CHAPITRE PREMIER
SURFACES DB RÉYOLUTION.
112. On a vu dans la Géométrie descriptive qu'une surface do révolution est engendrée par le mouvement d'une courbe tournant autour d'une droite immobile que Ton nomme son nxe.
113. La nature de la surface dépend de la courbe que l'on a choisie pour génératrice et qui est presque toujours une section méridienne.
Tore.
114. Le tore, ou surface annulaire, contenant en quelque sorte les éléments de toutes les surfaces de révolution , le lecteur fera bien d'étudier cet exemple avec le plus grand soin.
La figure 77, pi. 15) est la projection verticale de la surface donnée^ la section génératrice se compose de deux cercles aceg , qui ont pour centres les points oo\
L'axe de la surface étant vertical se projette sur le plan horizontal (/iff. 78) par le point l\ et les circonférences dé-
crites de ce point avec les rayons i'-S , ^-6 , représentent h plus grande et la plus petite section horizontale du tore. Cette dernière section se nomme le cercle de gorge.
La ligne de séparation se compose de deux courbes entiè rement indépendantes Tune de Tautre.
La première est située sur la portion de surface engendrée par la demi-circonférence acg.
La deuxième appartient à la portion de surface engendrée par la demi-circonférence aeg.
Tous les points de ces deux courbes ont été obtenus par la méthode des plans tangents qui a été exposée dans la géométrie descriptive.
Voici Tordre des opérations :
U perpendiculaire «-«" abaissée (/îjf. 78) sur la trace du méridien D percera ce plan en un point , dont la projectiofl horizontale $'\ ramenée en s'" sur la trace du méridien B, déterminera 5'^ (/îflf. 77), de sorte que $^-1 sera la projectiofl du rayon de lumière sur le plan du méridien D.
Cela étant fait, les deux diamètres 1-2, 4-3 perpendicfllaires à $^"-1 détermineront les points 1 , 2, 3, 4 suivant lesquels la surface du tore serait touchée par quatre plans parallèle aux rayons de lumière 5*^-/ et perpendiculaires au plan ^^ méridien D.
Les points 1 , 2, 3, 4 projetés (fig. 78) en 1', 2', 4' et 3' sur la trace du méridien B seront ramenés de là en 1", 2", 4" et 3 , sur la trace du méridien D, d'où on déduira leurs projections verticales 1'", 2'", 4/\ 3'" (fig, 77).
En opérant de la même manière, on obtiendra quatre points dans chaque méridien.
On fera bien de multiplier les opérations dans le voisinage des points 5, 6, 7, 8, parce que c'est dans cette partie des lignes de contact que les variations de courbure sont lés plus / sensibles.
Les projections verticales des deux courbes se coupent
{fig. 77) dans le pian du méridien C en deux points 23 et S4 que l'on devra déterminer avec exactitude.
Quelques points pourront être obtenus plus facilement par suite de la position particulière des méridiens qui les contiennent. Ainsi , par exemple :
Les deux diamètres 9-10, 11-12 perpendiculaires à la projection verticale s-l du rayon lumineux, déterminent sur la section nnéridienne principale les quatre points suivant lesquels la surface serait touchée par quatre plans perpendiculaires au plan vertical de projection et parallèles à la direction de la lumière.
€es quatre points auront leurs projections horizontales sur la trace du méridien B.
La trace du méridien FF (/Ig. 78), perpendiculaire à la projection horizontale s -2' du rayon lumineux, déterminera les quatre points 5, 6, 7, 8, suivant lesquels la surface serait touchée par quatre plans verticaux et parallèles aux rayons de lumière.
Ces quatre points appartenant au plus grand parallèle et au cercle de gorge, leurs projections verticales 5', 6', 8', 7' seront situées sur la ligne horizontale c-c.
