Ombres portées sur les plans de projection

Les courbes de séparations déterminées sur tous les anneaux seront les directrices des surfaces cylindriques formées par les rayons lumineux qui s'appuient sur les différentes parties de la chaîne; et les traces de ces différents cylindres formeront le contour des ombres portées sur les plans de projection.

Si le point 1 de la figure 9 était projeté sur le plan vertical A'Z', cette projection serait située un peu au-dessus du bord supérieur du cadre , et le point 1 que l'on voit sur le contour de l'ombre portée serait alors déterminé par le point 1 de la ligne de séparation.

Or , en commençant par ce point , la trace du cylindre formé par les rayons lumineux qui enveloppent le chaînon M' passe par le point 2 et arrive au point 3, qui est l'ombre portée par le point de raccordement des deux courbes 1-2-3 et 3-4-5 de la figure 9.

Du point 3 , la ligne d'ombre portée parcourt les points 4-5-6-7-8-9-10-14 et 12, où elle se raccorde avec la demiellipse 12-13 et 14, qui est Fombre portée par la sphère E'.

Du point 14, l'ombre devient 15-16-17-18-19-20-21-22- 23-24-25-26 et 27.

Elle se raccorde à ce dernier point avec la demi-ellipse 27-28 et 29 , qui est l'ombre portée par la sphère F' qui termine l'anneau supérieur du chaînon M'.

On remarquera que l'ellipse 11-12-13 est absolument égale et parallèle à l'ellipse 27-28-29.

Du point 29 la trace du cylindre remonte vers le point 30 et parcourt un arc qui vient se terminer au point 1 par lequel nous avons commencé.

Par conséquent , si aucun des rayons lumineux n'était arrêté par les surfaces de la chaîne , le contour de l'ombre portéeserait une courbe continue qui , commençant et finissant par le point 1 , passerait sans interruption par tous les numéros de 1 à 30.

268. Cette courbe contient quatre points de rebroussement,6,8,22 et24.

Les deux premiers sont les ombres des points suivant lesquels la courbe de séparation intérieure dé l'anneau AA" est touchée par les rayons de lumière correspondants.

Les points 22 et 24 appartiennent à la courbe de séparation intérieure de l'anneau BB" du chaînon M.

Ces points ne sont pas sur la projection verticale des anneaux.

Les quatre paints 6 , 8, 22 et 24 sont déterminés par leurs projections sur les fig. 7 et 9.

Ces projections pourraient être obtenues rigoureusement par les principes que nous avons exposés au n"" 195; mais, dans la pratique , on peut se contenter de ce que nous avons dit au nM 30.

Ainsi , après avoir déterminé les points 6 et 8 sur les pro* jections 9, 7 et 3, on s'assurera :

1* ^iM Que les deux projections correspondantes de chaque point sont situées sur une perpendiculaire à la ligne A"Z" ou A'Z';

2* ^ÊÊtm Que partout la projection du rayon de lumière qui passe par Fun des points dont il s'agit, est tangente à la projection correspondante de la courbe -,

3* ^mm Enfin , que les projections de ces points sur la ^g, 3 sont bien exactement à la même hauteur que les projections des mêmes points sur la fig, 9 ; ces hauteurs étant comptées à partir des horizontales qui passent par les points 0' et O'' de ces deux figures.

Le point 123 de l'anneau A" et le point correspondant de Panneau B" n'existent pas, puisqu'ils seraient situés sur les parties supprimées des lignes de séparation correspondantes.

Le point 1 1 de l'anneau A' A" et le point 26 d« l'anneau B'B'' existent, mais ils sont si près des points 12 et 27 suivant lesquels les lignes de séparation des anneaux se raccordent avec les cercles de séparation sur les sphères qui les terminent , qu'il serait impossible , même en exécutant l'épure sur une très-grande dimension , de rendre sensible la distance de ces points sur la courbe d'ombre portée \ ce qui provient surtout de ce qu'aux points 12 et 27 les rayons lumineux devenant tangents à la courbe de séparation, une petite partie de cette ligne se confond avec la direction de la lumière et les rayons lumineux des points 11 et 12 étant extrêmement près l'un de l'autre, la distance de leurs traces verticales est par conséquent insensible. ,

269. La trace du cylindre formé par les rayons lumineux qui s'appuient sur le chaînon N diffère beaucoup, fig. 1 , de la trace précédente \ ce qui provient de ce que les anneaux de ces deux;

chaînons ne sont pas exposes de la même manière à Taction des rayons lumineux.

Ainsi, en commençant, /Ig. 7, par Tombre portée sur le plan horizontal de projection par le point 31 du chaînon N.

On obtiendra d'abord l'arc 31-32, puis la courbe se brise au point où elle rencontre la ligne A'Z', et parcourt sur le plan vertical de projection un petit arc qui contient les points 115, 112 et 33.

Immédiatement après, le contour de Tombre rencontre une seconde fois la ligne A'Z', où elle se brise encore pour se porter sur le plan horizontal de projection , en passant par les points 35-36 et 38.

