Ombre de la grande roue
Première opération. En concevant toutes les génératrices de la surface conique de la grande roue prolongées jusqu'à leur rencontre avec le plan horizontal KX, on obtiendra la figure tracée en points sur la projection 59^ les circonférences qui déterminent tous les points de cette courbe s^obtiendront «n prolongeant les droites S-a', S-c'... jusqu'au plan horizontal KX.
Deuxième opération. On déterminera le point L* suivant lequel le plan KK est percé par le rayon de lumière du sommet, et l'on construira par ce point toutes les tangentes qu'il sera possible de mener à la courbe l-St-3-4-5-6 que l'on peut considérer comme la trace horizontale du cône. Toutes les parties de la ligne de êéparation seront alors déterminées.
Ainsi, par exemple, si nous commençons par la dent I) (fig. 59), le plan i-3 qui touche cette dent suivant la génératrice 4-1", coupe le creux à droite suivant 3'-3".
La courbe 2'-3' est Tombre de la petite courbe 1'-2' qui fait
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pai*iie de la ligne de séparation, parce qu'elle provient de rintersection de la surface 1 -l"-2^-2'^ qui est obscure, avec 1» partie ëdairée du cône, formant la surface inCérieure de la roue.
Le point S'' est Fombre du point i'^et provient de Tinterseclion de la génératrice S-3"' par le rayon du point 1^
Le point ^ est déterminé par la tangente %\1 qui est \m trace du plan tangent suivant la droite 2^-2^.
Le» mêmes opérations détermineront l'ombre de la dent D\
Ainsi le plaD 4-6 touche cette dent suivant la génératrice 4-4''^ et coupe le creux à droite suivant 6^-6''.
La courbe ^^-^ est Tombre de l'arête 4'^-5'' qui sépare I» partie édairée du c6ne supérieur de la roue de la partie obscure à droite de la dent D-. Le point 5" est déterminé par la génératrice ^-^ suivant laquelle le creux est touché par le plan 5-L'^ parallèle aux rayons de lumière (85). On peut déterminer autant de points que Ton voudra sur les courbe» 2'.3^5".6^ etc.
Ainsi, pour avoir l'ombre d'un point X appartenant à I» dent D'', on construira :
i* La génératrice 7'-7 du cône;
2* La droite 7*8-L' qui est la trace du plan contenant le sommet S du cône et le rayon de lumière du point 7^;
3^ La droite 8-8' intersectioB du creux par le plan 7-8-L^ \
4° Enfin, le point 8^ ombre du point 7, et provenant de la rencontre de la génératrice 8-8^ par le rayon 7^-8^
Les résultats obtenus seront facilement reportés, figure 56^ sur les génératrices des poiuts 1,2,3,4,5^6, etc.
On fera bien de vérifier, autant que possible, les résultats.
Za ligiM de léparatton sur le eône,^ formant la surface inférieure de la roue , s'obtiendra en appliquant le principe dun«85.
Ainsi le rayon de lumière passant par le point f , sommet de ce cône, perce le plan horizontal d-ï {fig. 56) en un point T dont la projection horizontale sera T,
On construira par ce point la droite fn tangente au cercle an que Ton peut considérer comme la base du c6ne.
On déterminera exactement le point de tangence n, dont la projection verticale ni donnera la droite iv! pour ligne de séparation sur le cône inférieur.
Ombres de la rmie inclinée. Les génératrices {flg. 54) étant prolongées jusqu'au plan horicontal KX , on construira {fig, S8) la courbe 9-10-H-12-13, que l'on peut considérer comme la trace E de la surface conique des dents et des creux.
La droite 9-13-L\ tangente à la courbe E, est la trace du plan qui toucherait la dent correspondante suivant 9'-9"-9"* (/tg. 53) ; ce même plan couperait le creux à droite suivant la génératrice 13'-13"-13'" dont Tintersection par le rayon lumineux 9' -13", donne 13" pour Tombre du point 9".
On déterminera de la même manière le point 12", ombre du point 10".
On aurait pu faire ces opérations sur la projection 58, mais la partie d'ombre que nous venons de déterminer étant audessous de la dent aurait été cachée, et par conséquent moins facile à comprendre.
Au surplus on commencera par déterminer les ombres sur !a projection où les intersections se font le mieux , et il sera toujours facile, après cela^ de les obtenir sur la seconde projection.
94. Le moyen que nous venons d'indiquer n'est presque jamais applicable \ Tinclinaison de la roue rejetterait en dehors de la feuille de dessin les points les plus éloignés de la irace du cône oblique formant la surface de la roue. Il faut donc que nous en cherchions d'autres.
95. La première idée qui se présente sera de remplacer la section horizontale du cône par une section perpendiculaire à l'axe. Cette figure, que Ton pourrait construire autour de la
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projection 55, serait analogue à celle dont nous avons parlé au n^ 93 ; elle aurait cet avantage qu'elle pourrait être constiiiite avec beaucoup d'exactitude et de facilité par suite de la position de tous les points sur des circonférences conceiH triques.
Hais nous sommes encore obligés de renoncer à ce moyen à cause de l'éloignement du point où le plan de cette figure serait percé par le rayon de lumière du sommet.