Si nous faisons tourner le méridien A jusqu'à ce qu^il soit venu coïncider avec le méridien B, le point i viendra se placer on 5^, d'où on déduira s^', de sorte que 5^-i sera le rayon de lumière lui-même ramené dans le plan du méridien principal.
Les deux diamètres 13-14, 15-16, perpendiculaires à i^-i^ détermineront alors les quatre points suivant lesquels la surface serait touchée par quatre plans parallèles aux rayons lu^ mineux et perpendiculaires au plan du méridien A. . .
Ces quatre points projetés horizontalement sur la trace du méridien B et ramenés de là à leur place dans le plan du méridien A, donneront 13', 14', 15', 16', d*où Ton déduira leurs projections verticales 13", 14", 15", 16" (/îflf. 77).
Ce sont les points les plus élevés et les plus bas des deux courbes de contact.
On peut aussi abréger beaucoup le travail en ayant égard à la symétrie.
Ainsi , les points obtenus dans le méridien D ponrroni être reportés à la même distance du centre , sur la trace du méridien D' et de là projetés à la même hauteur sur la figure 77.
Les points situés dans le méridien E' se déduiront de la même manière de ceux qui appartiennent au méridien E.
Enfin les points des méridiens B, C donneront ceux des méridiens B', G'.
Ainsi l'une des deux lignes de contact aura pour projection horizontale la courbe S-l"-15'-H'-.7.3"-13'-9'-8 et pour projection verticale 5'.r"-15"-H-7'-3"'-13".9-8'
La seconde ligne a pour projection horizontale la courbe 6.r-16'-i2'.8-4"-44'-40'-6 et pour projection verticale 6'*2"'. i6''-î2.8'.4'^.14''.10.6'.
La première de ces deux courbes touche la section méridienne principale aux points 9 et 11 , et la seconde la touche aux points 10 et 12.
Ombres portées.
115. La courbe extérieure servira de directrice au cylindre oblique formé par les rayons lumineux qui s'appuient sur la surface.
L'intersection de ce cylindre avec les plans de projection ne présentera pas de difiScultés.
116. L'ombre portée par ta courbe intérieure exigera plus d'attention.
Pour bien concevoir la nature de cette ligne, supposons qu'un rayon lumineux glisse parallèlement à lui-même en s'appuyant sur ta courbe 8-U'-6-16-8 {fig. 78), la surface cylindrique engendrée par le mouvement de ce rayon se composera de quatre parties bien distinctes , savoir :
i*" Une première partie ayant pour directrice la portion de courbe t?-14'-v' et pour trace horizontale v'-14"-u"5
2* La seconde partie aura pour directrice la courbe u -6-m\ cl pour trace u' -6"-m" ^
3** La troisième partie a pour directrice la courbe ni-i&^vi et pour trace m'-lô^-n^' \
¥ Enfin la quatrième partie a pour directrice n'-S-i)' et pour trace n^-S'-v".
Ces quatre parties sont séparées les unes des autres par les rayons lumineux mW, tn!'nil\ vl-rtl^ t? -v". Ces rayons forment sur la surface quatre arêtes de rebrousseinent et déterminent par leur intersection avec le plan horizontal les quatre points t»*', m", n", xl\ qui sont eux-mêmes des points de rebrousseinent pour la courbe u"-v"'n!''m" ,
On remarquera que la courbure change de sens toutes les fois que le rayon lumineux devient tangent à la courbe de «onlact 14^6-16'-8.
Ce qui a lieu aux quatre points u\ m', n\ v\
A tous les autres points, le rayon de lumière fait avec cette courbe des angles plus ou moins grands.
Les deux parties qui ont pour traces les courbes uM4W, m' -i6'W^ se coupent suivant les deux rayons lumineux x'-x*"^ s'-je"' placés symétriquement par rapport au méridien A,
Ces deux rayons , après avoir touché la surface du corps en desstis, aux points x\ z\ touchent une seconde fois cette même MirCoice en dessous aux points x*\ js", et vont ensuite percer le plan horizontal aux deux points a/", js'".
