Si la surface donnée n^était point convexe ou, en
d*autres termes , s^i les rayons de courbure correspondant au
point donné étaient de signes différents, on ne pourrait
plus obtenir un ellipsoïde pour surface osculatrice. Mais on
pourrait employer avec avantage un hyperboloïde réglé à
trois axes ou plus simplement encore en faisant cz=z a^
comme précédemment, un hyperboloïde de révolution. Dans
a* ce cas, le premier rayon de courbure r = — serait r=:a et
la
le deuxième rayon r' = deviendrait 'successivement
— 1^=- puis 6*= — ar'et b = [/ — ar', ce qui donne j/ôP
pour la valeur absolue du demi-axe imaginaire ou non transverse de rhyperbolpïde demandé.
Ainsi, pour l'hyperboloïde de révolution osculateur, au point nn' de la figure 8, la section par le plan méridien AnV sera le
cercle de gorge ou collier de rayon dn! indiqué sur la figure par une teinte de points, et Taxe imaginaire ou non transverse ct«, s'obtiendra en construisant n'"v, moyenne proportionnelle entre le premier rayon de courbure cn'"=c'tt"=c'tt'=r=a et le second rayon de courbure n"'$"^n"s'^n'$ égal à la partie fCs de la normale du point n' (184). ^
187. Théorème. On sait que la courbe suivant laquelle un q/lindre enveloppe une surface du second degré est toujours plane.
D'après cela, supposons (fig»ii) que l'ellipsoïde £ soit enveloppé par une surface cylindrique, dont deux génératrices AB, CD, seraient parallèles au diamètre MN de la section par le plan ABCDqui contient les deux points de tangenceK et I, le diamètre Kl sera le conjugué de MN.
Or, si l'on fait mouvoir le plan ABCD parallèlement à lui-^ même) on obtiendra une suite de sections elliptiques semblables et parallèles à Tellipse MKNI ; le diamètre MN parallèle au cylindre enveloppant sera toujours le conjugué du dia-^ mètre Kl qui s'appuie sur Tellipse O'KSI, et lorsque le pian mobile ABCD sera devenu tangent au point 0', la droite K( sera remplacée par K'I' tangente à la courbe O'KSI , le diamètre MN deviendra M'iN', et sera Tune des génératrices du cylindre enveloppaot.
188. Ce que nous venons de dire pour un ellipsoïde, est également vrai pour une surface quelconque du deuxième degré. Ainsi, par exemple, si nous concevons Thyperboloîde à une nappe H de la figure 29 enveloppé par une surface cylindrique dont M'N' serait une génératrice, et si par le point G' de la courbe de contact ZR, on conçoit une tangente K'i', ces deux lignes seront toujours parallèles à deux dianièlres conjugués MN et Kl de la section hyperbolique que Ton obtien-
PL. 15^ TORE. iil
drait en coupant la surface par un plan KNIM parallèle au plan tangent qui contient les deux droites M'N' et K'i'.
189. En général, <i par un point de la courbe plane sutvant laquelle une surface quelconque du deuxième iègrè^ e$t touchée par une surface cylindrique^ on conçoit la génératrice du cylindre enveloppant, et la tangente à la courbe de contact^ ces deux lignes détermineront un plan tangent^ et seront toujours parallèles à deu»diamitres conjugués de la section que ton obtiendrait^ en coupant la surface par un plan parallèle au plan tangent.
i 90. Tanffentes anz lignes de séparation sur la surface du tore. Le théorème qui précède va nous fournir le moyen de construire une tangente en un point quelconque de la ligne suivant laquelle une surface de révolution est touchée par une surface cylindrique dont la direction est connue.
Supposons, par exemple, que nous voulons obtenir au point mm' des figures 14 et 15 une tangente à la courbe suivant laquelle le tore est touché extérieurement par le cylindre des rayons lumineux , il est évident que le point de tangence étant connu, il ne reste plus qu'à déterminer la direction de la
tangente.
Pour y parvenir, on pourra opérer de la manière suivante :
1® MM» On construira Tellipsoîde de révolution osculateur du tore au point donné mm' (185).
2^ fl^On fera dans cet ellipsoïde une section parallèle au plan qui touche les deux surfaces en leur point d'osculation mm'.
