SPHÈRE. PL. H

le plan vertical de projection. Le petit axe i"-l" est égal au diamètre de la sphère.

L'ellipse 1' -2' -l"-2" sera l'ombre portée par la sphère sur le plan vertical de projection. On ne conservera que la partie de cette ombre qui est au-dessus de la ligne AZ, et l'on opé-* rera de la même manière pour obtenir l'ombre sur le plan horizontal.

Ainsi , la figure 68 est la section de la sphère par le plan vertical qui contiendrait le rayon du centre. Cette figure se construira en faisant o'-3 égal àp-o (/l^. 65); Z-o'" sera le rayon du centre rabattu sur le plan horizontal de projection.

Le diamètre 4-4 sera, sur la figure 68, la projection de ta ligne de séparation , et les deux rayons 4-4", 4-4" détermineront le grand axe 4"-4" de l'ellipse qui est l'ombre portée par la sphère sur le plan horizontal.

On remarquera, comme vérification, que les deux ellipse» S'-ï^ 4'-4" doivent se couper sur la ligne AZ.

Ombre portée sur la sphère.

i03. La construction de l'ombre portée par un point sur la sphère revient , dans tous les cas , à construire Tintersection de la sphère par le rayon de lumière qui contient le point dont on cherche l'ombre.

Ainsi , pour avoir fombre du point 5-5' (fig. 65 et 67) on construira :

V Les deux projections 5-5', 5'-5" du rayon de lumière du point 5-5' \

2"* On fera ^-^b!' égal à g-5, et le point 5" sera la projection du point 5-5' sur la figure 68;

3* Du point 3 comme centre avec un rayon 3-js' égal à z-a?, on décrira l'arc z'-x^ qui est la section de la sphère par le plan vertical qui contient le rayon du point 5-5'.

PL. 11. SPHÈRE. g9

L'intersection de l*arc a'-o?' par le rayon 5"-6"' donnera 5"', d'où l'on déduira 5" (/îjf. 67), et par suite 5' (/îj. 68).

£n recommençant cette construction on aura autant de points que Ton voudra. Ainsi , les deux courbes 5^-6^, 5*^-6'^ sont les deux projections de l'ombre portée sur la sphère par la courbe 5-6, 5'-6'.

11 est évident que cela revient à chercher l'intersection de la. sphère par un cylindre qui serait engendré par le mouvement d'un rayon lumineux , et qui aurait pour directrice la courbe donnée.

Sphère éclairée par un point lumineux.

i04. Les rayons lumineux qui s'appuient sur la sphère for*^ ment un cône qui a pour sommet le point s-s^ (fig. 69 et 70).

La projection auxiliaire (fig. 71) détermine le petit axe l'-i' et le grand axe Si'-2' égal au diamètre i-1 du cercle qui forme la ligne de séparation.

On détermine de la même manière la projection horizontale de cette même courbe.

La trace du cône, que l'on construira comme nous Tavons dit au n"" 80 , sera l'ombre portée par la sphère sur le plan horizontal de projection.

Creux sphériqiAe,

105. Nous .supposons ici que l'on veut avoir l'ombre portée dans une demi-sphère creuse par une portion de la circonférence du grand cercle qui en forme la limite.

On construira (/!(/. 63) une projection auxiliaire parallèle à la direction de la lumière *, la projection du rayon 5' -I" s'obtiendra en faisant p'-3' égal à p-3*^ (fig. 61 ) et en joignant 3'

90 SPHÈRE. PL. il.

avec r projection du point ï suivant lequel le rayon s-i, é-t perce le plan horizontal.

Le plan vertical qui contient le rayon du point 3 coupera la sphère suivant un grand cercle projeté sur la figure 63 par l'arc 3'-v*3", et Tintersection de ce grand cercle par le rayon 3-1" déterminera le point 3", d'où on déduira 3'" pour la projection horizontale de l'ombre portée par le point 3 dans la sphère.

106. On a opéré de la même manière pour obtenir te point 2'" qui est Tombre portée par le point 2 , mais on n'a pas décrit sur la figure 63 le cercle passant par les points 2'-l'\ et voici pour quelle raison.

Si l'on suppose que ce cercle ait été décrit, et si l'on compare les deux triangles l'-3'-3'', l'-2'-2^ on reconnaît : 1* qu'ils sont tous deux isocèles, puisque l'on a 1-3' = t-3'" comme rayons d'un même cercle, et que 1^-2' = 1-2^' par la môme raison; 2' l'angle t'-2'-2'' est égal à l'angle l'-3'-3'' à cause du parallélisme des rayons ^-*ii!\ 21-31'^ d'où il résulte que les angles 2*1-2", S'-l'-S'' sont é^ux, et que, par conséquent, les points 1', 2", 3'' sont en ligne droite.

Donc, la courbe 1*'3''''-1 {pg. 62), qui est l'ombre portée dans la sphère par l'arc 1-3-1 , est une courbe plane, puisqu'elle se projette par une ligne droite r-3" sur le plan de la figure 63.

107. Cette remarque réduit aux opérations suivantes la construction du point 2''^

On tracera :

1* 2-2^" projection horizontale du rayon de luniière passant parle point 2 (/(g. 62);

2^ La droite 2-2' donnera 2' pour la projection du point 2 sur la figure 63 ;

3* L'intersecticm du rayon 2'-2" avec 1-3" donne 2", d'où l'on déduira 2'" (/îff. 62).