PL. 22. PROJECTIONS OBLIQUES

La section méridienne étant donnée (/ïg. i03), on fera (/Sg. 104) une projection auxiliaire sur un plan perpendiculaire à Taxe de la surface.

L'épure étant disposée comme nous venons de le dire, voici quel sera l'ordre des opérations.

Projection,

245. La verticale sa^fig. 103, se projettera, fig. 107, par un point s", et sur Ufig. 104, par la droite s'-a' parallèle au pian de la projection 103.

En opérant comme nous avons fait au n® 114, on construira les deux courbes 1-2-3-4, 5-6-7-8, suivant lesquelles la surface proposée serait touchée par une suite de plans parallèles à la droite s-a, «'-a', et par conséquent perpendiculaires au plan horizontal de projection.

Ces t^ourbes seront les directrices des deux cylindres projetants verticaux qui touchent la surface extérieurement et dans le vide intérieur.

Les traces de ces cylindres formeront par conséquent le contour de la projection horizontale de la surface.

246. Pour construire ces traces , on abaissera des perpendiculaires de tous les points obtenus sur la projection 103, et Ton prendra (fig, 104) la distance de chacun de ces points au plan méridien mn , qui , étant parallèle à la projection 103, aura pour trace horizontale mV (fig, 107).

Ainsi pour obtenir x'\ on abaissera xx"^ et Ton fera x"u" (fig, 107) égal à x'u (fig, 104).

On opérera de même pour tous les autres points.

247. On remarquera sur la figure 107 quatre points de rebroussement z, r, t, v analogues à ceux que nous avons obtenus dans l'ombre portée par le tore sur la fig. 78 de la pi. 13.

Ces points ont lieu lorsque la verticale génératrice du cylindre projetant devient tangente à la courbe de contact (130^195).

248. Si on voulait obtenir la projection, sur tout autre plan, vertical ou incliné comme Ton voudrait dans l'espace, il est évident qu*il suffirait de recommencer l'opération précédente, et de construire sur les figures i03 et i04 les courbes suivant lesquelles la surface serait touchée par une suite de plans perpendiculaires au plan donné.

Ces courbes seraient, comme précédemment, les directrices des cylindres projetants , dont les intersections avec le plan proposé détermineraient le contour de la projection de la surface sur ce plan.

249. Le principe précédent est évidemment applicable à toutes les surfaces de révolutions ; mais, dans le cas particulier d'une surface annulaire , on peut obtenir très-promptement la projection oblique en opérant de la manière suivante.

On construira (fig. 106) l'ellipse résultant de la projection de la circonférence parcourue par le centre du cercle générateur de la surface , puis en prenant sur cette ellipse un certain nombre de points ^ssez rapprochés , on décrira de chacun de ces points comme centre , un cercle égal au cercle générateur ] la courbe tangente à toutes ces circonférences sera le contour de la projection demandée.

En effet , tous ces cercles pourront être considérés comme les projections d'une suite de sphères dont l'enveloppe sera la surface proposée.

250. La figure 105 est la projection oblique d'un cavet, et la figure 108 fait voir l'application que Ton peut faire des principes précédents au dessin des machines.

251. ombres portées. Supposons que les droites s-l^ s"4" ifig. 103 et 107 ) soient les deux projections d'un rayon de lumière : on construira la droite Ul' perpendiculaire sur mn et faisant i'-o' {fig. 104) égal à T-o" (fig, 107), on aura s'-t pour la projection du rayon de lumière sur la figure lOi.

Cela étant fait , on construira (114) {fig. 103 et 104) les deux courbes 9-10-1 1-1 2, 13-14-15-16, suivant lesquelles la surface annulaire serait touchée par une suite de plans parallèles au rayon 5-1, 8*'f'^ ces deux courbes, formant les lignes de séparation sur la surface , seront transportées sur la projection 107, en faisant pour chaque point l'ordonnée u" x" de la fig, 107, égale à l'ordonnée correspondante u' a;' de l&fig. 104.

Les courbes que l'on obtiendra seront les directrices de deux cylindres dont les traces formeront le contour de Tombre portée sur le plan horizontal par la surface proposée.

ÉTUDE d'ombres SUR DES CHàInES.

252. Dans les dessins de machines , on rencontre souvent roccasion de projeter des surfaces annulaires dans toutes sortes de positions. Ainsi, par exemple, supposons quç l'on veut tracer les ombres sur les différents anneaux d'une chaîne projetée sur Ibl fig. 4 de la planche 23.