3*^ MMB On construira celui des diamètres de la section obtenue, qui est parallèle au rayon lunriineux, et le conjugué de ce diamètre sera parallèle à la tangente demandée (189).
4^ ^BB 11 sera facile alors de construire la tangente , puisque Ton connaîtra sa direction , et le point de tangence.
\n SURFACES DE RÉVOLUTION. PL. ig.
Il ne reste plus qu'à expliquer les opérations graphiques nécessaires pour obtenir le résultat.
191. Êpnre. 1^ première chose à faire pour exécuter une épure coniposée, est toujours de rapporter les données aux plans de projections les plus favorables.
C'est pourquoi dans le cas actuel , nous ramènerons d'abord le point donné de mm! en m"m"' dans le plan du méridien principal.
Les deux projections du point mm* seront alors m" et m'", et la trace verticale du plan tangent P sera parallèle à la droite S"L', qui est la projection du rayon lumineux SL, S'L' sur le méridien Lm rabattu en Lm" (115).
Or, le tore étant une surface de révolution , nous savons (1S4) qu'au point m"m"' et par conséquent au point mm* les deux rayons de courbure principaux sont : 1^ le rayon oW de la section méridienne^ 2® la partie m'"x de la normale, comprise entre Taxe de la surface et le point donné mm* rabattu en m"\ de sorte queTellipsoïde osculateur aurait pour projection horizontale une ellipse dont le demi-axe a serait égal au rayon de courbure r=o'm"' et le demi-axe b serait une moyenne proportionnelle entre les deux rayons de courbure oW" et m'^x.
Pour construire cette moyenne proportionnelle, on a fait tourner la droite m"'x autour . de l'horizontale projetante du point o& jusqu'à ce qu'elle soit venue se placer dans la position verticale m*V : puis , l'arc de cercle afx" étant décrit du point m^^ comme centre avec le rayon m* V égal à m"'x on a obtenu sur la figure 15, oaî'"=m'V=m*V égal au rayon de courbure m"'x. Puis la droite oe étant égale au rayon o'm"' on a décrit la demi-circonférence a/''Ue, de sorte que la droite oU moyenne proportionnelle entre les deux segments oe» oaf" du diamètre erc''', est alors le demi axe 6 de Tellipsoîde osculateur au point m"m"\ et par conséquent au point mm' (185).
Pour éviter la confusion, on n'a pas construit la projection
horizontale de cet ellipsoïde, parce que cette projection n'est pas nécessaire.
Il suffit' évîdeniment de construire la projection horizontale de réllipse que Ton obtient en coupant l'ellipsoïde osculateur par le plan P, parallèle au plan tangent P.
En effets cette courbe de section étant obtenue, il ne reste plus; qu*à construire celui de ses diamètres qui est parallèle au rayon lumineux, et le conjugué de ce diamètre sera parallèle à la tangente demandée (189).
Mais on doit se rappeler que le point d'osculation niW n'est pas à la place qu'il doit occuper dans l'espace, lorsque le problème sera complètement résolu.
Or, quand nous avons fait tourner le point donné mm! pour ramener en m'W" dans le plan du méridien principal, le rayon lumineux SL, SV est resté en place.
Il faut donc faiVe touï*ner l'ellipsoïde osculateur autour de Taxe de la surface ddnnée jusqu'à ce que- le point m'W" soit venu reprendre sa place primitive mm\ ou bien faire tourner le rayon lumineux SL, S'L' jusqu'à ce qu'il soit placé par i*apportau méridien qui contient le point m"m"\ comme il était placé primitivement par rapport au méridien qui contient le point donné mm\
Mais le chemin que le point mm' a parcouru pour venir se placer en m"m"' dans le méridien principal, est exprimé par l'arc de cercle mm" de sorte que si l'on porte cet arc de A en A" sur la même circonférence, on aura évidemment la droite A"L pour nouvelle projection horizontale du rayon lumineux.
Le diamètre BD étant alors mené par le centre de Tellipse oU parallèlement à la nouvelle position à"L du rayon de lumière, on construira la coide EF parallèle au diamètre BD et la corde FG supplémentaire EF et par conséquent parallèle au conjugué du diamètre BD sera parallèle à la direction que doit avoir la tangente demandée lorsque le point donné mm' est situé en m"m'" (189).