117. Les rayons lumineux qui s'appuient sur la portion de courbe xf-u! ne peuvent pas arriver jusqu'au plan horzontaL Ils sont arrêtés dans leur cours par la masse du corps et produisent, par leur intersection avec la surface, une courbe ;.u-10'"-a;" qui est par conséquent Tombre portée dans la gorge de l'anneau par la partie x*-W de la courbe de contact.
m SURFACES m: révolution. PL. 15.
Pour obtenir un point quelconque de la courbe u!af\ ou peut employer le principe des plans coupants (8). Ainsi , par exemple, si Ton veut avoir l'ombre portée parle point 10, 10', on opérera de la manière suivante :
1* On concevra le plan vertical P-p contenant le rayon de lumière du point 10.
2^ En élevant des perpendiculaires par les points où ce plan coupe les cercles horizontaux de la surface , on aura la courbe ç-10"-y (fig. 77).
3* L'intersection de cette courbe par le rayon lumineux du point 10 détermine 10", et par suite 10"' pour les deux projections de Tombre du point 10,10'.
I^ point 20 où la courbe u'-10'"-aî" (fig. 78) touche lo cercle de gorge se déduira du point où la projection verticale ti-20-10"-â?*^ (fig. 77) rencontre l'horizontale e^ qui est la projection verticale du cercle de gorge.
On opérera de la même manière pour construire la courbe V -s" qui est l'ombre portée par la courbe z'-v'.
118. Les différents points des courbes u'^i(y"'x" et t/-z" {fig. 78), peuvent encore être obtenus d'une autre manière.
Supposons par exemple, que l'on veuille déterminer ou vérifier le point 17 suivant lequel la courbe vV touche le cercle de gorge.
On concevra tous les rayons lumineux qui s'appuient sur ce cercle horizontal ee, eV, et sur la portion de courbe zv^ z'v' dont on cherche Tombre.
L'ensemble de tous ces rayons formera évidemment deux surfaces cylindriques parallèles à la direction de la lumière et par conséquent, parallèles entre elles.
L'intersection de ces deux surfaces cylindriques sera le rayon qui s'appuie sur les deux courbes directrices et qui détermine par conséquent Tombre portée sur l'une de ces «i:ourbes par un point de la seconde.
Ainsi, pour obtenir sur le cercle de gorge le point qui appartient à Tombre portée par la courbe zV {flg. 78) « on tracera le rayon de lumière qui contient le centre 18 du cercle €e (fig. 77).
Ce rayon percera le plan horizontal de projection suivant un point 18" qui sera le centre de la circonférence eV égale à ta projection horizontale eV du cercle de gorge.
La circonférence e"e" sera la trace faorizontalcf du cylindre formé par les rayons lumineux qui s*appuîent sur le cercle de gorge ee^ t'e'.
Or la courbe «'-14''-i/' (fig. 78) est la trace du cylindre formé par les rayons lumineux qui s*appuîent sur la ligne de séparation i« *14'V. II s'ensuit que le point 17" suivant lequel ces deux traces se rencontrent, appartient au rayon 17 , corn? mun aux deux surfaces cylindriques , et les projections du rayon de lumière 17, détermineront les deux projections 17 et 17' du point suivant lequel la projection horizontale du cercle de gorge est touchée par la courbe v'-M-z" {fig. 78).
On opérera de la même manière pour déterminer le points 19 sur le parallèle dont la projection verticale est rt.
119. II est évident que Topération précédente est un qas particulier du problème général qui aurait pour but de déterminer le point d'ombre porté sur une courbe quelconque aal (fig. 4, pi. 14) par un point d'une autre courbe queir conque bb\
Or, en raisonnant comme nous venons de le faire , on seta conduit aux opérations suivantes :
1* lies rayons lumineux qui s'appuyent sur la courbe aa' forment dans l'espace, une surface cylindrique dont on con^ struira la trace horizontale a".