96. Je proposerai donc ici d'employer le principe exposé au n° 8, d'autant plus qu'il n'exige ni le sommet du cône ni le point de rencontre du plan de la section par le rayon de lumière du sommet.
97. Supposons {fig. 60) que Ton ait les deux projections d'un cône, on le coupera par un plan vuu' perpendiculaire au plan vertical de projection et parallèle à la direction $-1 de la lumière.
On construira la projection horizontale m^-v! de la section ; les tangentes t'-u\ parallèles à la projection <'-{' du rayon lumineux, détermineront les points t', i^ appartenant aux lignes de séparation , et les points u\ u\ qui font partie de l'ombre portée.
98. Le même principe a été appliqué (fig. S7) pour construire les ombres portées par un cône incliné sur un cône droit. Ainsi, après avoir coupé les deux cônes par un plan vuu! parallèle à la direction $-1 du rayon lumineux, on a construit le9 projections horizontales des deux sections mW, nV.
Les rayons lumineux tangents à la première de ces deux courbes, ont déterminé les lignes de séparation sur le cône incliné ainsi que les ombres portées sur le cône droit; et les rayons tangents à Tellipse nV, provenant de la section du cône droit, ont déterminé les lignes de séparation sur ee cône (Bt les ombres portées sur le plan horizontal.
C'est ainsi que Ton a opéré pour déterminer les ombres sur ta roue inclinée {fig. 54 et 58).
99. Après avoir prolongé les génératrices de la surface conique de cette roue, on les a coupées par le plan VU perpen-^ dicuiaire au plan vertical de projection et parallèle à la direction S-L du rayon lumineux. Cette première opération a donné la courbe 9*'', 10'% 11'"", la*"", 13", tracée en points sur la projection horizontale (fig. 58).
Toutes les tangentes qu'il a été possible de mener à cette courbe parallèlement à la projection horizontale S'-L' du rayon lumineux, ont déterminé les diverses parties de la ligne de séparation.
Ainsi la tangente 9*^-1 3'^ a donné le point 9*^ d'où Ton a conclu {fig. 54) le point 9^ et la droite 9!-9'" suivant laquelle la dent est touchée par le plan des rayons lumineux.
La tangente au point 1 i'^ a déterminé le point 1 1^ d'où Ton a déduit 1 1" en dirigeant 1 1^-1 V vers le sommet du cône.
100. I^ même principe a pu servir pour déterminer les ombres portées. Ainsi le rayon S-L du sommet et le rayon |0"-12f' déterminent un plan dont l'intersection par le plan \-U sera une droite 10'^ -12»' (fig. 58) parallèle à S'-L'. Celte première opération donnera le point 11'',qui relevé sur VU donne 12^ pour projection verticale, et détermine la droite 12^-1 2", suivant laquelle la surface du creux est coupée par le plan des rayons S-L, 10"-12"; le point 12^', résultant de l'intersection de 12^-12" avec 10"-12", sera Tombre du point 10".
Les mômes moyens peuvent être employés pour construire Tombre portée par la roue inclinée sur la roue horizontale. Dans ce cas on ne construira que les sections des dents qui portent ombre ou sur lesquelles l'ombre est portée, ce qui sera facile à reconnaître en procédant avec ordre.
Les ombres portées dans le cône creux formant une partie
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de la surface supérieure de la roue horizontale , ont été obtenues parle principe du n'^Sô.
iOl. Les rayons lumineux qui s'appuient sur le cercle incliné g'g" (fig. 54), forment un cylindre oblique dont Tintersection avec l'arbre de la roue inclinée donne une courbe h double courbure que l'on obtiendra par les principes donnés en Géométrie descriptive pour Tintersection de deux cylindres.
Ainsi un rayon de lumière A6, construit par un point quelconque hh' de Taxe , percera le plan du cercle g'g*' en un point 6' que l'on joindra avec d' par une ligne droite ft'd'; les tangentes menées par les points iA\ 15', parallèlement à la droite dV sont les intersections du plan du cercle g'jf' par des plans tangents aux cylindres et parallèles à la direction de la lumière.
Les points de tangence 14 et 15 déterminés avec exactitude feront connaître les droites 14-14^, 15-15^
Pour obtenir un point 17' sur la courbe 15-17', on concevra un plan quelconque 16*17-17' parallèle au rayon de lumière et à Taxe ab. L'intersection de ce plan avec celui du cercle sera une droite 16-17 parallèle à 6'd'.
Ce même plan coupera Tarbre de la roue suivant une géné^ ratrice 17-17', dont l'intersection par le rayon de lumière 16-17' donne 17' pour Tombre du point 16. Il n'y aura plus qu'à recommencer cette opération.
Les ombres portées sur les plans de projection s'obtiendront par les moyens ordinaires.
Les droites 18-19 sont les traces horizontales des plans lu* mîneux tangents aux cônes convexes formant la surface des dents. Toutes ces droites doivent concourir au point où le rayon S-L prolongé irait percer le plan horizontal de projection. Ce point n'a pas pu trouver place sur l'épure.
Les droites 20-21 sont les traces verticales des plans tangents aux dents ; toutes ces lignes doivent aboutir au point L où le rayon S-L perce le plan vertical de projection.