144 SURFACES DE RÉVOLUTION. PL. fg.
Pour obtenir la position véritable de la tangente demandée on tracera par le point L une droite LK parallèle à la direction GF obtenue précédemment ; puis en faisant Tare KK'' égal à Tac ni^m^ on aura fait revenir le point K d'une quantité égale à celle que doit parcourir le point osculateur m'W" pour reprendre la place qu'il doit occuper dans Tespace, de sorte que la droite LK" sera parallèle à la projection horizontale de la tangente demandée que Ton obtiendra en traçant par le point m la droite TT parallèle à K"L.
Pour construire la projection verticale 1 WT' on remarquera que la droite LK parallèle à la tangente qui passerait par le point mW et par conséquent parallèle au plan tangent P (18i) aura pour projection verticale L'A"' parallèle à la trace verticale du plan tangent P qui est actuellement perpendiculaire au plan vertical de projection.
D'après cela, on projettera le point K en K', puis en faisant revenir ce point en K"K'" on obtiendra L'K'" pour la nouvelle projection verticale delà droite LK, L'K'.
Or. cette ligne ayant tourné d'une quantité égale au ehe-* min parcouru par le point de tangence mwl^ elle sera nécessairement parallèle à la position que la tangente doit occuper dans l'espace lorsque le point m V sera revenu à sa place mni et Ton obtiendra la projection verticale de la tangente qui passe par ce point, en traçant T'T' parallèle à L'K'
192. Pour obtenir la tangente en un point quelconque lai de la ligne de séparation intérieure, on remarquera qu'en ce point , les deux rayons de courbure principaux oV et n'"â? (184) sont de signes contraires.
C'est pourquoi il faudra employer pour surface osculatrice un byperboloîde de révolution à une nappe (i86); mais, à cette différence près, les opérations seront absolument les mêmes. Ainsi :
PZ IS. • TORE, U5
\o HiMM On construira l'hyperboloïde de révolution osculateur de la surface au point donné nn! (186).
2^ HMv On fera dans cet hyperboloïde une section parallèle au plan qui touche les deux surfaces en leur point d'os* culatîon .
S"" «■ On construira celui des diamètres de la section obtenue, qui sera parallèle au rayon lumineux, et le conjugué de ce diamètre sera parallèle à la tangente demandée (189).
193. Épure. Le point d'osculation nn' étant amené comme précédemment en nV dans le plan du méridien principal, on concevra l'hyperboloïde de révolution dont le cercle de gorge serait égal au cerôle générateur C de la surface annulaire donnée.
L'axe imaginaire ou non transverse de cet hyperbole doit être la moyenne proportionnelle entre les deux parties oW" et n'"x de la normale (184).
Pour construire cette moyenne proportionnelle, on a successivement amené la partie n'"x de la normale dans les positions n'V = n*V^=:oa5^de sorte que la demi-«irconférence x^Xe décrite sur le diamètre x^e ^ déterminé la. droite oV moyenne proportionnelle entre oa?^ et oe ou ce qui est la même chose, entre n"'x et n'V qui sont les deux rayons de courbure principaux au point nV et par conséquent au point nn' de la surface donnée. La droite oV sera donc Taxe non transverse ou imaginaire de l'hyperboloïde osculateur au point n"n'". et Ton pourrait facilement construire les asymptotes de la projection horizontale de cette surface en ramenant la droite oV sur les deux droites ee' et gg'.
Mais cette partie dé l'opération sera encore inutile, parce quMi suffira, comme précédemment, de construire la section de J' hyperboloïde osculateur par le plan P^ parallèle au plan P, qui touche la surface en nV" (189). *
Or, Taie imaginaire do ceita se^slion inclinée étant le même que l'axe correspondant de la aectioD borîiontale, on ramè« nera la quantité oV trouvée précédemment sur les droites Gi/, Ev" et cette construction déterminera les asymptotes oo', w>" de la section demandée.
On construira le diamètre BD parallèle au rayon lumineux SL devenu A"L et la corde Hl parallèle au conjugué de BD^ déterminera la direction de la tangente demandée (189).
