Première méibode. On construira (fig, 43) Tellipse
drd!-A-dl^ résultant de la section du cylindre D par un plan hk (fig, 44), vertical et parallèle à la direction du rayon de lumière $*-( (8).
Oa déterminera ensuite avec exactitude (fig. A3) les deux points 4, 5 suivant lesquels cette ellipse est touchée par les 4em rayons $'W\ «".f (53).
Le point 4 détermine la droite 4"'-4, et le point 5, projeté horizontalement en 5^ appartient à la droite 5*^-5', de sorte que les Hgnes de séparation sur le cylindre horizontal seront déterminées.
74. Deuxième méthode. On fera tourner le cylindre D au* tour de la verticale du point o jusqu'à ce qu'il soit perpendiculaire au plan vertical de projection. Dans cette nouvelle position , il aura pour projection verticale la circ(mférenoe IV.
Si Ton choisit ensuite un rayon quelconque D-o?, 9 -a;', et qu'on le fasse tourner de la même quantité , le point 9^9' décrira un arc horizontal 9-9'^) égal à Tare i-f qui mesure Tangle parcouru par Taxe du cylindre D, et le point 9^ viendra se placer en 9'', d'où Ton déduira 9^'' pour la nouvelle profection verticale du point 9.
Le point x-o^ décrira un arc horicontal al-x^' égal à M', et viendra se placer en a/', d'où l'on déduira »^" pour la nouvelle projection verticale diji point x.
Ainsi , 9"-xf" sera la projection du rayon de lumière sur le plan vertical perpendiculaire à la direction du cylindre D.
Jl résulte de là qae le dtamètre 4l'-^'\ perpendieulalre à 9^ -x^", détermine les points de tangenoe 4''*5'' ; et les droites ^-P, s^-r, perpendiculaires à 4''-S'\ seront les traces des deux plans tangents parallèles à la direction du rayon de luoiière W^-x'" ^ fusant revenir le tout à sa place , les deux lignes dfitangence, projetées par les points 4"-5'', deviennent 6'".5", 4"'.4".
La petite coarbe 4^-6" est un arc d'ellîpse et résulte de rintersectîon du cylindre vertical par le plan des rayons lumineux qui touchent le cylindre D suivant la droite 4" -4'^
On construira quelques-uns des rayons qui s'appuient sur jcette droite. Ainsi, la projection horizontale du rayon qui contient le point 6 rencontre la circonférence 2^-2', qui est la trace du cylindre C, en un point 6', d'où l'on déduit la projection verticale 6", qui appartient à la courbe demandée.
Ombre de la roue. La surface de cette roue se compose d*une suite de surfaces cylindriques alternativement convexes et concaves, séparées les unes des autres par de petites faces verticales telles, par exemple, que aCy aV pour les dents M,M'(/«ff. 44).
La petite fiice verticale projetée par ac se nomme le flanc y et doit être tangente â*un côté à la surface convexe que l'on nomme la dent , et de l'antre cdté au cylindre concave que Ton nomme le creux. Mais toutes ces surfaces étant perpendiculaires au plan horizontal, leur ensemble peut être considéré comme ne formant qu'une même surface cyliiïdrique.
Pour obtenir la ligne de séparation sur la roue , on tracera parallèlement à s'4' toutes les tangentes qu'il sera possible de construire au contour do la projection horizontale, et Ton déterminera tous les points de tangence le plus exactemei»t qu'il sera possible ; toutes les parties de la ligne de séparation seront alors déterminées.
Ainsi , par exemple , si nous commençons par la dent B, en allant vers la droite , cette ligne se compose :
l"" De la verticale 7-7 (fig. 43), suivant laquelle la dent B est touchée à droite par le plan j)-7', parallèle à s'-l' (fig. 44);
S"" De la petite courbe 7-8, 7-8' située dans le plan horîjEODtal formant le dessus de la roue ; le point 8' est déterminé par le plan p'-8', tangent au creux ;
PL, 8> ENGRExNAGES. 69
3*^ La courbe 8-9', située dans la face inférieure de la dent B' ; .