253. id^ne de séparation. On remarquera d'abord que ces anneaux ne sont autre chose que des surfaces annulaires dont les axes, horizontaux, sont alternativement parallèles et perpendiculaires au plan vertical de projection. Il sera donc facile , par une disposition d'épuré convenable , de ramener la question actuelle au principe que nous avons exposé au n° 1 14 -, ainsi, il est évident que pour obtenir les lignes de séparation sur l'un des anneaux qui sont désignés par les lettres

A, A', A", il suffira d'exécuter sur les projections A et A' toutes les opérations qui, sur la planche 13, se rapportent aux fig. 77 et 78, eu supposant seulement que l'épure aurait été renversée : c'est-à-dire que la projection A, fig. 7, de la planche actuelle , remplacera la projection verticale fig. 77 de la planche 13, tandis ^ue la projection horizontale fig. 78 de cette même planche serait remplacée par l'une des deux projections A' ou A'' de la planche actuelle.

Gela étant admis , et les projections SO, S'O' de la lumière étant données , on obtiendra sur Tanneau AA' les lignes de séparation extérieure et intérieure » par la méthode exposée au n'^ 114, ou par Tune des autres méthodes indiquées dans le Traité de géométrie descriptive.

Ces deux lignes sont partout désignées sur l'épure par les n'* 1 et 2.

254. Pour déterminer les lignes de séparation sur les anneaux désignés sur la fig. i par B'et B^', on fera usage de leurs projections B et B'", fig. 7 et 6.

On peut supposer que cette dernière figure est la projection dé l'anneau BB' sur un plan perpendiculaire à la ligne AZ, et que l'on a ensuite rabattu ce plan autour de Thorizontale projetante de l'un de ses points , jusqu'à ce qu'il soit venu prendre la position indiquée fig. 6.

En faisant u"'S"' de la fig. 6 égal à u'S' de la fig. 4 on aura S'"C'" pour la projection du rayon lumineux qui passerait par le centre C de l'anneau B', fig. 4.

Cela étant fait, il sera facile de construire sur les fig.Qeil les lignes de séparation de l'anneau BB'".

Ces deux lignes sont désignées sur l'épure par les n*^' 3 et 4.

255. ombres portées. Les lignes de séparation obtenues sur les surfaces AA'A" et BB'B", seront les directrices des cylindres formés par les rayona lumineux qui s'appuient sur les différents anneaux de la chaîne ; et les traces de ces surfaces

cylindriques détermineront toutes les ombres portées sur les plans de projections.

Les quatre points de rebroussement qui existent sur les courbes d'ombres portées par les lignes de séparation intérieures, sont trop peu sensibles, dans l'exemple actuel, pour <]u'il soit nécessaire de s'en occuper (p{. 14, /Sg. 2).

<2uand on aura déterminé les traces des cylindres formés par les rayons lumineux qui enveloppent les anneaux, on indiquera par des lignes pleines les parties de ces courbes qui forment le contour réel des ombres portées , et Ton conservera le reste en lignes ponctuées.

256. Il semble , au premier abord , que Ton pourrait négliger tou4 ce qui n'appartient pas au contour réel des ombres.

Mais, pour agir ainsi, il faudrait déterminer sur les lignes de séparation quelles sont les parties qui portent ombre sur les plans de projections, et quels sont les rayons lumineux qui sont arétés par les différentes surfaces des anneaux.

Ensuite , la construction entière des traces des cylindres formés par les rayons lumineux qui s'appuient sur les lignes de séparation, est souvent très-utile pour construire les ombres portées sur l'objet dont on s'occupe , parce que les points suivant lesquels se rencontrent les traces des cylindres formés par les rayons qui s'appuient sur deux lignes de séparation, indiquent les points de l'une de ces lignes qui portent ombre sur l'autre, et facilitent en outre la recherche des points d'ombres portés sur toute autre ligne de la surface (119).

Ainsi , les rayons lumineux qui s'appuient sur la ligne de séparation 3 de la surface B", fig. 4, forment une surface cylindrique qui a pour trace verticale la courbe 3 de l'ombre portée. Le cylindre formé par les rayons lumineux qui s'appuient sur la ligne de séparation 1 de la surface A", a pour trace la courbe4 de l'ombre portée.

