OMBRES PORTÉES

61. Toutes les lignes de séparation étant déterminées sur les cylindres et sur les prismes, il ne reste plus qu'à construire les ombres portées.

Mais, pour soulager l'attention, je commencerai par faire reconnaître toutes les lignes qui nous restent à construire , et nous verrons ensuite quels sont les moyens les plus convenables pour obtenir chacune d'elles.

Le cylindre D étant placé au-dessus de tous les autres corps, il n'y a pas d'autres lignes à déterminer sur la surface de ce cylindre que celles qui forment les lignes de séparation dont nous avons parlé plus haut. Il n'en est pas de même du cylindre B. En effet :

Omhft^ portées sur le cylindre B.

Si Ton jette un coup d'œil sur la projection horizontale, on trouvera pour limite des ombres :

1® La droite 16-17, projection horizontale de l'arc d'ellipse suivant laquelle le cylindre B est coupé par le plan vertical formé par les rayons lumineux qui s'appuient sur l'arête 17 du prisme R^

2"* La courbe 17-18, qui appartient à l'ellipse suivant laquelle le même cylindre est coupé par le plan des rayons lumineux qui s'appuient sur l'arête horizontale 17-4-7 du prisme R^

3^ L'arc d'ellipse 18-19 provenant de la section du cylindre B par le plan des rayons lumineux qui touchent le cylindre D suivant la génératrice 4-4 ;

4* La droite 19-1, qui forme une partie de la ligne de séparation 1-1 sur la surface du cylindre B;

5* La droite 1-13, qui appartient à la même ligne de séparation 1-1.

6® L'arc d'ellipse 13-3 provenant de la section du cylindre B par le plan des rayons lumineux qui touchent le cylindre D suivant la génératrice 3-3.

7* La courbe 3-12-20, dont on appréciera mieux la forme

et la position ri ron Jette un coup d'oeil sur la projection rerticele.

Cette ligne fait partie de la courbe à double courbure 9ai* vant laquelle le cylindre Btf est pénétré par la surface cylindrique formée par les rayons lumineux qui s'appuient sur la section droite ou base supérieure du cylindre VOf \

8^ L'arc d'ellipse 20-21, provenant de la section du cylindre BB' par le plan des rayons lumineux qui s^appuient sur Taréte 47-31 du prisme R ;

9' Enfin, la droite 21-2, formant une partie de la ligne de séparation 2-2 sur la surface du cylindre BB'.

Om6res portées lier U flan horizontal de projection.

La limite de ees (Hnbres, en partant de la ligne AZ, sera :

i* La trace horizontale 22*33 du plan des rayons lumineux qui s'appuient sur l'arête 23-24 du prisme T ;

2® L'arc d'ellipse 23-3, qui appartient à la trace horizontale de la surface cylindrique formée par les rayons lumineux qui s'appuient sur la circonférence de la base inférieure du eylindre D ;

3^ La droite 3-25, trace horizontale du plan des rayons lumineux qui touchent le cylindre D suivant la génératrice 3-3 ^

4* La droite 25-26 fait partie de la trace horizontale du plan des rayons lumineux qui s'appuient sur l'arête horizontale 25-26 du prisme K ;

5"" La droite 26-27 est la trace du plan des rayons lumineux qui s'appuient sur l'arête 26-27 du prisme K ;

6° La droite 27-1 est la trace horizontale du plan des rayons lumineux qui touchent le cylindre B suivant la génératrice 1-1 *,

7* L'arc d'ellipse 1-28-2 appartient à la trace du cylindre formée par les rayons lumineux qui s'appuient sur la circonférence de la base supérieure du cylindre B;

8® La droite 2-29 est la trace horizontale du plan des rayons lumineux qui touchent le cylindre B suivant la génératrice 2-2 ^

9"" La droite 29-30, prolongement de 26-27, est l'ombre portée par Taréte horizontale 26-30 du prisme K^

iO* Les droites 30^30 , 31 -3i et i7-16 sont les traces des plans verticaux formés par les rayons qui s*appuient sur les arêtes verticales 30 , 31 et 17 des prismes K et R;

11* La droite 32^33, prolongement de 1-27, est la trace du plan lumineux qui touche le cylindre B suivant la généra* trice 1-i ;

12* Enfin, la droite 32-34 est la trace du plan qui louche le cylindre D suivant la génératrice 4-4;

13* On peut construire encore , comme moyen de vérification et quoiqu'elles soient cachées, les deux ellipses 3^39 et 40-41, suivant lesquelles le plan horizontal de projection est rencontré par les cylindres des rayons lumineux qui s'appuient sur la base supérieure du cylindre D et sur la base in-» fiérieure du cylindre B.

