CHAPITRE IL

SUBFAGES GONIQDBS.

Cùne obliqué.

78. Les raisons qui m'ont engagé (article 53) à choisir comme sujet d'exercice, un cylindre circulaire, me déterminent encore ici à prendre pour exemple un cône de révolution. Mon but, dans cet ouvrage, étant surtout de familiariser le lecteur avec les difficultés de l'application , je crois devoir choisir de préférence les questions qui se présentent le plus souvent dans la pratique.

Les données (fig. 46 et 48, pi. 9) sont : 1* les deux projections S'0 , 5 -o' de Taxe d'un cône droit à base circulaire ;

2® Le rayon du cercle provenant de la section de ce cône par un plan perpendiculaire à son axe et passant par le point o ;

3*^ Les deux projections <-{, sf-t d'un rayon de lumière.

79. Projections. On construira d'abord (fig. 49) la projection du cône sur un plan vertical parallèle à son axe ; cette première projection donnera les axes de l'ellipse qui est la projection horizontale de la base du cône sur la figure 48.

Les distances p-o', q-$' étant portées de o en o" et de $ en «'", on construira la figure 45, que l'on pourra considérer comme une section du cône par un plan qui contiendrait son axe , et qui serait perpendiculaire au plan vertical de projection. Cette deuxième opération fera connaître les axes de Tel-

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lipse suivant laquelle la base du cône se projette sur le plan vertical (/Ij. 46).

80. Trace du cône. Les génératrices «'-a, a"-a (fig. 49) percent le plan horizontal en deux points a\ a\ qui sont les extrémités du grand axe de l'ellipse cherchée; le point c', milieu de al'-a^ sera le centre de cette ellipse, et le petit axe &'-&', projeté sur la figure 49 > par un seul point c, doit être égal au double de la ligne cb.

En effet, l'axe 6-6', perpendiculaire au plan de la figure 49, est une corde commune à Tellipse cherchée a -&-a-6', et au cercle provenant de la section du cône par le plan al^-a^y perpendiculaire à son axe. Si donc on rabat cette dernière section sur le plan de la figure 49 , Tune des extrémités de la corde horizontale V-V viendra se placer en b sur la circonférence décrite du point 0'" comme centre avec le rayon o'^'^a"^ ce qui déterminera la longueur de c&, moitié de 6-6', second axe de Tellipse al-b'-al-V.

Si du point c' comme centre on décrit Tare de cercle a-ti, et que Ton construise {Gèotn,) le point u suivant lequel cet arc serait touché par la tangente 5'-u , l'ordonnée u-vl^ déterminera les points u\ u', et, par conséquent, les deux tangentes s'-u', s'-u', qui complètent la projection horizontale du cône.

Enfin, le diamètre t/-v', passant par le milieu d'une corde quelconque a'-d, perpendiculaire au plan de la figure 46, détermine les points de tangence \>\ v', et, par suite, les tangentes «-v, 5-17, ce qui complète et vérifie en même temps la projection verticale du cône.

Ombres.

81. Ligne de séparation sur le cône. Cette ligne se compose de Tare de cercle 1-2-3 et des droites $-1 , 5*3, suivant

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lesquelles le cône est touché par deux plans parallèles à la direction de la lumière , de sorte que cette ligne passe par les points 5-1-2-3-5.

Il est évident qu'aussitdt que les droites 5-I, 5-3 seront déterminées, Tare i-2-3 le sera aussi. Cette question peut être résolue de plusieurs manières, je me bornerai, pour le moment, à en indiquer deux.

82. Première méthode. Le rayon de lumière $'l^s^'l\ passant par le sommet du cône , perce le plan horizontal en un point (' par lequel on construira les deux droites T-ft, t"-K tangentes à l'ellipse a'-b'-a'-b'] ces lignes seront {Géométrie descriptive) les traces de deux plans tangents formés par les rayons lumineux qui s'appuient sur le cône.

Les points de tangence i -3' appartiennent aux droites 5^1 , 5-3, qui seront alors déterminées.

Pour la construction des points de tangence , je rappellerai le principe connu (cot(r665 du S'' degré). Soit (fig. 47) l'ellipse a-&-a-fr, à laquelle on veut mener des tangentes par le point extérieur { ^ on décrira d'abord , de ce point comme centre , un arc de cercle tntn', passant par l'un des foyers F; ensuite, de l'autre foyer F' comme centre , avec un rayon égal au grand axe a* a de l'ellipse, on décrira un second arc de cercle n-n' ; on joindra les points de rencontre v, ti, de ces deux arcs de cercle avec le foyer F', par deux droites vV\ u¥\ dont les intersections avec la courbe seront les points de tangence demandés.