2® Les rayons lumineux qui s'appuyent sur la courbe 66', formeront une seconde surface cylindrique dont on^ construira la trace horizontale b".
Wi SURFACES DE RÉVOLUTION. PL. 14,
ù** Le point n suitaut lequel les deux traces horizontale» a" et h" se coupent, déterminera le rayon mn^ m'vl commun aux deux cylindres, et le point uv! suivant lequel ce rayon rencontre la courbe aa^ sera Tombre portée sur cette courbe ^ par le point mm' de la courbe hb'.
f 20. Si les deux lignes données aa' et hV étaient droites (/Sgf. 1) les cylindres formés par les rayons lumineux qui s'appuient sur ces lignes, seraient rmnplacéspar deux plans, la droite iTin, mV intersection de ces deux plans, serait le rayoD lumineux qur s'appuie sur les deux droites données et le point uu' suivant lequel ce rayon rencontre la droite aa!^ serait l'ombre portée sur cette ligne par le point iHm^ de la droite bi»'. il est évident que Ton pourrait opérer de la même manière s'U s'a^ssait d'obtenir le point d'ombre porté pftr une droite sur une courbe^ ou par une courbe sur une droite.
i2{. Ott conçoit également que la même opération peut donner plusieurs points \ ainsi la construction que nous avon» rndiquée au numéro 418, déterminera évidemment deux points sur le cercle u (^. 77) et deux points sur le oercle rt.
En général, la trace du cylindre formé par les rayons lumineux qui s'appuyeni sur la ligne de séparation , rencontrera ta trace du cylindre formé par les rayoïls lumineux qui s'appuient sur la courbe donnée, suivant des poiâts qui détermineront tous les rayons lumineux passant par les points d'ombre cherchés , et tous les points d'ombre portés par WEie courbe sur l'autre, pourront ainsi être déterminés par uzœ seule opération.
La noéthode précédente est surtout très-commode, parce qu'elle permet de choisir à volonté la ligne sur laquelle on veut obtenir les points d'cmibres portés par la ligne de séparation.
PL. 14 TORB. \f»
CofiiîdéraiiotM giniraltê.
122. Le tracé des ombres sur les dessins des ingénieurs n'exige pas une exactitude aussi absolue que celle qui est né» cessaire dan$ quelques autres applications de la géométrie descriptive.
On sait que ce n'est pas sur des dessins ombrés que s'exécutent la plupart des travaux qui demandent une grande exactitude. Les charpentiers , ].es tailleurs de pierres , les constructeurs de machines , n'ombrent pas les épures qui servent à déterminer les dimensions de Tobjet qu'ils exécutent, et s'ils tracent les ombres sur quelques-uns de leurs dessins, c'est plutôt pour mieux faire comprendre la forme des objets représentés que pour en faciliter l'exécution.
Il n'est donc pas toujours nécessaire que les ombres soient tracées avec une précision mathématique , et pourvu que Ton fasse comprendre parfaitement la forme de l'objet, on aura rempli le but que l'on s'était proposé.
Ainsi un dessinateur habile ne prendra pas le compas à chaque instant pour tracer les ombres sur une machine ou sur un monument ^ l'analogie plus ou moins grande qui existe entre la surface du corps qu'il veut ombrer et quelques-uns des exemples qu'il a étudié géométriquement^ lui permettra toujours de construire les courbes de séparation et d'ombres portées, avec une exactitude suffisante pour donner à son dessin l'air de vérité qu'il doit avoir.
