Deujdème étude rar la aurfaco ammlalra. Les

flg. i4 et 13, de la pi. 13) sont les deux projections de la moitié d'une surface annulaire coupée par le pian du ntéridien parallèle au plan vertical de projection.

Les lignes de séparation extérieure et intérieure, ont été déterminées en opérant comme nous l'avons dit au n*" 114.

L'inclinaison de la lumière est telle, qu'aucun rayon lumineux ne peut passer dans le vide qui a lieu vers le centre de la surface , ce qui produit la courbe d'ombre portée 1-1 0-9â'-9.10 et 3.

Cette ligne , intersection de la surface annulaire par les rayons lumineux qui s'appuyent sur la partie 1-2-3 de la courbe de séparation intérieure, peut être construite par la naétbode indiquée aux n~ 118 et 1 19.

Ainsi, pour obtenir les points situés sur le cercle horizontal aa,a'a', fig. 14 et 15, on concevra les deux surfaces cylindriques formées par les rayons lumineux qui s'appuient sur le cercle a^a^ et sur la ligne de séparation intérieure 1-%^- 5-6-7.

On coupera ces deux cylindres par un plan borisontal P, fig. 14 ^ on obtiendra par ce moyen, sur la fig. 15, la courbe M et la circonférence a" égale et parallèle au cercle horixontal ^a' des fig. 14 et 15.

Les points 10', suivant lesquels la courbe M est coupée par la circonférence a", détermineront les rayons lumineux communs aux deux cylindres.

On projettera les deux points {(V sur la trace verticale da plan P, fig. 44, et les projections verticales des rayons lumineux correspondants détermineront les points 10 sur la projection verticale d du cercle a(i\ les perpendiculaires abaissées par ces deux points, détermineront leurs projections horizontales sur les projections des rayons correspondants, et sur la projection horizontale a du cercle ad.

L'opération précédente étant recommencée, on obtiendra autant de points que Ton voudra de la courbe d'ombre portée.

On fera bien de construire les points 9,9 de cette courbe, qui sont situés sur le cercle de gorge.

Si Ton veut déterminer le point ii suivant lequel la courbe d'ombre portée touche le cercle méridien C' de la fig. 14 , on concevra le cylindre formé par les rayons lumineux qui s'appuierait sur la circonférence de ce cercle.

On coupera ce cylindre, et celui qui a pour directrice la ligne de séparation 2-6 par te plan P^ parallèle au plan vertical de projection, flg. 15.

On obtiendra ainsi, fig. 14, la courbe N et la circonférence C" égale et parallèle au cercle méridien C'.

Le point IV, suivant lequel ces deux courbes se rencontrent, déterminera le rayon qui s'appuye en même temps sur la ligne de séparation intérieure 2-6 et sur le cercle méridien C, et le point 11 de ce cercle sera par conséquent Tombre portée sur cette circonférence, par le point correspondant de la ligne de séparation.

Le point 2' le plus bas de la courbe d'ombre portée, sera déterminé par le plan coupant, vertical P,.

Ce plan qui contient le rayon SL, coupe la surface annulaire suivant nn cercle méridien , dont on évitera facilement la projection elliptique par un rabattement autour de l'axe.

La courbe 1-2-3 étant la seule partie de la ligne de séparation qui soit touchée par les rayons lumineux, il est évident que Ton peut se dispenser de construire toute la partie 8-7«

Hî SURFACES DE RÉVOLUTION. PL. 15.

6-5-4 et 3 qui est plongée dHns l'ombre, mais l*ëpure actuelle étant une étude de principe, j'ai dû conserver entièrement la courbe suivant laquelle la surface serait touchée par le cylindre parallèle au rayon lumineux, en supposant que le rayon lumineux générateur do ce cylindre peut traverser librement toutes les autres parties de la surface du corps.

430. Tanir^ntM et points de tmn^^^iskcm- Nous aurons principalement pour but dsins Tétude actuelle :

i^ ^m^ De construire une tangente en un point quelconque de la ligne de séparation ;

2^ ■HM De déterminer les points suivant lesquels la ligne de séparation intérieure est touchée par le rayon lumineux.

Nous avons dit au n^ 116, que ces points sont au nombre de quatre.

En effet, il est évident qu*au point 2 de la fig. 15, la tangente à la courbe 1 -2-3 est horizontale, tandis que le rayon lumineux coupe la courbe et sa tangente suivant un angle droit.

Mais, si Ton fait glisser le point 2 sur la courbe 2-6, en supposant que ce point entraîne avec lui la tangente et le rayon lumineux correspondant ^ l'angle formé» par ces lignes cessera d'être droit, puisque la tangente change de direction à chaque instant, tandis que le rayon lumineux reste toujours ^ parallèle à lui-même : et lorsque Tangle que ces deux lignes fonl entre eux, sera réduit à zéro, ce rayon lumineux , se confondant avec la tangente, sera évidemment tangent à la courbe ; ce qui aura lieu aux quatre points 1-3-5 et 7.

Pour ne pas distraire le lecteur, je n'ai pas cru devoir indiquer sur la pi. i3) les opérations nécessaires pour déterminer rigoureusement les quatre points de tangences ti,r, m et n.

D'ailleurs, il n'est pas absolument utile, dans la pratique, que ces points soient déterminés avec une précision absolue.

Le dessinateur qui aura étudié sur la fig. 8, de la pi. 14 , les diverses variations de courbure produites dans la ligne de séparation par les inclinaisons plus ou moins grandes^du rayon lumineux, saura toujours placer ces points avec une exactitude suffisante.

Ensuite, si la courbe est construite avec beaucoup de soin, on pourra tracer sur les deux projections, des tangentes parallèles aux rayons lumineux ; puis, après avoir déterminé les points de tangence, par Tun des moyens que j'ai donné dans le premier chapitre du deuxième livre de ma géométrie descriptive. On pourra considérer le résultat obtenu comme suffisamment exact, si les deux projections, de chaque point de tangence sont situées sur une même droite perpendiculaire à la ligne AZ {fig, 77 et 78, p/. 13).

Le traité actuel étant particulièrement destiné aux dessinateurs, on peut donc se contenter de la solution qui précède.

Cependant, pour ne rien laisser à désirer, au point de vue delà théorie, je vais indiquer les moyens d'obtenir rigoureusement les tangentes et les points de tangence à la ligne de séparation.

Mais avant de résoudre ce problème, il faut nécessairement rappeler quelques principes dont la démonstration ne peut trouver place que dans les traités d'analyse.

131. Gonrbara des ligrnes, cercla oscnlateiir, centras et rayons de courbure. Si par un point A d'une courbe BAD (/îff. 1 , p/. 15) on conçoit une tangente AT, la droite AN perpendiculaire sur AT sera une normale.

Tout point C pris à volonté sur la normale, pourra servir de centre à un cercle de rayon CA qui touchera la courbe BAD au point A.