Enfin, aux ombres portées sur le cylindre B et sur le plan horizontal de projection, il faut ajouter :

1* Les droites 27-13 et 25-13, suivant lesquelles la face supérieure du prisme K est coupée par les plans des rayons lumineux qui touchent les deux cylindres suivant les génératrices 1-1 et 3-3;

S* L'arc d'ellipse 35-23, provenant de l'intersection de la face supérieure du prisme T et du cylindre formé par les rayons qui s'appuient sur la circonférence de la base inférieure du prisme D ;

3* L'arc d'ellipse 36-37, suivant lequel la face supérieure du prisme R coupe la surface cylindrique formée par les rayons qui s'appuient sur la circonférence de la base supérieure du cylindre D.

48 CYUNDRES. PL. 6-

CONSTRUCTION DBS LIGNES D*01IBRES PORTÉES.

62. Première opération. On fera bien de commencer par construire le contour des ombres portées sur le plan horizontal de projection , parce que ces lignes, faciles à obtenir, peuvent être utiles pour déterminer ou pour vérifier quelques points des autres courbes.

Ainsi, les rayons lumineux qui s'appuient sur les bases du cylindre B étant projetés sur l'un des plans verticaux A'Z' ou A!'Z'\ il sera facile d'obtenir leurs traces horizontales , ce qui donnera les deux ellipses 1-S et 40-41 .

Pour construire les ellipses 3-23 et 38-39 suivant lesquelles le plan horizontal est percé par les rayons qui s'appuient sur les bases du cylindre D, on projettera ces rayons sur l'un des plans verticaux A'Z' ou A'^^Z*^.

Les traces horizontales 3-25 , 34-32 , 1-33 et 2-29 des plans tangents aux deux cylindres pourront être déterminées de la même manière, et vérifiées par cette condition qu'elles doivent être tangentes aux ellipses dont nous venons de parler et aux traces des deux cylindres donnés.

Les intersections des mêmes rayons lumineux avec les faces supérieures des prismes T, R et K détermineront les arcs d'ellipse 35-23, 36-37, et les droites 25-13 et 13-27 parallèles aux traces horizontales des plans des rayons lumineux tangents aux cylindres donnés.

Les droites 22-23 , 25-26 et 26-30 sont parallèles aux arêtes correspondantes des prismes T et K, et les droites 30-30, 31-31 et 17-16 doivent être parallèles à la projection horizontale SL du rayon de lumière.

Les points 25 sont situés sur le rayon lumineux suivant lequel le plan des rayons qui s'appuient sur la génératrice 3-3 du cylindre D coupe le plan des rayons qui s'appuient sur

Taréte horizontale 25-^6 du prisme K , tandis que le point 27 appartient au rayon suivant lequel le plan lumineux qui s'appuie sur Taréte horizontale 27-30 du prisme K est coupé par le plan des rayons qui touchent le cylindre B suivant la génératrice 1-1.

Le point 13 appartient au rayon lumineux provenant de l'intersection des plans qui touchent les deux cylindres donnés suivant les génératrices 3-3 et 1-1. Ce rayon, après avoir touché le cylindre D au point 13 de la droite 3-3, puis le cylindre B en un second point 13 de la droite 1-1 , vient percer au troisième point 13 la face supérieure, du prisme K; et si ce rayon pouvait traverser le prisme, il percerait le plan horizontal de projection en un quatrième point 13.

Deuxième opération. Toutes les ombres portées étant obtenues sur le plan horizontal de projection et sur les faces supérieures des trois prismes, il ne reste plus qu'à déterminer celles qui ont lieu sur le cylindre B.

Nous commencerons par la courbe à double courbure suivant laquelle ce cylindre est pénétré par l'ensemble des rayons lumineux qui s'appuient sur le contour de la base supérieure du cylindre D.