Le peintre qui aura fait quelques études géométriques des ombres , reconnaîtra évidemment dans les courbes de séparation qui ont lieu sur les draperies , sur les membres du corps humain et sur les muscles principaux, quelques-uns des effets produits par la lumière sur les cylindres, les cdnes ou la sphère. Les contours de la iéte, du nez, du menton, repra-
duîront plus ou moins les courbes que Ton rencontre sur les principaux corps géométriques. Les ombres portées dans la cavité occupée par l'œil , lui rappelleront Tombre portée dans une niche sphérique ou elliptique par Tare qui en formef le contour.
Ce n'est donc pas, comme paraissent le croire quelques ar-^ tistes, pour tracer les ombres avec le compas, que les études actuelles sont nécessaires; l'essentiel, avant tout, est de comprendre pour quelle raison une ligne d'ombre est plus ou moins courbe , pourquoi elle est courbe dans un sens plutôt que dans l'autre \ enfin , de s'habituer à reconnaître et à prévoir par le raisonnement comment ces courbes peuvent être modifiées par les changements divers qui peuvent avoir lieu dans la direction de la lumière ou dans son intensité.
Enfin, pour les artistes, les études géométriques n'ont pas pour but de leur apprendre à dessiner, mais de leur apprendre à regarder.
En effet beaucoup d'entre eux , se laissant égarer par leur imagination, ne dessinent pas les objets comme ils les voient, mais comme ils croient les voir.
Ils ignorent qu'un objet, quoique parfaitement dessiné, paraîtra trop petit si les ombres sont trop grandes, et trop grand s'il est trop exposé à la lumière.
Un homme , dans les proportions les plus exactes , paraîtra trop grand ou trop petit s'il est placé à côté d'une colonne trop petite ou trop grande, trop obscure ou trop éclairée; beaucoup d'entre eux ne confondraient pas le trop court avec le raccourci s'ils avaient étudié la perspective , ou au moins les projections obliques des corps. Ce qui leur permettrait de comprendre l'admirable ouvrage de Jean Cousin, qui avait si bien deviné la géométrie descriptive.
liCS artistes habiles sentent parfaitement toutes ces choses ^ mais un grand nombre , ignorant les causes des nombreuses illusions d'optique produites par la combinaison des ombres de
PL. 14. TOHË. iOS
là lumière et de la perspective, font des efforts inutiles pour &*en affranchir et ne parviennent souvent à faire disparaître un défaut apparent qu'en produisant à côté un défaut réel.
123. Les réflexions qui précèdent expliquent pourquoi je me suis particulièrement attaché , dans cet ouvrage , à Tétude des objets que Ton rencontre le plus souvent dans la pratique.
Or, après les polyèdres et les trois Corps ronds élémentaires, savolir t le cylindre, le cône et la sphère, les objets que l'on a le plus souvent occasion de dessiner ont plus ou moins d'a^ nalogie avec ce que Ton appelle en géométrie, solides de révolution.
La forme presque toujours gracieuse de ces sortes de corps et le bon marché qui résulte de la facilité de leur exécution sur le tour en a fait multiplier à Tinfini toutes les variétés.
Mais si Ton considère avec attention la section méridienne d'une surface de révolution quelconque, on pourra toujours considérer cette ligne comme composée d'un certain nombre d'arcs de cercles qui se raccorderaient.
Ainsi, par exemple, la méridienne accu (fig-T) étant une courbe à trois centres composée des arcs aCy cveivu^ la zone acac sera une portion de la surface annulaire engendrée par le cercle qui a son centre au point 1 .
La zone cvcv appartient à une seconde surface annulaire engendrée par le cercle décrit du point 2 comme centre.
Enfin , la zone vuvu fait partie d'une troisième surface annulaire qui a pour centre le point 3.
La première zone se raccorde avec la deuxième , parce qu'elles sont touchées toutes les deux par une môme surface cylindrique , suivant la circonférence du cercle horizontal ce.