Le point 5 , suivant lequel les deux courbes 1 et 3 se ren-

contrent , détermine le rayon 5-5 commun aux deux surfaces cylindriques , el ce rayon , s^appuyant sur les deux courbes , détermine par conséquent le point 5 , qui est Tombre portée sur la courbe 1 de l'anneau A" par le point 5 d& la courbe 3 de l'anneau B" (119).

On obtiendra de la même manière sur Tanneau A" le point 6 , qui est Tombre portée sur la courbe 2 par le point 6 de la courbe 3 d€ l'anneau B" \ le poini 7 déterminé sur la courbe 1 de l'anneau A" par le rayon lumineux qui contient le point 7 de la courbe 4 de l'anneau B'', et le point 8, qui est l'ombre portée sur la courbe 2 de l'anneau A" par le point 8 de la courbe 4 de l'anneau B".

Indépendamment des quatre points que nous venons d'obtenir^ilserafacilede déterminer autant dépeints que l'on voudra.

Ainsi , le plus grand et le plus petit parallèle de la surface ^\ fiQ* ^^ ayant le même centre 00^,

On concevra le rayon lumineux qui passerait par ce point , et l'on construira la trace verticale O*' de ce rayon/

On décrira de ce point, comme centre, les deux circonférences concentriques 9 et 10 égales au plus grand et au plus petit parallèle de la surface A".

Ces deux cercles seront les traces des cylindres formés par les rayons lumineux qui s'appuieraient sur le cercle de gorge et sur le plus grand parallèle de la surface A", si cette surface était transparente ; les points suivant lesquels les courbes 3 et 4 rencontrent les deux cercles concentriques 9 et 10 détermineront quatre rayons lumineux, qui s'appuient en même temps sur les lignes de séparation de la surface annulaire B'' et sur les deux parallèles 9 et 10 de la surface A"; de sorte que les points 11, 12, 13 et 14, suivant lesquels les rayons qui contiennent ces points rencontrent les deux cercles 9 et 10 de la surface A", détermineront les points d'ombre portée sur ces deux cercles par les points correspondants des lignes de séparation de la surface B'^

Les points 13 et 14 sont trop près des points 7 et 8 pour que la courbe qui contient ces quatre points soit bien déterminée. Il sera donc utile de chercher quelques points intermédiaires.

Ainsi , par exemple, si par le point n de la flg. 7, nous traçons la projection horizontale d'un rayon lumineux, nous déterminerons en n" l'ombre portée par le centre nvl du parallèle 17-17 de la surface A", /îgf. 4.

Le cercle 17-17, décrit du point n" comme centre, sera la trace du cylindre formé par les rayons lumineux qui s'appuient sur le cercle 17 de la surface, et les points 15 et 16, suivant lesquels le cercle 17 est rencontré par les courbes 3 et 4 de l'ombre portée, détermineront sur la circonférence 17 de Tanneau A", les ombres portées par les deux points correspondants des courbes 3 et 4 de l'anneau B" (119).

11 est évident que Ton pourra obtenir ainsi deux points sur chacun des parallèles de la surface h!\

On déterminera de la même manière l'ombre portée sur la partie inférieure de l'anneau A" par la partie supérieure de l'anneau B'.

Ainsi, les courbes 1 , 2 et les cercles 9, 10 et 17 de l'ombre portée sur le plan vertical de projection par l'anneau A", seront rencontrés par les courbes 3 et 4 de l'ombre portée par l'auneau B^, suivant 10 points qui appartiendront aux courbes d'ombre portées par les lignes de séparation 3 et 4 de l'anneau B' sur la surface annulaire de l'anneau A".

257. Les points désignés sur l'épure par la lettre nt!* sont les traces des rayons qui passeraient par les points suivant lesquels les surfaces se touchent. En effet, le point mfn\ suivant lequel l'anneau A' s'appuie sur B', est évidemment situé sur le cercle de gorge de la surface A', et sur le cercle correspondant de la surface B'. Le rayon qui passe par le point m sera donc l'intersection du cylindre formé par les rayons lumineux

qui s'appuient sur le premier de ces deux cercles avec le cylindre des rayons qui s'appuient sur le second.

D'où il résulte que la trace veAicale du rayon commun à ces deux cylindres doit être située en même temps sur le cercle 10 qui est la trace verticale du premier, et sur l'ellipse 18 qui est la trace verticale du second.