4* L'arête verticale 9-9 (/{j)f. 43) ^ suivant laquelle Tangle de la dent est touché par le plan p"-9', parallèle à la lumière;
5** La courbe 9-10, 9-iO', située dans la face supérieure de la roue ; et ainsi de suite.
La ligne de séparation étant bien reconnue dans tout I« coutour de la roue, il ne reste plus qu'à construire Tombre.
Supposons d'abord que l'on veuille obtenir l'ombre portée sur la surface de la dent, par le point le plus élevé de la verticale 11-H {pg. 43). On construira le rayon lumineux passant par ce point; le plan vertical qui contient ce rayon coupera la surface verticale de la dent B'^', suivant une verticale H'"-H", dont Tintersection avec H-H" donne \\" pour Tombre du point 1 1 .
On déterminera de la même manière autant de points que Ton voudra. La courbe 12-11'' est à double courbure, et résulte de l'intersection du cylindre vertical formant la surface de la dent B''' par le cylindre oblique provenant de TenseYnble des rayons lumineux qui s'appuient sur la courbe horizontale 11-12 de la dent B''.
Les points 8 , 1 , 1 2 , et tous les points analogues , sont déterminés par les plans tangents aux cylindres concaves qui forment les creux des dents.
Les ombres portées sur le cylindre vertical et sur le plan vertical de projection ne présenteront aucune difficulté.
L'ombre portée sur le plan horizontal provient des rayons qui s'appuient sur l'arête inférieure des dents H et H'.
75. On peut construire cette courbe d'une manière fort simple^ on supposera d'abord le rayon passant par le centre de la face inférieure de la roue. Le point o'"", suivant lequel ce rayon perce le plan horizontal, sera le centre de deux cercles concentriques entre lesquels on dessinera une figure absolu-
70 CYLINDRES. PL. g.
ment égale et parallèle à celle qui forme le contour de la projection horizontale de la roue.
L'ombre de Taréte inférieure des dents sera déterminée (25). n ne restera plus qu'à y ajouter les petites droites 13'*13'^ 14'-*! 4'', tangentes aux courbes obtenues ainsi qu'aux dents H et H', et formant Tombre portée par les verticales des points t3 et 14, suivant lesquelles ces dents sont touchées par deux plans parallèles aux rayons lummeux.
Si Tombre des dents qui sont dans la partie opposée de la roue avait lieu sur le plan horizontal , il faudrait construire de la noéme manière l'ombre portée par la face supérieure de la roue.
76. Les ombres portées par les arêtes inférieures des dents sur le cylindre horizontal D peuvent être déterminées de plusieurs manières.
Première mélhode. Supposons que l'on veuille obtenir Tombre portée par l'extrémité inférieure de Taréte 9--9. On construira (fig. 43) Tellipse dl"^dr^ résultant de l'intersectio» du cylindre D par le plan vertical p"-'af^ qui contient le rayon de lumière du point 9 ; l'intersection de cette ellipse par la projection verticale 9-a(r du rayon déterminera le point 9% ombre du point 9.
77. Deuxième méthode* On supposera, comme nous l'avons dit plus haut , le cylindre D ramené dans une position perpendiculaire au plan vertical de projection , et ayant par conséquent , pour sa nouvelle projection , la circonférence D'.
L'intersection de cette circonférence par la droite 9'"-a:'"', qui est la nouvelle projection du rayon de lumière sur le plan perpendiculaire au cylindre D, déterminera le point d'ombre 9'^', que l'on ramènera sur le rayon 9-JKr, en lui faisant parcourir l'arc horizontal qui a pour projections 9"'9'^, 9»'.9\
Les courbes VA"\ 9"'d"' sont des arcs d'ellipses, et résultent de l'intersection du cylindre D par les plans qui touchent les dents suivant les verticales des points 7, 9, etc.
La courbe T"'9" et les courbes analogues sont à double «ourbure , et proviennent de l'intersection du cylindre D par les portions de cylindres obliques formés par les rayons qui s'appuient sur les arêtes inférieures des dents.
Les deux grandes courbes 15-16, 16-17 sont à double courbure , et proviennent des intersections des deux cylindres A et D par le cylindre parallèle à la direction de la lumière , et qui aurait pour directrice la circonférence horizontale passant par les extrémités inférieures des dents.
n CONE. PL. 9.