La seconde zone se raccorde avec la troisième, parce qu'elles sont touchées toutes les deux suivant le cercle w par un cône circulaire qui a son sommet au point s,
La section méridienne de la surface de révolution repré-
sentée sur la figure 9 est égalemeot une courbe à trois centres composée de trois arcs de cercles mn^ fio, ox qui se raccordent aux points « et o ; de sorte que la surface toute entière peut être considérée comme composée de trois zones ou parties de sur&ces annulaires qui se raccordent suivant les cercles nn et m.
124. Toute surface de révolution peut donc être considérée comme composée d'une suite de zones qui se raccordent et dont chacune provient d'une surface annulaire ou tore. C'est pourquoi on ne saurait étudier avec trop de soin tout ce qui se rapporte à cette espèce de surface.
Or, si Ton ne veut pas être obligé de prendre à chaque instant le compas pour tracer les ombres sur un dessin , il ne suffit pas d'exécuter une épure d'ombre pour une direction déterminée des rayons lumineux. Cela serait tout au plus suffisant pour les dessins de l'ingénieur, mais si Ton veut acquérir le sentiment exact des effets de la lumière, il faut se familiariser avec toutes les transformations que subissent les courbes de séparations et d'ombres portées , lorsque l'on déplace la lumière ou l'objet éclairé.
125. D'après cela, concevons {fig. 8) la surface annulaire ou tore engendrée par le cercle A, et supposons, pour plus de simplicité, que la lumière soit parallèle au plan vertical de prcjection.
Si l'on fait prendre au rayon lumineux les inclinaisons successives indiquées sur la projection verticale, par les droites, ^\ , 5-2, «-3, etc. , et si Ton construit les projections verticales et horizontales de toutes les lignes de séparation correspondantes , on obtiendra successivement les courbes tracées sur les deux projections de la figure, depuis le cas où le rayon de lumière $A est vertical jusqu'au moment où il devient boriaontal comme cela est indiqué par sa projection verticale «-6.
Toutes ces courbes ont été obtenues par la méthode iodH quée au numéro 114, et chacune d'elles est déterminée par douze points situés dans les plans méridiens P Pi Pf
La partie vue de chaque courbe est tracée en ligne pleine ,
tandis que la partie cachée est tracée en points.
Lorsque le rayon lumineux est vertical , il est évident que les deux lignes de séparation se confondent avec le plus grand el le plus petit parallèle ; mais, à mesure que le rayon de himi^e s'incline davantage, les deux courbes se transforment eu s'approchant toujours des circonférences décrites par le poiM lo plus bas et par le point le plus élevé du cercle généra-^ leur  et l'on voit les courbes de séparation coïncider avec ces deux cercles ) lorsque le rayon de lutmère devient tout à fait horizontal.
i26. Il ne faut pourtant pas croire dans ce dernier cas, que chacune des lignes de séparation se compose tout entière de l'un des cercles dont nous venons de parler.
Les choses ne se passent pas ainsi \ et si Ton veut comprendre ce qui a lieu dans cette circonstance, il faut comparer la figure 1 1 avec la courbe que l'on obtient figure 10 lorsque le rayon de lumière est presque horizontal.
Pour éviter la confusion , j'ai désigné parles mêmes chiffres les points qui ont une projection verticale commune : ainsi, sur les deux figures, la ligne de séparation intérieure passe par les points l*S^3-4-5, tandis que la ligne de séparation extérieure contiendra les points 6-7-^-9-10, et l'on voit par conséquent que, ftur la figure 11 , la première de ces deux courbes comprendra :
1^ Le demi-cercle horizontal 2*1 -2 au'^deâsus de k surface^
S® Le demi'cercle vertical £*3*4 dont la convexité est tournée ▼ers l'axe de la surface ;
3^ liC demi-cercle horizcmtal 4 «5-4 au-dessous de la surface v
4" Le demi-cercle vertical 4-3-ï.
Tandis que ia ligne de sépiaration extérieure se composera ainsi :
1 • Le demi-cercle horizontal 7»6-7 au-dessous de la surface *,
2» Le demi-cercle vertical 7-8-9 \
3* Le demi*cercle horiiontal 9-10-9 au-dessus de la surface \
4* Le demi'ocercle vertical 9-8-7.