194. On remarquera que pour construire la corde Hl on n'a pas besoin de Thyperbole que je n'ai tracée ici que pour mieux faire comprendre Texplication du principe.
En effet, la corde Hl de Thyperbole sera parallèle au conjugué de BD, si le point D est le milieu de Hl.
Or, on sait que dans toute hyperbole , les parties HA et il , comprises entre la oourbe et s^^s asymptotes doivent être égales; d'où il résulte qu'il suffira de faire en sorte que le point D soit le milieu hi , ce qui revient à un problème connu de géométrie élémentaire. Ainsi , on tracera DQ parallèle à l'asymptote W, on fera Qt égal à oQ, et la droite Aï parallèle au conjugué de BD sera déterminée- La droite LR parallèle à Ai sera par conséquent parallèle à la position qu'aurait priée la tangente demandée si cette droite avait été entraînée par le ppijat wn! lorsqu'on a fait tourner ce point autour de raye poiiir Tamener en nV" dans le méridien principal Ui".
Pour avoir la véritable position de la tangente au point un', on devra opérer comme nous l'avons &it pour la tangente au point mm\ Ainsi : la droite LR étant parallèle k la droite M, on fera l'arc RR" égal à rf'\ ce qui déteyrminera la quantité angulaire RLR" ^ rLf'^^^ ft"Ln, dont le méridien Ln" doit tourner pour revenir à sa position primitive Ln; la droite LR parallèle à la tangente du point n*' deviendra LR'\ ce qui
permettra de tracer la droite YY tangente au point n de la courbe de séparation intérieure.
Pour obtenir la projection verticale de cette ligne , on projetera le point R^' en R'" sur Tare de cercle horizontal décrit par le point R,R', et l'on obtiendra la projection verticale R'"L' de la droite menée par le point LL', parallèlement à la tangente demandée.
De sorte que la droite YY parallèle à R'"L' sera la projection verticale de la tangente, au point nv! de la courbe de séparation intérieure.
195. Rayons de lainière tan^rents à lali|rne de séparationTintérienre. Nous avons dit que ces rayons, au nombre de quatre^ déterminent les quatre points de rebroussementde Fombre portée sur le plan horizontal de projection {fig, 78, pM3).
Ce sont encore les mêmes rayons qui déterminent les points de rebroussement des courbes N et M {fig. 14 et 15 de la planche actuelle).
Pour faire comprendre en quoi le problème qui va nous occuper diffère de celui que nous venons de résoudre , nous rappellerons. qu'alors, on connaissait le point de tan^ence, et qu'il s'agissait de trouver la direction de la tangente ; tandis que maintenant on connaît la direction de la tangente, qui doit être parallèle au rayon lumineux (116) , de sorte qu'il ne reste plus qu'à déterminer le point de tangence.
Pour y parvenir, on remarquera que la condition à laquelle il faut satisfaire, consistant surtout dans la coïncidence qui doit exister entre la tangente et le rayon lumineux, on peut chercher quelle est la tangente qui cdincide avec le rayon lumineux^ ou bien :
Quel est le rayon lumineux qui coïncide avec la tangente.
C'est dans ces derniers termes que nous poserons la question.
148 SIKFACKS UK UHlVOLUTION. PL. i}i.
196. Si en un point quelconque d'une surface courbe, on conçoit une seconde surface osculatrice de la première, il est évident que ces deux surfaces, ayant la mênne courbure dans le voisinage du point d'osculation, les deux lignes de séparations seront en ce point, osculatrices Tune de l'autre, et la question étant résolue pour l'une de ces deux surfaces, sera également résolue pour Tautre.
"Or, si la surface osculatrice est un ellipsoïde {fig, li) ou un hyperboloïde {fig. 29), nous savons que le rayon lumineux M'JN' et la tangente K'i' en un point quelconque de la ligne de séparation, sont toujours parallèles aux deux diamètres conjugués MN et Kl de la section faite dans la surface osculatrice par un plan parallèle à celui* qui touche les deux surfaces en leur point d'osculation. Il s'ensuit, que l'angle formé par ces deux diamètres MN et Kl sera égal à Tangle que le rayon lumineux M'N' fait avec la tangente K'i' à la ligne de séparation. Mais, pour que ces deux lignes se confondent, il faut néces'sairement que Tangle qu'elles font entre elles soit réduit à zéro.
