CMmrbnre des surfaces. Si par un point M d'une

surface courbe S {fig. 5), on conçoit un plan tangent , on sait que la droite MN perpendiculaire à ce plan tangent sera une normale.

Tous les plans, tels que P Pj ou P, , qui contiendront la normale seront des plans normausi , et les diverses sections de la surface par ces plans seront des seetions normales; ces courbes sont les ligiies dé courbure de la surfoce.

Or, à l'exception de quelques surfaces particulières, et pour quelques points singuliers de ces surfaces , les lignes de courbure passant par un point donné ne sont pas égales entre eHes.

La courbure de chacune de ces lignes dépend de la direction du plan normal qui la contient , et si Ton considère les plans P Pi et P, comme les différentes positions d'un plan mobile que l'on ferait tourner autour de la normale MN, les rayons de courbure des sections diverses que l'on obtleildra changeront de grandeur , sans toutefois sortir de certaines limites qife l'on peut déterminer par le calcul lorsque Ton connaît les propriétés géométriques de la surface donnée i

167. Les rayons de courbures des sections de la surface S par les plans normaux, n'étant pas égaux entre eux , on conçoit qu'il doit y avoir un de ces rayons plus grand et un plu>s petit qife tous les autres.

Le premier est le rayon maximum^ et correspond à la plus petite courbure ; tandis que le rayon minimum appartient à la section qui a la plus grande courbure.

168. On démontre en algèbre , que , dans toute espèce de surfaces^ le plan normal qui contient la section de plus petite courbure est toujours perpendiculaire au plan de la section de plue grande courbure,

169. Tous les rayons de courbure coïncident avec la nor maie ou avec son prolongement.

Or, si les rayons de courbure sont tous situés d'un méoie côté par rapport au plan tangent, comme cela aurait lieu pour l'exemple représenté figure 5, on dit que la surface est convexe; mais, il y a des surfaces pour lesquelles les rayons de courbure iS'ont pas tous la même direction.

Ainsi, par exemple, si Ton coupe la surfiEuse projetée figure 8 par un certain nombre de plans contenant la normale KN, on obtiendra des sections dont le centre de courbure seront sar la partie BN de la normale, tandis que pour d'autres directions du plan coupant , les centres de courbure seront situés sur BK.

II en serait de même pour les lignes de courbures que Ton obtiendrait en coupant, par des plans normaux, la partie de surface annulaire engendrée par le demi-^cercle CC' (fig. 23).

Dans car cas, les rayons de courbure de' la surface n'ont plus pour limites un rayon maximum et un rayon minimum; mais, tous ces rayons forment deux. séries, comprise la pre* mière entre un minimum positif et Vinfini positifs et la seconde entre IHnfini négatif et un minimum négatif.

i70. Pour mieux faire comprendre ce que nous venons de dire, étudions d'abord ce qui a lieu dans les lignes courbes, et prenons pour exemple l'ellipse qui est représentée sur la figure 21 .

Il est évident que tous les rayons de courbure tangents à la développée IS' seront compris entre le rayon minimum lA et le rayon maximum S'B , et lorsqu'après avoir dépassé le point B de l'arc AB la courbure devient plus sensible, la développée correspondante devient S'i' ; le point de rebroussement S' est le centre de courbure correspondant au point B, et les rayons de courbures diminuent de nouveau jusqu'au point 1' au delà duquel ils recommenceront à augmenter, et ainsi de suite.

17i. Ainsi, toutes les fois que le rayon de courbure deviendra un minimum lA, l'A', ou un maximum S'B, SB', la développée aura un point de rebroussernent.

Sur les figures 21 et 22, les centres de courbure sont toujours situés du même côté de la courbe , c'est-à-dire que si Ton parcourait cette ligne en suivant la direction indiquée par la flèche , la concavité de la courbe, et par conséquent les centres de courbures seraient toujours situés à gauche du chemin parcouru.

On dit alors que la courbe dont il s^agit est comtiDe.

