ombre portte par Tanneaii B sur la spbère E

En effet, de ce que la courbe 1-2-3 qui forme le contour de Tombre portée par une partie de la ligne de séparation du cfaatnon ^\ rencontre l'ellipse 12-13-14, on peut conclure que les surfaces cylindriques formées par les rayons lumineux qui s'appuient sur ces deux courbes, se coupent suivant un rayon commun qui passe par le point S5, et qui détermine par conséquent sur Tellipse 12-1 3 et 14 de la spbère E, Tombre portée par le point 55 de la ligne de séparation 1-2-3 du chaînon If (119).

Le point 56 de l'ombre portée est la trace verticale d'un second rayon commun aux deux cylindres, et ce rayon déterminera également sur Tellipse 12-13 et 14, Tombre portée par le point 56 de la ligne de séparation du cfaatnon M'.

Les deux points 55 et 56 de l'ellipse 12-13-14, doivent donc être liés entre eux par une courbe 55-57-56 qui est Fombre portée sur la sphère £', par la ligne de séparation 1-2-3 du chaînon M*.

Cette courbe située derrière la sphère E' {fig. 3) ne peut pas être vue sur cette projection, mais il est facile de la retrouver sur la figure 9.

Or, le but que l'on se propose particulièrement dans l'étude actuelle, étant de construire les ombres sur la projection (fig. 3), il est évident que l'on peut négliger la courbe dont nous venons de parler, et ne tracer sur les projections auxiliaires des figures 6 et 9 que ce qui est indispensable pour compléter la figure 3.

Mais, comme il s'agit ici de s'exercer à l'application des principes, nous chercherons un point de la courbe 55-57 et 56 comme si elle devait être vue sur la figure 3.

Plusieurs méthodes peuvent être employées dans ce but.

lu SURFACaSS DE RÉVOLUTION. PL. 24.

Ainsi an plan parallèle à la direction de la lumière, coupera la sphère E suivant un cercle qui, projeté ou rabattu, contiendra le point demandé.

Mais il est évident, que la dincultë consiste à éviter la confusion qui pourrait résulter de la position dans l'espace du plan coupant que l'on aurait choisi.

Or, on doit se rappeler {Criaméirie de$criptive et Ombreê) que pour obtenir l'intersection d'une sphère avec une surfiice cylindrique, la disposition d'épuré la plus favorable consiste à employer un plan de projection parallèle au cylindre, puis a couper la sphère et le cylindre donné, par des plans parallèles à ce nouveau plan de projection.

Ces plans rencontreront la sphère suivant des cercles qui se projetteront alors par des cercles, et dont les intersections avec les génératrices du cylindre détermineront autant de points que l'on voudra de la courbe demandée.

Ainsi, dans le cas actuel, on fera (fig. 8) une projection M'^ du chatnon M sur un plan p^pendiculaire à celui de la figure 9, et parallèle k la projection O^S" du rayon lumineux.

On fera u'^S"' de la figure 8, égal kus de la figure 7 *, et la droite S'^O'^ sera la projection d'un rayon lumineux sur le plan de la figure 8.

On construira sur la figure 8 la projection 2-3*^ de l'arc 2*58-3 de l'anneau B''.

Les différents points de la courbe 2-58 (fig. 8) se déduiront de leur projection (fig, 9), et l'on prendra sur la figure 7 la distance de chaque point au plus grand parallèle de l'anneau M.

Gela étant fait, si Ton veut obtenir sur la courbe 55-57-56 le point qui est situé dans le plan P qui contient le centre de la sphère E, et qui est perpendiculaire au plan de la figure 9, 'on projettera le point 57 de la courbe 2-3 sur la figure 8, et l'intersection du rayon correspondant avec

la circonférence 59, déterminera le point demandé que Ton projettera ensuite sur la figure 9.

On pourra obtenir ainsi autant de points que l'on voudra , en coupant la sphère et la courbe 2-3 par des plans parallèles à la projection {fig. 8).

11 faudra seulement se rappeler que les sections dans la sphère seront des petits cercles dont les rayons seront donnés par la figure 9, et dont tous les centres se projetteront en un seul sur la figure 8.

C'est ainsi que le point 58 a été obtenu, en coupant la sphère et la courbe 2-3 par le plan Pj parallèle au plan de la figure 8.

277. On peut vérifier les opérations précédentes, en reportant sur les figures 7 et 3 les points ainsi obtenus sur la courbe 55-57 et 56, les traces verticales des rayons lumineux correspondants devront être situées sur la courbe 1-2-3 de l'ombre portée.

