Il résulte de ce que nous avons dit au numéro

que le rayon de courbure au point M de l'ellipse MV serait —,

tandis que le rayon de courbure au même point de l'ellipse MU serait — ^ or , en exprimant par r le rayon de courbure dé la

438 SURFACES DE RÉVOLUTION. PL, là.

section que l'on obtient en coupant la surface courbe S par le plan P et par r' le rayon de courbure de la section par le plan P,, il faudra, si l'on veut que Tellipsoïde et la surface S aient les mêmes rayom de courbure principaux^ que Ton ait les deux équations

— =r et — =r , c e

Mais ou sait que lorsqu'un ellipsoide et une surface courbe quelconque ont pour un point commun M les mêmes rayons de courbure principaux , toutes les lignes de courbure de la première surface sont osculatriees des lignes correspondantes de Vautre. Il s'ensuit, qu'en un point quelconque M d'une surface courbe, on peut toujours obtenir un ellipsoïde oseulateur.

De plus , les deux équations énoncées plus haut contenant trois inconnues a, 6, c, la question oeste indéterminée; de sorte qu'il existe une infinité d'ellipsoïdes qui satisfont aux conditions du problème.

Or, puisque Ton peut disposer à volonté dé Tune des trois inconnues a, 6, c, on pourra faire c=a, et, dans ce cas, au lieu d'un ellipsoïde à trois axes, on aura {fig. 7] un ellipsoïde de révolution dont l'axe a , rayon du plus granc^ parallèle , sera le rayon de courbure de la section de la surface par le plan P

(fig. 5), tandis que Vane b = \/ar' sera une moyenne

proportionnelle entre le premier rayon r = a et le rayon r' de la section par le plan P, perpendiculaire au premier.

H ne faut pas oublier que les plans P et P, sont perpendiculaires entre eux et doivent contenir les sections principales, c'est-à-dire les sections de plus grande et de plus petite courbure au point M (168).

184. Si l'on veut appliquer les principes précédents à une surface de révolution, il faut admettre ce qui est démontré en

algèbre, que dans toute surf^e de cette espèce, les rayoi^s de courbyre principaux en uii point quelconque, sont :

V Le rayon qui exprime la courbure du méridien à V endroit où est situé le point donné. '

2^ La partie de normale comprise entre ce même point et l'axe de la surface.

185. Ainsi, pour l'ellipsoïde de révolution oscillateur au point 91m' de la figure 8, la section par le méridien Xm^B sera le cercle osculateur indiqué sur la projection verticale par une teinte de points, et Taxe b de Tellipsoïde s'obtiendra en construisant ou, moyenne proportionnelle entre le premier rayon dé courbure oe=o*e' =om' =r =s a et le second rayon de courbure ood" = m"x" = mV = m'x = r' qui est égal , comme nous l'avons dit plus haut, à la partie xm' de la normale du point w' (184).