172. Lorsque la courbe n'est pas convexe, ou en d'autres termes lorsqu'elle a un point d'inflexion , comme on le voit par l'exemple représenté (/Sy. 25), les choses se passent d'une manière entièrement difiérente.

En eff'et , si nous parcourons la courbe en suivant la direction indiquée par la flèche , et si nous considérons comme positifs, les rayons de courbure correspondants aux différents pointsi de l'arc NCA, il est évident qu'à partir du minimum possitif Cl , les rayons de courbure augmentent toujours jusqu'à l'infini positif, que nous compterons dans la direction de AX ; puis le rayon de courbure se renverse brusquement et passe sans intermédiaire de Tinfini positif, à Tinfini négatif AX', pour diminuer ensuite jusqu'au minimum négatif Ci'.

173. Ainsi dans une courbe convexe {fig. 22) , le rayon de courbure peut passer par tous les états de grandeur, en augmentant môme jusqu'à l'infini , auquel il peut atteindre autant de fois que la courbure cessera d'exister, sans cesser d'être positif, ou ce qui est la même chose sans passer d'un côté à l'autre de la courbe, tandis que dans une courbe non convexe (/Ig. 25) , le rayon de cout)»ure passe sans transi-».

i34 SURFACES DE RÉVOLUTION. FL. Ig,

tioD de rinfini positif à Tinfini négatif, toutes les fois que le point correspondant de la courbe est un point d'inflexion Â.

174. Ce que nous Tenons de dire pour les différents points d^une courbe doit s'entendre également pour un point qui appartiendrait à plusieurs courbes différentes.

Ainsi , lorsqu'on coupe une surface par une suite de plans P Pi P, contenant une normale commune, tous les rayons de courbure coïncident avec cette normale (/Sgr. 5).

Mais il est évident que , si toutes les lignes de section ont leur concavité tournée du même côté de la normale , tous les rayons seront de même signe et la surface sera convexe. Et si toutes les sections n'ont pas leur concavité tournée du même côté de la normale : il y aura des rayons de courbure positifs , tandis que d'autres seront négatifs , et la surface ne sera pas convexe -, c'est ce qui arrive pour un grand nombre de surfaces.

Ainsi , par exemple , si l'on coupe la surface représentée sur la figure 8, par le plan méridien qui contient le point B, la ligne de section IBF aura sa concavité tournée en dehors de la surface principale, et le rayon ^de courbure correspondant sera BN ; tandis que si la même surface était coupée au même point B par un plan P perpendiculaire au méridien AtF, on obtiendrait évidemment une section dont la con-* cavité serait tournée du côté de Taxe, et Ton sait dans ce cas que le rayon du cercle osculateur serait égal à la partie BK de la normale.

Qr, il est évident que si Ton fait tourner le plan P autour de la normale NK, la courbe de section dont la concavité est actuellement tournée du côté de Taxe, perdra peu à peu de sa courbure dans le voisinage du point B; puis, il viendra un moment où la courbure dans le voisinage de ce point se manifestera en sens contraire , c'est-à-dire que la concavité se tournera vers Textérieur de la surface, et la courbure dimi»

nuant graduellement , finira par se confondre avec celle du cercle QH , qui est osculateur de la courbe méridienne au point B.

175. Pour mieux faire comprendre ces variations de cour* bure, j'ai projeté {^g. 23) les différentes courbes qui résulteraient de la section de la surface annulaire, par les diverses positions d'un plan que l'on ferait tourner autour de la normale ON , perpendiculaire au plan vertical diB projection. Si nous supposons que le plan coupant prend les positions indiquées successivement de 1 à 9, la première section sera projetée sur le plan horizontal, par la droite NN , tandis que la neuvième se composera du plus grand et du plus petit parallèle de la surface.

Les parties vues des différentes courbes de sections sont tracées en lignes pleines , et les parties cachées de ces mêmes courbes sont désignées par des points ronds.