83. La solution employée précédemment (82) pour déterminer les droites 5-1 , 5-3 est générale comme principe , en cela qu'elle peut s'appliquer à toutes les surfaces coniques ; mais , ia plupart des cônes employés dans l'industrie étant circulaires, il sera utile d'indiquer la méthode suivante, d'autant

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plus qu'il est très-rare que l'on ait sur la feuille de dessin les traces du cône dont on cherche l'ombre.

%ii. Deuxième méthode. Si d'un point 0'^ pris à volontë sur Taxe, on décrit une circonférence z-z^ tangente aux deux droites s'-u' qui forment la limite de la projection horizontale du cône, on pourra considérer cette circonférence comme là, projection commune aux deux ellipses suivant lesquelles le cône serait coupé par les deux plans s'-js', ic' -z'', perpendiculaires au pfan de projection 49.

Les points 2', z" sont déterminés par les droites 22V, jz^V\ tangentes à la circonférence zz.

Le plan jsV est percé par le rayon de lumière qui contient le sommet du cône, en un point t d'où l'on déduira t' {fig. 48); et les deux droites f'-l", ('-3", tangentes à la circonférence z-js, seront les intersections du plan z!'Z\ par les deux plans tangents formés par les rayons lumineux qui s'appuient sur le cône; de sorte que les points de tangence 1'' et 3", construits avec exactitude (Géométrie)^ déterminent les deux droites s-1, «-3.

J'ai employé le plan z -z' de préférence au plan z"'Z". parce que ce dernier aurait été rencontré trop loin par le rayon de lumière du sommet. En faisant la section jz'-z' à une plus grande distance du sommet, la circonférence z-z sera plus grande et les constructions plus exactes.

Les ombres portées ne présenteront pas de difficultés.

Cône droit.

85. Le rayon â*{, s'^-t^ passant par le sommet du cône (fig. 50) , perce le plan horizontal en un point T.

Les tangentes T-l , 1-2 sont les traces des deux plans formé»

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par les rayons lumineux qui s'appuient sur le odne. T/es lignes S'i , s-2 forment les lignes de séparation.

Si Ton veut construire Tombre portée sur le cône par un point extérieur mm', on construira les deux rayons s-{, 5 -f, tn-m", m''m"\ qui détermineront un plan passant par le sommet du cône et par le point donné. Ce plan , dont la trace horizontale est v-ti', coupe le cône suivant la génératrice i'-v\ dont l'intersection par le rayon mm" détermine m" pour Tombre portée par le point m sur le cône (8).

1^ droite m$j m's' étant située dans le plan svu , s'vV, perce le plan horizontal en un point u', situé sur la trace de ce plan, ce qui peut servir de vérification.

Cône creux.

86. Pour construire l'ombre portée dans un cône creux par une partie de la circonférence du cercle qui lui sert de base, il suffit d'appliquer le principe précédent à chacun des points de cette courbe.

Pour déterminer d'abord la paitie qui forme la ligne de séparation, on construira (fig. 52) :

1* Le rayon de lumière s-l , «'-l' j 2** Les deux tangentes (-1 , t-3.

87. Si au lieu d'être, comme nous le supposons ici, creusé dans un massif de terre ou de maçonnerie , le cône était formé d une matière assez mince pour que Ton pût faire abstraction de l'épaisseur de sa paroi , l'arc 1-2-3 porterait son ombre dans l'intérieur du cône, tandis que l'arc 3-4-i porterait son ombre en dehors, et la ligne totale de séparation se composerait de la circonférence entière 1-2-3-4 et des deux droites 5-1, 8-2, suivant lesquelles le cône serait touché par deux plans parallèles à la direction de la lumière.

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Mais, n'ayant à considérer ici que l'ombre portée dans l'intérieur du cône, la ligne de séparation se réduit à Tare i-2-3.

Pour avoir Tombre d'un point tnm', nous construirons :

i"" La droite l'-ml-v!^ provenant de la section du plan de la circonférence par le plan qui contient le sommet du c6ne et le rayon de lumière du point mm' ;

S"* La droite n-s, n-s', suivant laquelle le cône est coupé par le plan s'tn' \

S"" Enfin, le point ntl\ ombre du point m, résultera de l'intersection de n'-s', avec m'-^'.