De sorte que le rayon lumineux partant du point 7 engendrera une suite de surfaces alternativement planes et cylindriques , dont la directrice passera par les points 7-6-7-8- 9-10-9-8 et 7, tandis que la courbe intérieure serait 2-1-2- 3- 4-5-4-3 et 2.
Pour mieux distinguer les effets qui résultent de cette direction de la lumière , j'ai indiqué par une teinte de lignes pleines ia partie du corps qui est limitée par la ligne de séparation, tandis que les teintes ponctuées indiquent Tombre portée dans la partie de la surface qui est tournée du côté de Taxe , par la partie du corps qui lui est opposée et qui arrête par conséquent les rayons lumineux.
Sur la figure 8 on n'a indiqué par des teintes que les parties ombrées que l'on obtient lorsque le rayon de lumière est parallèle à la droite «-2^ et pour que l'on puisse mieux comprendre les transformations diverses de la courbe de séparation, on n'a pas indiqué sur cette projection les ombres qui seraient portées dans chaque cas sur la partie creuse du tore,
127. Les figures 2, 3, 5, 6, 12 et 13 sont les traces horizontales des cylindres formés par les rayons lumineux qui s'appuieraient sur les courbes de séparation intérieures de la fig. 8.
On conçoit parfaitement que si le rayon lumineux était vertical, la ligne de séparation serait le cercle de gorge, dont la projection horizontale se confondrait évidemment avec la trace du cylindre formé par les rayons lumineux qui s'appuieraient sur ce môme cercle.
PL, 14. TORE. i09
Mais à mesure que le rayon lumineux s'inclinera davantage, les traces des différentes surfaces cylindriques formées par les rayons qui s'appuient sur la partie intérieure de la surface , deviendront successivement semblables aux figures 2, .3, 5, 6, etc.
Chacune de ces courbes contiendra toujours les quatre points de rebrousement dont nous avons parlé au n*^ 116.
La partie éclairée produite par Touverture du cercle de gorge diminuera graduellement, jusqu'au moment où le rayon lumineux touchera en même temps les deux cercles A qui forment la section méridienne de lu figure 8.
C'est alors que le cylindre formé par les rayons lumineux aura pour trace horizontale l'ensemble des courbes dessinées sur la figure 5 , en prolongeant par la pensée chaque rayon jusqu'au plan horizontal de projection ; car il est évident que lorsque le rayon lumineux sera plus incliné que la tangente commune aux deux cercles A de la figure 8, aucun des rayons lumineux qui s'appuient sur la partie intérieure de la surface ne pourra plus passer, et chacun d*eux étant arrêté par la masse du corps, l'ombre de la ligne de séparation aura lieu tout entière sur le corps lui-même.
Malgré cela j'engage le lecteur à construire les traces correspondantes aux inclinaisons diverses des rayons lumineux.
On pourra également chercher comme exercices les points suivant lesquels les rayons qui sont arrêtés par la surface du corps, perceraient la paroi opposée de cette surface si ce corps était transparent *, il suffira , dans ce cas, d'opérer comme nous Tavons dit aux n®' i 1 7 et 1 18.
128. La discussion qui précède est fort utile en ce qu'elle familiarise avec les diverses transformations qui ont lieu dans la forme des ombres par suite des changements opérés dans la direction des rayons lumineux.
C'est par des études de ce genre appliquées à un grand nom-
HO SURFACES I» RÉVOLUTION. PI. ib-
bre d'objets différents qu'an artiste peut acquérir la science du coloris , qui ne consiste pas à mettre au hasard du blanc à cAté du noir pour produire des éclats de lumière souvent impossibles , mais à distribuer exactement le jour et les ombres sur toutes les parties du tableau.