Ces points ne sont indiqués ici que comme exercices, car il est évident qu'ils ne peuvent pas porter ombre.

258. Les figi% 3 et 5 sont les projections d'une chaîne dont les anneaux, fig. 2 et 5, ont la forme d'une S, et se composent évidemment de deux parties de surfaces annulaires qui se raccordent suivant le cercle méridien projeté sur la /ig. 2 par la petite droite ac.

Les /{g. 2 et 3 serviront à déterminer les lignes de séparation sur le chaînon AA', et les f,g. 3 et 5 détermineront les lignes correspondantes sur le chaînon BB'.

On pourra considérer chaque chaînon comme terminé par deux hémisphères désignés sur la fig. 5 par m et n.

Les lignes de séparation sur ces demi -sphères pourront être déterminées facilement par les principes indiqués au n® 102 , et quand toutes les lignes de séparation seront obtenues, on tracera les ombres portées sur les plans de projection et sur les anneaux, en opérant comme nous l'avons dit plus haut (256).

La partie supérieure de la chaîne contient deux anneaux allongés comme celui qui est projeté sur les fig. 8 et 9.

Chacun de ces anneaux se compose de deux moitiés A et B d'une surface annulaire et des deux petits cylindres h et ft.

La recherche des lignes de séparation s'obtiendra en disposant l'épure comme nous l'avons fait pour les chaînons en S projetés sur les /!(/. 2, 3 et 5.

Je ne crois pas qu'il soit nécessaire de donner ici de plus grands détails sur cet exemple que j'indique aux élèves comme

sujet d'une épure qu'ils feront bien d'exécuter sur une plus grande échelle.

DEUXIÈME ÉTUDE d'OMBRES SUR DBS CHàtNBS.

259. La planche 24 fera facilement comprendre comment il faudrait disposer Tépure pour construire la projection et les ombres de la chaîne projetée sur les /Sg. 3 et 7.

Cet exemple diffère de ceux que nous avons étudiés sur la planche qui précède , en ce que les axes horizontaux des surfaces annulaires rencontrent le plan vertical de projection suivant des angles de 45"*.

260. Épure. Les fig. 3, 5, 6, 7, 8 et 9 contiennent toutes tes opérations nécessaires pour construire les projections et les ombres de la partie de la chaîne qui est projetée sur la /I^. 3.

Les détails de cette épure n'étant que la répétition de ce que nous avons déjà dit plusieurs fois , il suflSra d'indiquer Tordre des opérations à effectuer pour obtenir le résultat.

261 . Projection de la chaîne. Les différentes courbes qui forment le contour de la projection de la chatne sur le plan vertical flg. 3 sont les traces des cylindres horizontaux tangents et perpendiculaires au plan vertical de projection A'Z'.

Ces cylindres auront évidemment pour directrices les courbes suivant lesquelles les surfaces de la chaîne seraient touchées par une suite de plans perpendiculaires au plan vertical PlT!^ et parallèles par conséquent à une horizontale projetante VO, /ï(/. 7.

Pour obtenir ces courbes , on pourra opérer de la manière suivante.

1^ Les projections horizontales des anneaux M et N étant construites, fig, 7, on concevra un plan auxiliaire de projection a"Z" vertical et perpendiculaire aux axes des surfaces annulaires qui forment les deux anneaux du chaînon M.

Cette projection auxiliaire est rabattue /Sjf. 9, autour de sa trace horizontale A"Z".

Les anneaux du chaînon M se projettent sur le plan auxiliaire de projection A^Z", par des cercles concentriques qui se raccordent sur la perpendiculaire abaissée de sur A''Z'^

Les demi-sphères qui terminent chaque chaînon se raccordent avec les surfaces annulaires correspondantes par deux cercles qui se projettent en ligne droite sur le plan auxiliaire A"Z".

2* La droite VO , perpendiculaire au plan vertical de projection A'Z', se projette sur ce plan par le point 0' et sur le plan auxiliaire de projection par la droite VO" parallèle à A^'Z^

Les dispositions précédentes étant adoptées , on exécutera -sur les fig. 7 et 9 toutes les opérations nécessaires pour déterminer les deux courbes suivant lesquelles les surfaces des deux anneaux du chaînon M sont touchées par les cylindres projetants parallèles à la droite horizontale VO , V^'O''.