Pour éviter la confusion, j*ai placé une teinte de points sur chacune des sections par les plans 3 et 6.

176. La première de ces deux sections est très-remarquable, parce que pour cette ligne , le rayon de courbure au point U est infini, de sorte que pour ce point, le cercle osculateur est remplacé par la tangente TT, avec laquelle la courbe se confond dans le voisinage du point U.

Nous verrons plus tard comment on peut déterminer la position du plan N'-3.

177. Pour les sections par les plans compris entre N'-l et N'-3, la concavité de la courbe au point U est tournée vers le point N, tandis que pour les sections par les plans compris entre N'-3 et N -9, la courbure au point U tourne sa concavité du côté de Taxe, ainsi qu'on peut le voir par la figure 24, qui représente la section par le plan N -4.

136 SURFACES DE RÉVOLUTION. PL. i^.

178. On pourra remarquer encore que la section par le plan M'-5 se compose de deux circonférences , qui ont pour diamètre la somme UU + UN des diamètres du cercle de gorge et du cercle C, méridien de la surface.

Cette section est projetée sur la figure par deux ellipses qui se coupent dans le plan AA du méridien principal.

179. surfaces oacnlatrioM. Nous avons dit, aux n*'*139 et 140, qu'il existait toujours une' infinité de courbes osculatrices en un point quelconque d'une courbe donnée, et nous avons reconnu que le cercle avait sur toutes ces courbes ravantage d'exprimer la courbure dans le voisinage du point d'osculation.

Or, il semblerait assez naturel de rechercher si la sphère ne pourrait pas remplir, à Tégard des surfaces courbes , la même fonction que le cercle à l'égard des lignes : mais , on reconnattra de suite que la sphère ne peut pas satisfaire à la condition que nous venons d'énoncer, parce que sa courbure est uniforme autour de chacun de ses points, ce qui n'a pas lieu pour un point pris à volonté sur une surface courbe quelconque.

Il est vrai, que si au point B de la figure 8, on conçoit un plan P| tangent à la surface, toute sphère D qui aura son centre sur la normale BN ou sur son prolongement BK, et qui toucherait le plan tangent au point B, sera également tangente à la surface ABË. Mais, je le répète, il n'y aura pas là osculation , parce que la courbuie de la surface autour du point B n'est pas la même dans toutes les directions.

180. Dans les sur&ces de révolutions qui se terminent par une espèce de calotte, comme celle qui a lieu au point A de la même figure, il existe une sphère osculatrice G qui a son centre sur Taxe de la surface , et dont le rayon est égal

à celai du cercle osculateur de Tare jsf; mais cela n'est qu'une exception qui n'a lieu qu'au point A , et qui provient de xe qu'en ce point, la section méridienne fait un angle droit avec Taxe de la surface; et Ton conçoit que pour tout autre point, la sphère ne conviendra plus.

Cherchons donc , après la sphère , quelles sont les surfaces qui pourraient satisfaire aux conditions demandées.

181. On donne le nom de surfaces du second degré à celles dont la section par un plax^est toujours une courbe du second degré.

On sait qu'il n'existe que cinq espèces de surfaces du second degré , savoir :

1* mmm LelHpsoîde ; 3* MMB Lhyperbol&ide à une nappe ; 3"* MHi Lhype%boldide à deux nappes ; 4^ ^am Le paraboloîde elliptique ; S* ^BM Le paraboloîde hyperbolique.

182. Les deux premières de ces cinq surfaces conviennent parfaitement pour le but que nous nous proposons ici.

En effet, concevons (fig. 5) un ellipsoïde dont les trois axes ou diamètres pINncipaux seraient 20V=2a; 20U=2fr-, 20M=2c.

Ce dernier axe aboutissant au point M, par lequel on peut toujours concevoir deux droites tangentes, l'une à l'ellipse MV et l'autre à l'ellipse MU, situés dans les plans P et P, perpehdiculaires l'un à l'autre.