197. Or, on remarquera que cela ne peut jamais avoir lieu pour un point de la ligne de séparation extérieur, parce que la surface osculatrice en un quelconque de ces points, devant être un ellipsoïde, les diamètres conjugués MN, Kl de la section de cette surface par un plan parallèle au plan tangent, ne peuvent jamais faire entre eux un angle nul {fig, il et 26), taudis que pour les points de la ligne de séparation intérieure, la surface osculatrice étant un hyperboloïde. et la section parallèle au plan tangent étant une hyperbole (fig, 27 et£9), on sait que les deux diamètres conjugués MN, Kl se confondront entre eux lorsqu'ils coïncideront avec l'une des deux asymptotes.
En effet, l'angle des deux diamètres MiN et Kl {fig, 27) est toujours égal à Tangle VNS que le diamètre MN fait avec la tangente au point N; or, on sait que l'angle VNS diminue lorsque le point N s'éloigne du sommet de la courbe; il est donc
PL. il>. TORE. I4§
évident, qu'au moment où le point N sera éloigné jusqu'à rinfini, le diamètre MN et ta tangente VU devront coïncider avec l'asymptote OH, de sorte que l'angle VNS étant réduit à zéro, le second diamètre Kl parallèle à la tangente VU se confondra avec MN et, par conséquent, avec Fasymptote OH de la courbe.
Ainsi, pour que le rayon lumineux soit tangent à la ligne de séparation ou, ce qui revient au même, pour que le rayon M'N' {pg. 29) coïncide avec la tangente K'i', il faut que les angles K'O'lN' et KON soient nuls^ et par conséquent, il faut que les deux diamètres conjugués MN et Kl coïncident avec Tune des asymptotes de la section hyperboloïque que Ton obtient en coupant Thyperboloïde osculateur par un plan parallèle à celui qui touche la surface donnée au point O'.
198. Il est évident que cette condition ne suffit pas pour résoudre le problème, car le point de tangence 0' n'étant pas connu on ne peut pas construire immédiatement Thyperbaloîde osculateur.
Dans ce cas, on pourra procéder en sens inverse et par voie d'élimination*, ainsi, on construira les hyperboloïdes osculateur^ pour un certain nombre de points de la courbe de séparation ZR (fig. 29); puis on choisira parmi ces points celui pour lequel le rayon lumineux M'N' et la tangente K'I' se confondront, ou ce qui est la même chose seront parallèles à Tune des asymptotes de la section hyperbolique parallèle au plan tangent mené par le point osculateur.
La question proposée pouVra donc se décomposer de la manière suivante (/îg. 14 et 15) :
1*' «MB On supposera que tous les points de la ligne de séparation intérieure, tournant autour de Taxe, sont venVis successivement se placer sur la circonférence du cercle méridien C' qui est la courbe génératrice de U surface de révolution donnée.
^ HB On concevra un hyperboloîde osculateur pour chacun de ces points.
3*^ «Hai On coupera chacun de ces hyperboloïdes osculaieurs par un plan parallèle au plan tangent mené par le point d'osculation correspondant.
4^ ^ÊmÊ Les asymptotes de ces diverses hyperboles détermineront pour chaque point d'osctilah'on, quelle doit être la direction de la lumière pour qu'en ce point le rayon lumineux coïncide avec la tangente à la courbe de séparation.
5^ ^iBi 11 ne restera plus qu'à choisir parmi ces divers rayons lumineux, celui qui sera parallèle à la direction de la lumière donnée.
199. Èpnre. Première opération. Il n'est pas nécessaire et il serait évidemment impossible de construire les hyperboloïdes osculaieurs pour chacun des points de la courbe de séparation. Il suffira de fafire l'opération pour trois ou quatre de ces points que nous supposons ramenés sur la circonférence du cercle méridien C'; le point 2 étant le plus élevé de la ligne de séparation, le point demandé ne doit pas être cherché au-dessus.
Les deux parties c -2" et ^"-q^ de la normale c'q' seront les rayons principaux de courbure de la surface donnée, et de rhyperboloïde osculateur au point 2 ramené en 2".