Pour simplifier l'explication , nous désignerons cette base par la lettre M. Ainsi , la circonférence M sera celle dont le centre est désigné sur les projections successives par les lettres m, m', m", m'", etc. 5 et lorsque nous dirons circonférence m'" ou m'^, cela signifiera la projection de la circonférence H sur le plan A"'Z'" ou K'^V\

Nous avons déjà remarqué que la demi-circonférence 3-8-4 est la seule partie de cette courbe qui appartient à la ligne de séparation^ mais, dans ces sortes de recherches , on a presque toujours aussitôt fait de construire la courbe tout en« tière et, dans ce cas, on comprend bien mieux la forme et la position du résultat obtenu.

Or la ligne cherchée étant l'intersection de deux cylindres,

il est évidait qu^elle pourra être obtenue par le principe générai exposé en géométrie descriptive.

Ainsi un plan P| qui contiendra le rayon lumineux si et l'axe sh du cylindre B sera évidemment parallèle aux deux cylindres dont il faut trouver l'intersection , de sorte qu'en coupant ces deux cylindres par une suite de plans parallèles au plan P|, on obtiendra autant de points que Ton voudra de la courbe cherchée. On fera bien de commencer par les points les plus essentiels.

Si, par exemple, on veut déterminer le point 3 suivant lequel la courbe à double courbure touche Tellipse 13 6-3, on tracera le rayon lumineux qui contient le point 3, suivant lequel la circonférence m est rencontrée par la génératrice 3-3 j le plan R. qui contient le rayon lumineux du point 3 , coupera le cylindre B suivant une génératrice dont le pied 5 sera sur la trace horizontale £ de ce même cylindre » et Tintersection de cette génératrice par le rayon 3 déterminera le point demandé.

On pourra déterminer de la même manière le point 4, suivant lequel la courbe à double courbure touche Tellipse 19-4*

Enfin, il est évident que l'on pourra obtenir ainsi autant de points que l'on voudra de l'ombre portée sur le cylindre B par la base supérieure du cylindre D.

On peut opérer de la même manière pour construire Tellipse 13*6-3 suivant laquelle le cylindre B est coupé par le plan des rayons lumineux qui s'appuient sur la génératrice 3-3 du cylindre D.

Ainsi, par exemple, pour déterminer exactement le point 6 qui est situé sur la génératrice 7 du cylindre B, on tracera le plan Pa qui contient le point 7 de l'ellipse E. Ce plan coupera la trace du plan tangent 3-25 en un point 6 par lequel on construira un rayon lumineux, et l'intersection de ce rayon avec la génératrice 7 du cylindre B donnera le point 6 de l'ombre portée sur ce cylindre par le point 6 de la droite 3-3.

PL. 6i CYLINDRES* M

Troisième opération. Ce qui précède résulte évidemment des principes qui ont ëté démontrés dans le Cours de géomi-^ trie descriptive.

Mais on doit se rappeler aussi (55) que, lorsqu'il s'agit d'obtenir l'intersection dta deux surfaces , les opétatiôns peutent souvent être simplifiées lorsque l'une des deux surfacesr est perpendiculaire à l'un des plans de projection.

C'est pour cette raison que dans l'épure précédente on a employé le plan auxiliaire de projection perpendiculaire au cylindre horizontal C.

Or on peut obtenir un résultat analogue en projetant le cylindre D sur le plan A"'Z''' perpendiculaire au cylindre B.

La base supérieure du cylindre D''' est projetée ici par la droite 10-11, ce qui provient de ce que, dans le cas actuel | les deux cylindres sont perpendiculaires l'Un à l'autre; mais on conçoit que , s'il en était autrement $ cela ne saurait offrir plus de difficultés.

Seulement, alors, la base supérieure du cylindre D'^' serait projetée par une ellipse que l'on obtiendrait en opérant pour chacun de ces points comme on Ta fait pour déterminer le point m!" (59).

Ainsi ^ pour obtenir sur la projection D"' les deux génératrices suivant lesquelles le cylindre D est touché par les plans des rayons lumineux, on ramènera d'abord les points 3 et 4 de la projection D^ sur la projection D^"", ce qui déterminera la hauteur de chacun d'eux au-dessus de la ligne A"Z*^ et, par conséquent, au-dessus du plan horiEontal de projection 4

Ces hauteurs , portées au-dessus de la ligne A"Z" sur les perpendiculaires abaissées des points 3 et 4 de la projôttion horizontale w, détermineront les projections 3 et 4 des mêmes points sur le plan vertical A"Z".

