PL. IS. TORE. IW

le sera également, et la courbe osculatriec sera une parabole,

ce qui ne doit pas changer le rapport — = r= ^ . Sans quoi

ta parabole ne serait pas osculatrice du cercle de rayon AI , ni par conséquent de la courbe donnée (148).

Mais , dans ce cas , on n'a pas besoin de connaître les valeurs de 6 et de a, puisque dans toute parabole {flg. 17), la distance AF vaut le quart du patamètTe^ et par conséquent la moitié de AI.

La distance AF du sommet au foyer étant connu , il sera facile de tracer la directrice et de construire la parabole oscu* latrice, qui, par conséquent, sera déterminée lorsque Ton connaîtra le rayon de courbure Al au point A de la courbe donnée.

164. Ainsi toutes les ellipses paraboles ou hyperboles dont le paramètre sera 2A1 » 2r, seront osculatricas les unes des autres au point A de la courbe donnée.

On peut considérer toutes ces courbes comme les transformations successives du cercle osculateur, qui devient d'abord une ellipse dont le grand axe s'allonge à mesure que le centre s'éloigne du point A (/Igf. 13).

Lorsque le centre arrive à l'infini , la courbe devient une parabole a , puis le centre passant brusquement à Tinfini négatif, la courbe devient une hyperbole c, dont les asymptotes s'écartent Tune de l'autre à mesure que le centre se rapproche du point A. Pendant ces transformations diverses , le paramètre 2AI , égal au diamètre du cercle osculateur, passe toujours par le foyer qui se meut sur la droite Al en s'approchant du point A.

La courbe osculatrice devient une parabole au moment où le foyer F arrive au milieu de la droite AL

Cette parabole, qui est la plus allongée de toutes les ellipses, dont le paramètre est égal à 2AI, se transforme immédiatement en rhyperbole dont le centre#est à l'infini négatif

et déni les asymptotes font entre elles un angle égal à zéro.

Ces asymptotes, d*abord parallèles entre elles et infiniment éloignées Tune de Fautre , ne touchent la parabole qu'à Tinfini; mais aussitôt que le centre et le foyer F (/I9. 19) se rapprochent du point A , Tangle des asymptotes devient plus ouvert, et cet aogle serait égal à 180** si la distance OA était réduite à zéro.

Dans ce cas, Thyperbolè osculatrice et les asymptotes se confondraient avec la droite AT, qui touche au point A là courbe BAD.