U"W" — —SI

Deux de ces normales sont tangentes à l'arc SI', situé comme

W* 16- TORE. itt

le point V dans l'aii^le droit fiOA'^ formé par les deux diamètres principaux de Tellipse, tandis qu'aucune des quatro normales n'est tangente à Taré IS\ situé dans Tangle droit' opposé AOB'.

Si le point V coïncidait avec le centre de Tellipse, les quatre normales se confondraient avec les axes AÂ' et B'B; et si le point V était situé sur Tun de ces axes, deux seulement des normales se confondraient avec cet axe, et les deux autres normales seraient placées symétriquement par rapport aux premières.

Si le point V appartenait à l'un des arcs de la développée SIS'l', les deux normales tangentes à cet arc se réduiraient à une seule, et Ton n'obtiendrait dans ce cas, que trois normales à l'ellipse.

Enfin , par l'un des quatre points de rebroussementfi$ ou par tout autre point pris où l'on voudra en dehors de la courbe SIS'l', on ne pourra construire que deux norHïales.

160. Courbe osculatrlce an second dei^ré. Lorsque l'on connaît le rayon de courbure en un point A d'une courbe quelconque BAD (fig, 13) , il est facile de trouver une ellipse, parabole ou hyperbole osculMrice.

En effet, connaissant le rayon AI du cercle osculateur, on sait que l'on doit avoir

Al = r ss — = demi-parim4tr0.

Or l'équation ^ = r étant indéterminée , il est évident que

l'on peut choisir à volonté l'une des valeurs a ou b; d'où il fësttlle qu'il y a une infinité d^ellipses ou d'hyperboles oscuk^ikee au point A de k oeu? be BAD.

138 SURFACES DE RÉVOLUTION. PL, ig.

Si Ton se donne la yaleur de 6 , on aura ar^=V^'^ d'où

a = — , ce qui revient à construire le quatrième terme de la

proportion r : è :: 6 : a.

Si, au contraire, on prend à volonté la valeur de a, on

aura 6* = ar^ d'où 6 = V/ôr , et , dans ce cas , h sera une moyenne proportionnelle entre le rayon de courbure r qui est connu et la valeur que Ton a choisie pour a.

161. Ellipse oscQlatrioe. Supposons, par exemple, qu'au point A de la figure 13 on veut construire l'ellipse osculatrice dont le centre serait situé en éur la normale du point A : on fera Al' = AI = r ; on décrira la demi-circonférence IB'O, et la droite A6', moyenne proportionnelle entre Al' = r et AO = a, sera la valeur de 6, que Ton portera sur ce.

Il ne restera donc plus qu'à décrire l'ellipse demandée.

162. Hyperbole oscnlatrice. Supposons actuellement qu'au point A de la courbe BAD (/îgf. 19) on veut construire une hyperbole osculatrice.

Le rayon de courbure AI étant supposé connu , on pourra choisir à volonté le centre de l'hyperbole; puis on décrira sur 01 , comme diamètre, une demi-circonférence OBI , et la droite AB, moyenne proportionnelle entre lA=r et AO=:a, sera l'axe imaginaire de Thyperbole demandée qui aura par conséquent pour asymptotes les deux droites OK et OH. Et puisque l'on connaît le sommet A de cette courbe, il sera facile de la construire. *

ioo. Parabole oscnlatrice. Si dans la formule — = r,

on suppose que l'une ^de ces deux lignes soit infinie ,. la seconde