Les perpendiculaires abaissées des points 3 et 4 de la circonfëreiice m" sur le plan A'"Z'" perceront ce plan en deux

5i CYLINDRES. PL.%.

points qui , rabattus en a'V", détermineront les deux généra • trices de séparation sur la projection I^".

L'épure étant disposée comme nous venons de le dire , si Ton veut obtenir Tombre du point 3 , on tracera sur la projection B"'D'" le rayon lumineux 3-3, et l'intersection de ce rayon avec la circonférence s'" déterminera le point cherché dont la projection horizontale sera située sur la projection horizontale 3-3 du même rayon.

Si Ton a bien opéré , le résultat doit coïncider avec celui que Ton avait obtenu précédemment.

On pourra déterminer ou vérifier de la même manière autant de points que Ton voudra.

Ainsi, pour obtenir Tombre du point 8 de la circonférence m, on le projettera successivement sur les circonférences m^, m'^, m" et m'"; puis le rayon 8-8 de cette dernière projection percera le cylindre B'" en un point que l'on ramènera sur le rayon 8 de la projection horizontale.

La projection B'"D"* est utile surtout lorsque Ton veut obtenir un point situé sur une génératrice déterminée du cylindre B.

Supposons , par exemple , que Ton veut obtenir les points suivant lesquels la courbe à double courbure touche la génératrice 12 , qui forme Tune des limites de la projection horizontale du cylindre B.

On remarque que cette ligne se projette par le point 12 sur la circonférence B"^

Or le rayon lumineux passant par ce point déterminera sur la circonférence m'" un point 12 qui sera la projection commune à deux points que Ton ramènera successivement sur les courbes m" et m , et Ton pourra vérifier ces dernières projections en déterminant les mêmes points sur les circonférences m!' et m*^.

Les deux points 12 de la circonférence m étant déterminés et vérifiés, on tracera les rayons correspondants et

les intersections de ces rayons avec la gënëratrice 12 du cy« lindre 6 feront connaître les deux points suivant lesquels cette droite est touchée par la projection horizontale de la courbe à double courbure demandée.

Si , comme j'ai engagé à le faire , on veut construire tout entière la courbe de pénétration des deux cylindres, on fera bien de déterminer les points suivant lesquels cette courbe coupe la génératrice 7 du cylindre BB'.

Pour cela , on tracera le rayon 9-9 sur la projection B"'D'". Le point 9 de la circonférence m'" sera la projection commune à deux points dont on vérifiera les projections horizontales en les amenant successivement sur les projections m", m, m^ et m*^.

Les projections horizontales des rayons lumineux passant par ces deux points rencontreront la génératrice 7 du cylindre B suivant les deux points 9 demandés.

Le rayon du point 10 de la projection m'" percera le cylindre B"' suivant un point 10, et la projection horizontale de la génératrice passant par ce point sera tangente à la projection de la courbe cherchée.

Si Ton veut déterminer le point de tangence, on projettera le point 10 successivement sur m", m, nti^ et 'où'^ ^ puis la projection horizontale du rayon 10-10 déterminera le point demandé sur la perpendiculaire abaissée par le point 10 de la> circonférence B"'.

£n opérant de la même manière , on déterminerait le point suivant lequel la courbe est touchée par la génératrice 11 du cylindre B'" : cette ligne, trop près de la génératrice 12, ne peut pas être tracée en projection horizontale.

QuaXfièmt opiratian. La projection auxiliaire B'"ù"' sera encore très-commode pour construire les ellipses suivant lesquelles le cylindre B est coupé par les plans des rayons lumineux tangents au cylindre D.

En effet, en opérant comme nous l'avons fait pour les

points de la courbe à double courbure , il est évident que Ton pourra obtenir autant de points que Ton voudra des ellipses démandées.

Ainsi , pour déterminer ou vérifier le point 13 sur la projection horizontale du cylindre B, on tracera sur la projection B'^'D'" le rayon tangent au cylindre B'". Ce rayon rencontrera la ligne de séparation 3-3 au point 13, dont la projection horizontale, située sur la ligne de séparation 3-3, déterminera le rayon 43-13, et, par suite, le point 13 sur la ligne de séparation 1-1 du cylindre B.