Pour mieux apprécier la courbure des lignes cherchées, on fera bien d'opérer comme si les deux surfaces annulaires étaient entières, sauf à ne conserver que les parties de ces lignes qui appartiennent à la surface réelle du chaînon.

Les courbes que l'on obtiendra ainsi seront au nombre de deux pour chacune des deux surfaces annulaires, savoir : les courbes, suivant lesquelles les deux anneaux sont touchés par les cylindres projetants qui les enveloppent extérieurement, et les deux courbes, suivant lesquelles les mômes anneaux sont touchés par les cylindres projetants intérieurs. Les cylindres projetants parallèles à la droite VO, V"0" touchent les deux sphères qui terminent les chaînons , suivant deux grands cercles qui se projetteront sur la figure 7 par des

droites parallèles à A'Z- et dont les projections sur la figure 3 seront par conséquent deux cercles.

Lorsque l'on aura déterminé sur les fig. 7 et 9 les projections des deux courbes suivant lesquelles les surfaces des anneaux sont touchées par les cylindres projetants parallèles à la droite horizontale VO, V"0", il sera facile de projeter ces courbes sur le plan vertical a'Z'.

Il suffira pour cela de tracer une perpendiculaire à Â'Z' par chacun des points obtenus sur la projection fig. 7, et de porter sur cette perpendiculaire la hauteur du point correspondant au-dessus de â"Z", ou de toute droite horizontale de la même figure.

262. Lorsqu'on aura construit sur le plan vertical h!Z\ les projections des courbes, suivant lesquelles les anneaux du chaînon M sont touchés par les cylindres projetants parallèles à la droite horizontale VO, V"0", on construira les courbes suivant lesquelles les surfaces annulaire du chaînon N sont touchées par les cylindres projetants perpendiculaires au plan vertical A'Z'.

Ces courbes pourront être déterminées de la même manière au moyen de la figure 6 , qui est une projection , sur le plan vertical A'"Z'", perpendiculaire aux axes des anneaux qui forment le chaînon N ; cette seconde opération ne serait nécessaire que si les axes des anneaux n'étaient pas également inclinés par rapport au plan vertical de projection A'Z', comme on le voit sur la projection horizontale de la chaîne qui est dessinée figure 2; mais dans l'épure actuelle, il résulte de la position symétrique des deux anneaux, par rapport au plan A'Z', que les courbes qui forment le contour de la projection du chaînon N sont exactement égales à celles qui forment le contour de la projection du chaînon M; de sorte que les hauteurs des différents points de ces dernières courbes au-dessus des droites horizontales qui passent par les centres des anneaux du chaînon M , donneront sur les mêmes

perpendiculaires les hauteurs des points correspondants des courbes qui forment le contour de la projection du chaînon N.

263. Les courbes dont nous venons de parler n'ont pas été tracées sur les figures 9 et 6, et je n'en parle ici que pour indiquer au lecteur une occasion de s^exercer à Tapplication du principe général énoncé au n"" 243.

11 sera beaucoup plus simple, dans le cas actuel , de construire directement sur la figure 3 les courbes qui forment le contour de la projection des anneaux.

Pour cela il suflBt, comme nous Pavons dit au n^ 249, de considérer la surface de chaque chaînon comme l'enveloppe des différentes positions d'une sphère mobile , dont le centre occuperait successivement tous les points des circonférences des cercles verticaux projetés sur le plan horizontal par les droites aa^cc.

Après avoir construit sur le plan vertical A'Z' les ellipses dd et a!al suivant lesquelles se projettent les cercles verticaux aa , ce de la figure 7 , on prendra sur chacune de ces ellipses (l^'^)'i lui certain nombre de points assez rapprochés. Puis, de chacun de ces points comme centre , on décrira une circonférence égale à la section méridienne de Tune des surfaces annulaires des chaînes.

Ces différents cercles seront les projections successives de la sphère génératrice G, et les courbes tangentes VV et hti formeront le contour de la projection verticale des anneaux.

Il est évident qu'il n'est pas nécessaire de construire entièrement les cercles dont nous venoi^ de parler, et qu'il suffira de tracer pour chaque sphère les deux arcs zz et xx qui doivent contenir les points de tangence correspondants.