La normale c'q' étant rabattue en c^q" et projetée sur le plan horizontal en cq"'^ les deux droites c-2'" et 2'"-qf'" seront égales aux rayons de courbure principaux (/-2" et 2"-^' de la surface et de son hyperboloîde osculateut au point 2".
La demi-circonférence c-14-qf'" étant décrite sur cç"' comme diamètre, la droite 2'"-14, moyenne proportionnelle entre les deux lignes c-2'" et 2'"-9"', sera l'axe imaginaire de Thyperboloïde osculateur du point 2'\ on ne construira pas la projection horizontale de cet hyperboloîde.
La droita 2"'-14, ramenée en is-14' sur la perpendiculaire
PL. 15* TORE; loi
abaissée da point 2' de la projediofi verticale, sera l'axe imaginaire de la section hyperbolique ^ue Ton obtiendrait en coupant rhyperboloïde osculatêor du point S" par le plan P|^ parallèle au plan tangent du point ^\
La droite (h\i!i asymptote de cette hyperbole, sera par eon^ sëqnent la direction que devrait prendre le rayon lumioeusi. pour qu'au point 3" de la surface il soit tangent à la ligne ëf séparation intérieure correspondante*
filn opérant de la môme manière, cm obtiendra Tasymptote c-15' pour la direction du rayon luminetsxquî au point 12 de la surface serait tangent à la ligne de séparation correspondante^
L'asymptote e*-16' sera également la direction du rayon luminettx qui au point i 3 serait tangent à la ligne de sépara*» tion correspondante, ainsi de suite.
Les asymptotes e*Mt\ e^iS', cA& et toutes odies que l'on pourrait obtenir par la même méthode y formeront une surface conique qui aura pour sommet le point ce*.
Chacune des génératrices de ce cdne exprime la direction d'un rayon lumineux qui pour un point de la circonférence C^ serait tangent à la ligne de séparatioù correspondante.
Il ne reste donc plus qu'à choisir parmi ces rayons celui qui serait parallèle à la lumière donnée.
Or, cette dernière condition, dépendant des deux projections du rayon lumineux, pourra elle-même être décomposée de la manière suivante :
V MHM Nous chercherons parmi les rayons obtenus précédemment, celui dont rinclinaison, par rapport au plan ' horizontal, sera égale à celle du rayon donnée SL S'L'.
2" «■■ Puis,,nous ferons tourner ce rayon jusqu'à ce qu'i I soit parallèle au méridien SL.
Pour résoudre la première de ces deux questions, nous construirons le rayon c6, c^h' parallèle au rayon donné SL, S'L', puis faisant tourner la droite cfr, c%' autour de la verticale du
point ed nous obtiendrons un cône circulaire dont ]a génératrice c6, c'fr' sera inclinée sur le plan horizontal comme le rayon de lumière donné SL, S'L'.
Or, ce dernier cône et celui qui contient les i&ymptotes c*14',* 0-15', c-16', etc., ayant le même sommet ed se couperont suivant une droite c-17, c'-47' qui sera inclinée sur le plan horizontal comme le rayon de lumière donné, et qui de plus sera parallèle au rayon lumineux qui toucherait la ligne de séparation correspondante en un point rabattu sur la circonférence du cercle méridien C
200. Pour déterminer la droite c-17, c'-17' on pourrait chercher le point suivant lequel les traces des deux cônes se rencontreraient, mais on peut aussi opérer de la manière suivante :
On coupera les deux cônes par le cylindre vertical qui a pour trace Tare de cercle 66".
Les points suivant lesquels la surface de ce cylindre auxiliaire sera percée par les asymptotes c-14', c-13', et c-16', donneront la courbe 14'"-15'"-16"' dont Tintersection 17' avec le cercle horizontal 6'-6*' déterminera la droite c-17, c'-i7' suivant laquelle les deux cônes se coupent. «
La tangente 18-18, i8'-18' parallèle à la droite c-17, c'-17' sera le rayon lumineux qui jouira de la double condition d*étre incliné sur le plan horizontal comme le rayon de lumière donné SL, S'L' et d'être tangent suivant le point 3', 3' à la ligne de séparation correspondante. Le point 3' est déterminé (fig. M) par le rayon c'-3' perpendiculaire sur c-17'.