Ici la courbe se raccorde avec ia demi-ellipse 38-39 et 40 qui provient de l'ombre portée sur le plan horizontal par la sphère T du chaînon N , fig. 6.

Du point 40 la courbe d'ombre portée sur le plan horizontal passe par les points 41-42-43 et rencontre une troisième fois la ligne A'SS', où elle se brise pour se relever sur le plan vertical de projection en passant par les points 44-45-80-81-46- 47-89-94 et 49. Elle se raccorde ici avec la demi-ellipse 49-50 et 51 qui provient de l'ombre portée par la sphère U du chatnon N , /îflf. 6.

Du point 51 la courbe remonte vers le point 124 et redescend ensuite en passant par les points 93 et 88, puis elle va couper une quatrième fois la ligne A'Z', après quoi elle vient se terminer au point 31 par lequel nous avons commencé.

Ainsi , les cylindres formés par les rayons lumineux qui enveloppent l'anneau N forment une surface continue dont la trace peut être suivie sans interruption , en commençant et finissant par le point 31.

270. Ou peut voir sur la figure 1 et sur l'ombre portée par Vanneau qui serait au-dessus de H', quelle serait la forme

de la courbe précédente si les rayons lumineux n'éuient pas arrêtés par le plan horizontal de projection,

37i. h&^ points de rebroussement de la courbe qi^i forme le contour de Tombre portée par le cbatoon N sont tout à bit inseDsible^, et peuvent être négligés ^aps inconvénient.

272. Lorsque les ombres déterminées par les rayons lumineux qui enveloppent la chaîne seront obtenues , on tracera en lignes pleines la partie réelle du contour et Ton conservera le reste en lignes ponctuées.

273. La courbe 18-103-107-105-113.112 et 15 est Tombre portée sur le plan horizontal et sur une partie du plan vertical par la partie de Tanneau Q' qui «st projetée sur la figure 3 de l'épure.

274. ombres portées sur Ifs annoaiui:. Cette partie de la question est celle qui offre ordinairement le plus de difficultés.

Il semblerait cq)endant, au premier abord, que l'opération doit consister pour chaque point, à trouver l'intersection du rayon de lumière qui contient ce point avec la surface sur laquelle son ombre est portée, de sorte que tout se réduirait à Tapplici^ion répétée du principe, au moyen duquel on trouve rintersection d'une droite avec une surface.

Cela est parfaitement vrai, mais on s'abuserait beaucoup ^i l'on croyait pouvoir ainsi ramoner toutes les opérations partielles à un principe général.

La grande variété des surfaces exposées à l'action de la lumière et de celles sur lesquelles les ombres sont portées, les accidents nombreux qui résultent de leurs diverses positions dans Tespaee, combinées avec la direction de la lumière, «xigent des dispositions d'épurés sans lesquelles il serait sou* vent très-difficile de réussir.

Je l'ai dit bien des fois, ce n'est pas avec des principes gé-

néraux que Ton fait de la pratique. Celui qui voudrait employer partout la même méthode n'arriverait à rien; c'est comme un ouvrier qui voudrait exécuter toutes les parties d'un travail composé avec un seul outil ; il parviendrait peut-être, avec beaucoup d'adresse et une grande patience, à obtenir un résultat remarquable, mais il y passerait dix fois autant de temps qu'un autre, et ne ferait pas mieux.

Je ne veux pas dire qu'il faille négliger Tétude de la théotie- c'est toujours par là qu'il faut commencer, si l'on veut comprendre tous les détails de l'application. Mais si l'on ne s'exerce pas, par de nombreux exemples, à reconnaître dans chaque cas les circonstances particulières, ou les méthodes d'abréviation qui peuvent simplifier le travail , on ne deviendra jamais habile praticien.

Il est certainement très-utile de démontrer la généralité d'un principe, mais il ne faudrait pas cependant reculer devant le travail beaucoup plus long qui résulte de son application .

J'insiste sur ce qui précède , parce que beaucoup de personnes croient savoir dès qu'elles comprennent , ce qui n'est pas du tout la même chose. Reculant devant les exercices nécessaires pour acquérir l'habitude des applications , elles affectent de dédaigner les détails de la pratique comme ne présentant plus aucune difficulté, et renvoient cette étude au moment où elles auront l'occasion d'en faire usage \ puis, lorsque ce moment est arrivé, elles sont tout étonnées de ne point réussir, et en concluent quelquefois que la théorienesert à rien, ce qui provient seulement de ce qu'elles ne se sont pas suffisamment exercées à en faire l'application. ^

275. Mais pour revenir à neutre étude, dont je me suis peut-être un peu trop écarté, nous remarquerons que l'une des plus grandes difficultés n'est pas de trouver l'ombre d'un point, mais de savoir sur quelle partie de la surface cette ^mbre doit être cherchée.

C'est alors que les ombres portées sur les plans de projection seront pour nous d'un grand secours.