278. te point 55 suivant lequel rellipse 12-13-14 est rencontrée par la courbe 56-57-58 peut être obtenue sur la figure 9, en employant la méthode suivante :

V m/mm Le plan P, perpendiculaire au rayon de lumière S'^0''' {fig. 8) coupe la sphère E'^ suivant le grand cercle qui forme sur cette sphère la ligne de séparation, et qui, rabattu sur la figure 9 , devient le cercle 71 .

2^ iHHi Le môme plan P, de la figure 8 coupe le cylindre des rayons qui s'appuient sur la ligne de séparation 2-3 suivant une courbe qui , étant rabattue,^ devient 72 (/îg. 9),

3^ fmaam La courbe 72 coupera le cercle 71 suivant un point 55, qui ramené dans le plan P^ {fig. 8) détermi* nera le point 55 sur l'ellipse 12-13 et 14 de la figure 9^ d'où il sera facile de reporter le même point sur les

2ie SURFACES DE RÉVOLUl'ION. PL. 24-

figures 7 et 3 , et de vérifier sa position sur l'ombre portée par les courbes 1-2-3 et par l'ellipse 12-i3 et 14.

S79. ombres portées dans le crenz des anneanz (117). i^a courbe S5-57 et 56 s'arrête à ce dernier point , où elle est remplacée par la courbe 56-125-6 qui est l'ombre portée sur la partie creuse de Tanneau A^', par la ligne de séparation 3-4-5 et 6.

Le point d'ombre portée 56 est situé sur le grand cercle suivant lequel la demi-sphère E se raccorde avec la surface de Tanneau A".

Ce grand cercle , perpendiculaire au plan de la figure 9, se confond sur cette projection avec la droite 0"H.

La courbe d'ombre portée 56-125 et 6 se construira par Tun des moyens exposés aux n^* 117 et 118.

Ces opérations sont indiquées sur la figure 8, et sur la projection B" de Tanneau supérieur du chaînon M.

280. Ainsi, la courbe 24-25 et 26 de l'anneau B" étant projetée sur la figure 8, on concevra le plan Ps perpendiculaire au plan de la figure 9.

La section de l'anneau B" par le plan P, sera une courbe 73 que Ton obtiendra facilement {fig, 8) en établissant sur l'anneau B'' des cercles horizontaux qui n'ont pas été conservés.

Le point 60, suivant lequel le planP, coupe la courbe 24-25, sera également projeté sur la figure 8, et le rayon correspondant déterminera sur la courbe 73 le point d'ombre portée par le point 60 de la ligne de séparation 24-25.

Le point 75, qui est le plus bas de la courbe , sera déterminé de la même manière, en coupant la surface par le plan méridien P^ parallèle au rayon lumineux S"0", et par conséquent à la projection auxiliaire (fig, 8).

La section de l'anneau B'' par le plan P^ est un cercle 74

dont une partie forme le contour de la projection de l'anneau B'' sur la figure 8.

281 . Si pour vérifier quelques-uns des points obtenus, ou pour en déterminer de nouveaux, on veut employer le principe exposé au n"* il9, on pourra considérer la ligne de séparation 24-26 de l'anneau B" et le parallèle 61 , sur lequel je suppose que l'on veut obtenir le point d'ombre portée , • comme les directrices des deux cylindres formés par les rayons lumineux qui s'appuient sur ces courbes.

Les intersections de ces deux cylindres {fig . 8) , par un plan Pe parallèle au cercle 61 de l'anneau B", détermineront sur 1» figure 10, un peu au-dessus de la projection de Tanneau B", la courbe 24-62-26 et la circonférence 61 égale au parallèle 61 de l'anneau B''^ le point 60, suivant lequel la courbe 24-62 est coupée par le cercle 61 , déterminera le rayon commun aux deux cylindres, et l'intersection de ce rayon avec le parallèle 61 de l'anneau B" donnera le point 60 pour Tombre portée sur ce parallèle par le point 60 de la ligne de séparation 24-26.

La courbe 24-62-26 et la circonférence 61 de la figure 10 se coupent suivant un second point 64 ; et le rayon correspondant déterminerait un second point d'ombre portée sur le parallèle 61 5 mais il est évident que ce point n'existera pas sur l'anneau B", puisque cet anneau est interrompu à l'endroit ou le point dont nous parlons serait situé.

II sera donc utile de rechercher le point suivant lequel le prolongement du rayon 64 perce la surface de l'anneau A" et Ton y parviendra facilement en construisant sur la figure 8 la projection de la courbe suivant laquelle l'anneau A'', est coupé par le plan Pg qui contient le rayon 64.

282. Ainsi, l'ombre portée dans le creux de l'anneau B" par la ligne de séparation 24-2B et 26s'aréte au point 63, et

passant par le point 64, elle arrive au point 27 où elle est remplacée par la courbe 27-65-66 et 67, qui est l'ombre portée par la spbère F sur Tanneau A" du chaînon.