11 résulte de ce qui précède que les courbes qui forment le contour des projections des anneaux sur le plan vertical S!2l , seront partout à égale distance des ellipses , suivant lesquelles

se projettent les circonférences aa et ce de la figure 7, de

sorte que l'on pourra encore opérer de la manière suivante :

1* ^"^ On commencera {fig. 4) par déterminer les foyers

F et F' de l'ellipse cia!.

2® ^■- On tracera pour chaque point vn! de cette courbe ,

les deux rayons vecteurs correspondants Ftn', FW. 3® HiMi La bissectrice de l'angle Fm'F' sera la normale

au point ml.

At* i"i"B On portera sur cette normale les distances mV, mV , égales chacune au rayon de la sphère génératrice de l'anneau.

Les points n' et u' appartiendront aux courbes qui forment le contour de la projection verticale de la surface annulaire correspondante.

Cette méthode est un peu plus longue que celle qui précède ) mais elle a l'avantage de déterminer exactement chacun des points des courbes demandées.

Elle permettra de plus de construire les projections de ces courbes sur le plan horizontal de projection.

En effet , on remarquera que les différents points n' et u' des courbes 5'b' et h' h! (fig. 4) sont situés dans des plans tangents perpendiculaires au plan vertical de projection.

Or 9 chacun de ces plans ne peut toucher la sphère mobile correspondante qu'en un point du grand cercle , qui est parallèle au plan vertical A'Z'.

Mais ce grand cercle étant projeté sur le plan horizontal par une droite nu parallèle à X'Z' , il s'ensuit que lorsque les projections verticales n' et u' des deux points de tangence seront obtenus, les perpendiculaires n!n et u^u détermineront les projections horizontales correspondantes n et u.

C'est en opérant de cette manière que l'on a construit sur la figure 7 les projections horizontales 56, AA, dd, kk des courbes qui forment le contour de la projection verticale des anneaux sur la figure 3,

€es dernières courbes pouvant être obtenues sur la projection verticale Â'Z' sans le secours de leurs projections horizontales, on aurait pu éviter cette dernière partie de l'opération.

Mais ou verra bientôt que les courbes 6, A, d, ft de la figure 7 nous seront fort utiles pour vérifier certains points essentiels des lignes de séparation et des ombres portées.

264. Nous n'avons pas parlé des quatre points de rebroussement qui ont lieu sur chacune des courbes qui déterminent le contour intérieur des projections sur le plan vertical Â'Z', parce que ces points, qui seraient très-rapprochés, peuvent être négligés ici sans aucun inconvénient (pi. 14, fig, 2).

Ombres.

265. Lignes de séparation. Lorsque les projections sur le plan vertical A'Z' seront terminées , et que Ton aura bien reconnu les lignes qui sont vues et celles qui sont cachées , on construira toutes les lignes de séparations et d'ombres portées.

Les rayons lumineux étant parallèles à la droite donnée 80, S'0'(/îsf. 7 et 3), on portera s'S' de s" en S" sur la droite SS" perpendiculaire à A"Z", et la droite S"0" sera la projection d'un rayon lumineux sur le plan auxiliaire de projection A"Z".

Gela étant fait, on déterminera (114) sur les figures 7 et 9 les courbes extérieures et intérieures , suivant lesquelles les surfaces annulaires du chaînon M sont touchées par les surfaces cylindriques formées par les rayons lumineux tangents, puis on reportera les mêmes courbes sur la projection verticale A'Z', en prenant la hauteur de chaque point sur la projection auxiliaire A"Z".

Les lignes projetées sur la figure 9 par les ellipses 12-1 3-14 et 27-28-29 , sont les projections des grands cercles , suivant lesquels les deux sphères E et F sont coupées par des plans perpendiculaires à la direction 80, 8"0" des rayons lumineux.

On peut facilement obtenir ces courbes en opérant comme nous l'avons dit au n® 102.

On remarquera que ces deux ellipses , qui forment les lignes de séparation sur les sphères E et F, et les lignes de sépara* tion sur les surfaces annulaires du chaînon M, doivent se rencontrer sur les droites O^'H et 0"K de la figure 9, et sur les ellipses correspondantes de la projection A'Z', ces dernières lignes, qui n'ont pas été conservées sur l'épure, étant les projections des deux grands cerclées, suivant lesquels les surfaces des anneaux se raccordent avec les deux sphères qui les terminent.

