de la courbe cherchée , dont il ne reste plus qu'à construire la seconde projection.

34 CYLINDRES. PL. g.

La courbe t?'^-o*"-tr-o*', projection verticale de la courbe t)"'.o''-t/' -o", s'obtiendra en prenant les hauteurs de tous les pointa sur la figure 34.

Ainsi les deux points t?**, %r sont à la hauteur de Taxe a-a, Vxxn des points o'" est dans la face supérieure du paralléfipipède, et le second point o"' est sur la génératrice la plus élevée du cylindre C, C'.

On pourrait recommencer toutes les opérations précédentes pour construire l'ombre portée par la droite 7-8 (/îg. 34 et 35)-, mais il sera plus simple de prendre la distance o^'-o^ (/tg. 35) et de la porter sur un certain nombre des génératrices du cylindre C* à partir des points où ces génératrices sont coupées par l'ellipse o"-t;"-o"-v"'.

On pourra employer le même moyen pour construire la projection verticale de la même courbe, dont les points devront d'ailleurs se trouver sur les verticales élevées par les points correspondants de la projection horizontale.

Cette dernière opération complétera l'ombre portée par le cylindre incliné sur le cylindre horizontal.

56. Ligne de séparation sur le cylindre horizontal. Cette ligne se compose (/îgf. 32 et 35) :

V Des deux droites horizontales 11-12, 13-14;

2*^ De l'arc de cercle dont les projections sont 12-v-o-14 et 12.d'-14 ;

3"" Enfin d'un autre arc de cercle appartenant à la seconde base du cylindre , qui ne peut pas être vue , et qui d'ailleurs est cachée par le plan de la projection auxiliaire (fig. 34).

Les droites 11-12, 13-14 étant perpendiculaires au plan de la figure 34, ont pour projections sur ce plan les deux points 6' et 6'. Les deux droites 5-5', 6-6', tangentes au cercle C et parallèles à s'-t", sont les intersections du plan de la figure 34 par les deux plans formés par les rayons lumineux qui sont

PL. e* CYLINDRES. 35

tasgents au cylindre C'^ G", suivant les droites 11-12, 13-14. Enfin ) U$ (mbru portées par le cylindre horizontal sur le mur et sur la face supérieure du parallélipipède ne présentent pas assez de difficultés pour embarrasser le lecteur.

BBUXlàliS ÉTUDfi n'OMBRSS SUR LES GTUNDRES (PL. 6)*

â7. Deux tronçons de colonnes sont appuyés âur des blocs de pierres provenant des ruines d'un monument. II s'agit de construire leurs projections et de tracer toutes leâ ombres , la direction de la lumière étant donnée.

Ce problème, proposé en 1850 pour le concours d'admission à l'École des beaux-arts , revient à construire les projections de deut cyNndres circulaires dont on connaît les rayons et les axes ; puis à déterminer toutes les lignes de séparation et d'ombres portées sur ces cylindres et sur les prismes rectangulaires qui leur servent d'appui.

La forme du cadre adoptée pour met épures m'a permis d'éloigner les projections auxiliaires et d'éviter par là une eonfusion de lignes qui pourrait , en fatiguant l'attention du lecteur, nuire à la clarté des explications.

11 est d'ailleurs évident que ces dispositions particulières ne changent rien à la solution du problème , et qu'en employant des encres de couleur pour distinguer les diverses opérations, il sera facile d'exécuter l'épure dans les limites d'un cadre beaucoup moins étendu.

Les données du problème sont :

V Les protections horizontales bs et dm des axes des deux cylindres circulaires de rayons égaux B et D ^

2* Les points b et d , suivant lesquels les droites b$ et dm percent le plan horizontal de projection qui représente ici la surface du sol ;

3® Les points s et m sont les centres des sections droites formant les bases les plus élevées des deux cylindres donnés ;

4* L'angle V exprime l'inclinaison du cylindre B sur le plan horizontal de projection , et la direction du second cylindre doit être perpendiculaire àcelie du premier ; ~

5*^ La base inrérieure du cylindre B est appuyée sur la terre, et la base inférieure du cylindre D repose sur la face supérieure d'un parallélipipëde rectangle T dont on connatt la hauteur ;

6® Les deux cylindres sont en outre appuyés sur les deux prismes K et R, dont les projections horizontales seules sont données par la question.

58. Notation. Le grand nombre de projections auxiliaires et de rabattements employés dans cette épure exige quelques explications.

En effet, en ne désignant que les points les plus essentiels , et chaque point étant exprimé par une seule lettre , quel que soit le nombre de ses projections, il a cependant fallu employer deux alphabets complets et 50 nombres, ce qui fait plus d'une centaine de points différents.

On comprendra, par cet exemple, combien il serait diflScile d'appliquer ici des notations qui exigeraient plusieurs lettres pour désigner chacune des projections d'un même point ^ car, indépendamment des cinq projections verticales employées dans cette épure, il y a encore quatre projections sur des plans auxiliaires perpendiculaires aux plans verticaux.

Or comment, dans ce cas, distinguera-t-on les différentes projections verticales ou inclinées de toutes les manières dans l'espace ?

Je pense donc, comme je Tai dit dans l'ouvrage que je publie sur les Exercices de géométrie descriptive , qu'il sera beaucoup plus simple de désigner les divers plans de projection successivement introduits par A'Z', k"Z"y a!"Z"\ et ainsi de suite , de sorte que les différents accents indiqueront l'ordre suivant lequel chaque nouvelle projection sera venue concourir à la solution du problème.

Je ferai même remarquer ici que, pour obtenir encore plus de symétrie dans les notations, je ne me suis pas servi de Texpression AZ, que j'emploie habituellement pour désigner l'intersection du plan horizontal avec le plan vertical de pro« jection.

J'ai pensé que dans l'épure actuelle il vaudrait mieux désigner par â'Z' la trace du plan de projection sûr lequel tous les points seront désignés par l'accent ' ; par A"Z" la trace du plan de projection sur lequel tous les points seront désignés par l'accent "*, par A"'Z'" la trace du plan sur lequel toutes les projections seront désignées par '", etc.

Ensuite, les diverses projections étant suffisamment écartées les unes deé autres , on ne craindra pas de confondre les points correspondants^ c'est pourquoi je n'ai pas cru devoir mettre des accents aux points qui sont désignés par des chiffres, les projections auxquelles se rapportent ces chiffres étant suffisamment distinguées par les accents qui désignent les droites sur lesquelles ils sont situés.

Peut-être pensera-t-on que j'aurais pu me dispenser d'indiquer un aussi grand nombre de détails , et qu'il suffisait de rappeler au lecteur les principes généraux desquels dépend la solution du problème.

S'il en était ainsi, le traité actuel deviendrait parfaitement inutile, et Ton pourrait se contenter de ce que j'ai dit dans les quatre premières pages : car, il ne faut pas l'oublier, c'est en variant les méthodes que l'on devient habile. L'art du praticien ne consiste pas à employer toujours les moyens uni*

formes qui résultent d'un principe général, mais à changer, au contraire, les opérations dans chaque cas, en profilant de toutes les circonstances particulières qui peuvent simplifier le travail.

C'est pour familiariser le lecteur avec les moyens d'abréger ou de vérifier chaque point que j'ai cherché à réunir dans un même exemple les différentes manières d'obtenir le résultat.

Les considérations précédentes étant admises , voici Tordre dans lequel on devra exécuter toutes les opérations.