Il ne reste donc plus pour satisfaire complètement aux conditions du problème, qu'à faire tourner le rayon 18-18, ISMS'" que nous venons d'obtenir, jusqu'à ce qu'il soit parallèle au méridien qui contient le rayon donné SL, S'L'.
Pour résoudre cette dernière partie de la question, on tracera la droite Lo' perpendiculaire sur 18-18 et Ton décrira Tare
de cercle o'o^ puis la tangente 18^-18'' parallèle à SL sera la projection horizontale du rayon demandé.
Le point de tangence o' viendra se placer en o à l'extrémité du rayon Lo perpendiculaire à la tangente 18"-i8", et faisant 0-3 égal à o'-3' on obtiendra le point 3 pour la projection horizontale du point suivant lequel le rayon de lumière donné devient tangent à la ligne de séparation intérieure.
La projection verticale du point 3 sera déterminée par Tintersection de la perpendiculaire 3-3 avec la droite 3'-3 qui est la projection verticale de l'arc de cercle décrit par le point 3' lorsqu'on le ramène à sa place. Dans ce mouvement, le rayon i8'-18' devient parallèle à S'L'.
£n opérant de la même manière , on obtiendrait les trois autres points de tangence, mais la symétrie qui a lieu dans la disposition de ces points, permettra évidemment de les construire tous les quatre lorsqu'un seul d'entre eux sera déterminé.
201 . Le résultat précédent peut être facilement vérifié par le principe du n° 114 ; en effet, si par le point S de la figure 15, on abaisse une perpendiculaire sur le méridien L-3, on obtiendra le point $" qui, rabattu en s"' et projeté {fig. 14) sur la droit^horizontale 8'S". donnera s'^L' pour la projection du rayon lumineux SL, S'L' sur le plan méridien qui contient le point 3 et le point 7 obtenus précédemment; et si l'on a bien opéré, la droite «^''L' sera parallèle aux plans tangents 18''-18' etl9'-19'.
La symétrie dispensera de vérifier les points 1 et 5 , ce qui au surplus pourrait se faire de la même manière.
202. Nous avons dit aii n"^ 176, que parmi les sections que l'on obtient (^g, 23) en coupant la surface du tore par les plans N'-l, lS-2, N'-3, etc., qui contiennent la normale du
point NN', la section par le plan N'-3 jouissait de cette propriété singulière que son rayon de courbure au point U était infini.
Or, on peut déterminer exactement l'inclinaison du plan N -3 qui satisfait à cette condition. Pour y parvenir, on se rappellera d'abord qu'au point U de la surface annulaire, les deux rayonsile courbure principaux «ont :
\* wmm Le rayon DU du cercle méridien CC;
2" wmmm La partie OU de la normale comprise entre le point U et l'axe de la surface (184).
Par conséquent, si l'on décrit une demi*circonférenoe sur OD comme diamètre, la droite Ui? moyenne proportionnelle entre les deux rayons de courbure principaux UO et UD^ sera l'axe imaginaire ou non transverse de Thyperboloide de révolution osculateur au point U de^ la surface donnée : les droites. DH seront les asymptotes de la section méridienne hh de cette sur&ce, et les asymptotes N'H' de la projection verticale coïncideront avec les traces verticales des deux plans par lesquels il faut couper la surface annulaire donnée si l'on veut qu'au point U le rayon de courbure soit- infini.
En effet, si un hyperboloîde de révolution {^, 28 et 30) est coupé par les deux plans projetants des asymptotes de la section méridiene, les sections seront deux droites %e et tn»^ génératrices de la surface donnée.-
Par conséquent, les plans Mil' perpendiculaires au plaa vertical de projection (/ig. 23), couperont Thyperboloîde osculateur au point U de la surface donnée, suivant les deux génératrices droites ac, vu de cette surface et la courbure de la surface annulaire donnée étant la même au point U que celle de son hyperboloîde osculateur, il s'ensuit que les sections de la surface par les plans N -3 se confondront avec leur tangente TT et tt qui ne sont autre chose que les deux génératrices ac et vu, suivant lesquels les plans N'H' coupent l'hyperboloïde osculateur au point U de la surface donnée.