Le rayon de lumière c-o' perce le plan horizontal t?-u en un point 0" ^ l'arc cb décrit de ce point comme centre avec un rayon égal à oa , sera l'ombre portée sur le plan vu par une partie de l'arc i-!2-3.

88. L'ombre portée dans le cône par ce dernier arc appartient à une ellipse. En effet,

Soit a-a' (fig. 51) la circonférence qui forme la base du cône. Cette courbe devient la directrice d'un cylindre AA formé par les rayons lumineux ; or si l'on coupe le cylindre et le cône par un plan b-b\ perpendiculaire au plan des deux droites Âo , so , le cône et le cylindre seront coupés suivant deux ellipses qui auront :

V Va axe commun b-V-j

2"^ Un point commun m.

Donc ces deux courbes coïncideront et, par conséquent, n'en feront qu'une. Ainsi , la portion d'ellipse b'-m étant située en même temps sur le cône et sur le cylindre , peut être considérée comme l'intersection de ces deux surfaces , et âera par conséquent l'ombre portée dans le cône par l'arc de cercle am, qui est la directrice du cylindre formé par les rayons lumineux.

89. Si le point s s'éloignait jusqu'à l'infini, le cône devien-

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drait un cylindre , ce qui ne changerait rien à ce que nous venons de dire.

Ainsi , dans l'exemple du n"" 70 (/i;. 41), la courbe 4-3^-2' appartient à une ellipse située dans un plan perpendiculaire à celui qui contiendrait les axes du berceau et celui du cylindre formé par les rayons qui s'appuient sur l'arc 2"4.

Engrenages coniquee.

Les principes exposés précédemment trouveront leur appli* cation dans le dessin des machines.

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de tracer les ombres sur des roues d'engrenages coniques (pi. 10).

90. La courbe directrice de la surface convexe de chaque dent doit satisfaire à des conditions dont l'exposé n'est pas de nature à trouver place ici. Les opérations graphiques qu'elles exigent ne pourraient pas d'ailleurs être faites avec assez d'exactitude sur une échelle aussi petite. J'engagerai donc le lecteur, comme je l'ai fait pour les engrenages cylindriques, à considérer comme données les deux figures 55 et 59 qui sont les projections des deux roues sur des plans perpendiculaires à leurs axes.

Pour mieux faire comprendre les diverses parties de chaque roue , j'ai dessiné (/i^. 53) une partie de la coupe de l'une d «lies par un plan qui contiendrait son axe.

La surface se compose :

1** De l'ensemble de tous les cônes alternativement convexes .et concaves qui forment la siirface des dents et des creux ;

2° De deux cônes ayant pour génératrices les droites Ua\ a-v' et pour sommet les deux points t-a, situés sur l'axe de la roue^

3^ De deux plans yr, p«o, parallèles entre eux et perpendiculaires à l'axe de la roue.

Projections.

91. On construira d*abord {fig. 59) les cercles passant par les points a, c^BjO] rintervaile compris entre les cercles a et c correspond à la saillie de la dent; Tîntervalle des cercles e,o détermine le creux, et l'espace compris entre les cercles c^eesi occupé par la petite face verticale que Ton nomme le flanc^ et qui est tangente aux deux surfaces coniques convexes et concaves de la dent et du creux.

11 sera facile alors de tracer en projection horizontale le contour inférieur de toutes les dents de la grande roue.

Les points a, c, e, o se projetteront sur la figuro 56 par les points a\ c\ e\ o'y que Ton joindra avec le point S, sommet de tous les cônes qui composent la surface des dents.

Cette seconde opération donnera (fig. 56, 53) les points v\ u\ z\ od^ d'où Ton déduira {fig. 59) les cercles passant par les points d, u, js, x^ ce qui déterminera sur la projection horizontale les dimensions de la dent, du flanc et du creux, pour Faréte supérieure de la grande roue.

La figure 59 étant complète il sera facile d'en déduire la projection verticale.

Les cercles a, c, e, o, t?, u, js, x se projetteront sur la figure 56, par des droites parallèles à la ligne AZ et sur lesquelles on obtiendra, par des perpendiculaires, les points correspondants de la projection 59.

Ainsi, par exemple, chaque point du cercle a se projettera sur l'horizontale du point a', chaque point du cercle c sur l'horizontale c', etc.