Ainsi , en partant du point 1 , qui est projeté figure 9 , sur le bord , à droite et au bas de l'épure , la ligne de séparation sur le chaînon M" se compose d'abord de Tare 1-2-3, qui appartient à la ligne de séparation extérieure de l'anneau B".

Cette courbe se raccorde au point 3 avec la ligne de séparation intérieure de l'anneau A".

Delà elle se dirige par les points 4*5-6 et 7, suivant lesquels elle vient couper le cercle de gorge; elle passe ensuite par les points 8-9-10-1 1 et 1 2, où elle est remplacée par la demi-ellipse 12-13 et 14, qui forme la ligne de séparation sur la sphère E.

Du point t4, la ligne de séparation se reporte sur la partie convexe de l'anneau A", et passe par les points 15-16 et 17, suivant lesquels elle coupe le plus grand parallèle de l'anneau A", après quoi elle continue sur la partie convexe de Tanneau A", en passant par les points 18-19-20.

Arrivée là , elle se raccorde avec la ligne de séparation intérieure de l'anneau B", dont elle contourne la partie creuse en passant par 21-22-23 et 24, puis après être sortie du cadre elle passe par 25 et 26 , et arrive au point 27, où elle est remplacée par la demi-ellipse 27-28 et 29 qui forme la ligne de séparation sur la sphère F.

Du point 29, la ligne de séparation 29-30 est formée par la courbe de contact extérieure de l'anneau B", dont elle par-

coart la surface convexe , puis après être sortie deux fois du cadre de l'épure , elle revient au point 1 , par lequel nous avons commencé.

Les mêmes numéros permettront de suivre cette courbe dans toutes ses sinuosités sur la projection verticale A'Z' et sur les ombres portées.

Mais, pour éviter la confusion sur la projection horizontale (fig. 7), je n'ai indiqué par des chiffres que les points les plus remarquables.

266. En procédant de la même manière, il sera facile de construire les lignes de séparation sur les deux surfaces annulaires du chatnon N {fig. 6).

Ainsi , la distance s'S' de la figure 3 étant reportée de $'" en S"' sur la projection auxiliaire A'"Z'", on obtiendra S'"0'" pour la projection du rayon lumineux 80, S'O'; puis, parles méthodes exposées au n" 114, on déterminera les lignes de séparation extérieures et intérieures sur les deux anneaux du chaînon N.

Ces courbes étant obtenues sur les figures 6 et 7, on les reportera sur la projection verticale (fig. 3) , en opérant comme pour les courbes des anneaux A et B du chatnon N.

Les lignes de séparation sur les sphères T et U pourront ent^re être déterminées sur les projections 6 et 3 par la méthode exposée au n"" 102, et Ton remarquera que les ellipses suivant lesquelles ces courbes se projettent , et les lignes de séparation sur les anneaux du chatnon N , se rencontrent, figure 6, sur les droites o'"G et o"'L, et figure 3 sur les projections des cercles suivant lesquels les deux sphères se raccordent avec les anneaux correspondants. Ces ellipses n'ont pas été conservées.

Ainsi , en commençant par le point 31 , sur le bord inférieur du cadre (fig. 6), la ligne de séparation 31-32, située sur la partie convexe de Tanneau D"', vient se raccorder au point 32 avec la ligne de séparation intérieure de Tanneau G'" ;

de là elle passe par le point 33 , puis après avoir coupé le cercle de gorge en un point 34 , elle contourne le vide intérieur de Tanneau C" , passe ensuite par les points 35 et 36 , après lequel elle coupe une seconde fois le cercle de gorge au point 37 , elle arrive alors au point 38 , où elle est remplacée par la demi-ellipse 38-39 et 40, qui forme la ligne de séparation sur la sphère T.

Du point 40 , la ligne de séparation parcourt la surface convexe de l'anneau G"' en suivant les points 42-43 et 44 , où elle coupe le plus grand parallèle , puis elle passe par les points 45 et 46 , où elle se raccorde avec la ligne de séparation intérieure de l'anneau D'" , et coupant le cercle de gorge aux points 47 et 48 , elle arrive au point 49 , et parcourt la demi-ellipse 49-50 et 51 , qui est ensuite remplacée par la courbe extérieure de l'anneau D'" jusqu'au point 31 , par lequel nous avons commencé.

On pourra facilement retrouver les parties de cette courbe sur la projection verticale fig. 3 et sur les ombres portées.