- Pour obtenir le point 6 de l'ellipse 13-6-3, on construira le rayon 6-6 sur la projection B*"D"'", on obtiendra sur la ligne 3-3 le point 6, dont la projection horizontale détermine le rayon 6-6 et, par suite, le point 6 sur la génératrice 7 du cylindre D.

On agira de la même manière pour tous les autres point» dà la mémo ellipse ou de Tellipse 19-18-4.

Pour construire ces courbes tout entières, on supposera les rayons prolongés jusqu'à leur rencontre avec la partie opposée du cylindre B'".

Les mêmes moyens seront encore employés pour construire tes ellipses 17-18, 20-îl provenant de la section du cylindre B par les plans des rayons lumineux qui s'appuyent sur tes deux arêtes horizontales 17-47 et 47-31 du prisme R.

Pour cela, il faudra commencer par projeter ces deux arêtes sur le plan vertical A^Z", et de là sur le plan A'"Z'" rabattu en a"'j8'".

Cela étant fait, si Ton veut obtenir l'ombre du point 47, on tracera le rayon correspondant sur la projection B'"!/", et Pintersection de ce rayon avec le cyHndre B"' déterminera le point cherché sur le plan horizontal de projeetion.

- On déterminera de la môme manière l'ombre portée par le sommet 47 du prisme R, et l'on remarquera que ee point doit être situé à la rencontre dés deux arcs d^eUfipse qui forment

PL. 6. CYLINDRES. KJI

les ombres portées sur le cylindre BB' par les arêtes horizontales 17-47 et 47-31 du prisme R.

L'ellipse 17-42, étant située dans un plan vertical, doit être projetée par une droite sur le plan horizontal de projection.

Cette droite contient évidemment le point 17.

Pour vérifier le point 18, suivant lequel se rencontrent les deux arcs d'ellipse 17-18 et 18-19, on pourra opérer de la manière suivante :

1** On déterminera sur la projection A'Z' le point 49, suivant lequel la face supérieure et horizontale du prisme R est percée par la ligne de séparation 4-4 du cylindre D' -,

2° On projettera le point 49 sur le plan horizontal de projection, et Ton tracera la droite 49-18 parallèle à la trace horizontale 34-32 du plan qui touche le cylindre D suivant la génératrice 4-4-,

3* Le rayon de lumière 18-18 sera l'intersection du plan tangent, dont nous venons de parler, par le plan des rayons lumineux qui s'appuient sur l'arête 17-47 du prisme R, et lés ellipses 17-18 et 18-19, suivant lesquelles ces plans coupent le cylindre D , doivent se rencontrer suivant deux points situés sur le rayon 18-18.

PROlBCTKKf VËMICALB &ES OVBRES.

63. Nous n'avons encore rien dit de la projection des ombres sur le plan vertical A'Z', parce que les projections auxiliaires précédentes ont suffi pour déterminer toutes lès projections horizontales.

Or il est évident que, pour obtenir les projections verticales, il ne reste plus que l'embarras du choix.

En effet, on pourra déterminer chaque point en élevantpav sa projection horizontale une perpendiculaire à la ligne A'Z', jusqu'à la rencontre de la génératrice ou du rayon de lumière

qui contient le point demandé; ou bien on peut déterminer ce point par Tintersection de la génératrice avec le rayon de lumière et réserver la perpendiculaire à la ligne Mil comme vérification.

Enfin , si Ton veut s'exercer sur les rabattements , on fera usage des projections auxiliaires kt'Il" et A'^'Z'"', qui , on doit se le rappeler, sont perpendiculaires au plan vertical de projection.

Ainsi, par exemple, pour déterminer la projection verticale du point 3 suivant lequel la courbe à double courbure touche Tellipse 13-6-3, on se rappellera que ce point est Tintersection du cylindre BB' par le rayon lumineux qui s'appuie sur le point 3 de la circonférence m.

Or le point 3 de la circonférence nC étant ramené sur les projections m et m'^, sa hauteur au-dessus du plan horizontal de projection sera connue.

Cette hauteur portée au-dessus de la ligne A'Z' détermine le point 3 de la circonférence m'; et Ton sait d'ailleurs que ce même point peut être déterminé ou vérifié en construisant sa projection sur les plans auxiliaires m" et m^'".

Cela étant fait, on établira le point 3 sur la circonférence m^S en faisant la distance 43-3 de la projection A'^'Z'"' égale à la distance 48-3 de la projection horizontale.

Le point 3 de la projection m^ étant amené sur la circonférence m^", on tracera le rayon lumineux correspondant, et l'intersection de ce rayon avec le cylindre B^" déterminera le point demandé que Ton ramènera sur le rayon 3-3 de la projection A'Z' par une perpendiculaire à la charnière de rabattement V'V^".

Le rayon lumineux passant par le point 50 déterminera sur B""" le pied de la génératrice de B', qui est tangente à la projection verticale de la courbe à double courbure.

VO\m SUIVANT LEQUEL SE TOUCHENT LES DEUX CYLINDRES.

64. Ce que nous venons de dire suflBt pour faire comprendre comment on pourra déterminer ou vérifier les projections verticales de tous les points obtenus précédemment sur le plan horizontal de projection; mais, pour résumer en quelque sorte toute l'épure, j'énoncerai successivement chacune des opérations nécessaires pour obtenir et vérifier les deux projections principales o et û' du point suivant lequel les deux cylindres se touchent.

Première opération. La première détermination du point dont il s'agit aura lieu sur la projection h'"D'"j et sera située au milieu de la droite s"'h"' qui exprime la plus courte distance des axes des deux cylindres.

Detuiime opération. On remarquera que le point o'" est situé en même temps sur la génératrice 44 du cylindre BB' et sur la génératrice 1 1 du cylindre DD' ; d'où il résuste qu'il se projettera partout sur les projections de ces génératrices. Or, par suite de la perpendicularité des deux cylindres, la génératrice 11 du cylindre DD' se confond sur la projection verticale B"D" avec la projection verticale d''m" de Taxe du cylindre D"; de sorte que le point o'" de la projection h"'D"' étant projeté sur oV, on pourra le ramener en A"'Z'", d'où l'on déduira facilement sa projection o" sur d"m".

Troisième opération. La perpendiculaire abaissée sur XX" par le point o'" de la projection B'"0'" rencontrera la perpendiculaire abaissée sur X"Z" par le point o" de la projection B"i>" en un point o qui sera la projection horizontale du point demandé.

Quatrième opération. On peut obtenir directement la projection verticale du même point en élevant par sa projection horizontale une perpendiculaire à la ligne A'Z' jusqu'à ce

qu'elle rencontre Tune des génératrices 11 ou 44 au point o , suivant lequel ces deux génératrices $e rencontrent. On peut aussi prendre la hauteur du point o" sur la projection M'Z".

Mais on fera bien, comme étude, de vérifier la position de «e môme point en la déduisant de la projection B^"D''".

Pour y parvenir, on projettera le point o"^^ sur a^";?^", que l'on ramènera en A^"Z'", œ qui donnera le point o^ sur la projection D^' du cylindre D.

Puis les perpendiculaires abaissées sur V'V^" et sur A^*Z^' par les projections correspondantes du point demandé devront aboutir à la projection verticale o' de ce point.

Enfin , toutes les opérations précédentes seront vérifiées si les deux projections principales o et o' sont situées sur une même droite perpendiculaire à la ligne A'Z'.

65. Résumé. Je ne prolongerai pas plus loin l'explication des détails nécessaires pour compléter cette épure; je pense que ce qui précède suffit pour faire comprendre ce qui reste à faire.

Ainsi, en résumant, le lecteur pourra rec(mnattre dix plans de projection^ que je désignerai par leurs traces suocessives, savoir:

1* Le plan horizontal de projection;

2* Le plan vertical A'Z'5

3** Le plan vertical A"Z" parallèle au cylindre B;

4° Le plan A'"Z'" perpendiculaire au cylindre B" est rabattu dans la position a^V" parallèle au plan horizontal;

S* Le plan vertical A'^Z''' parallèle au cylindre I>.

&* Le plan A^Z^ perpendiculaire au cylindre f^ est rabattu en aV et parallèle alors au plan horizontal ;

7* Le plan A^*Z'' est parallèle au cylindre B' et perpendiculaire au plan vertical de projection A'Z' ;

8* Le plan A^*^" perpendiculaire au cylindre B'* est va^ battu c» a^*^^ autour de la éhroite W" perpendieulaire aa