ombres portées par le chaînon il' awr le otaal
acn Q'* J'ai supposé dans l'épure actuelle, que le chaînon Q' de la figure 3 était semblable à Y\m des trois anneaux qui terminent la partie inférieure de la chaîne qui est projetée {fig. 2).
C'est-à-dire que chacun de ces anneaux (fig. 11) serait composé de deux demi-aïuieaux circulaires A et B séparés par les deux cylindres m et n.
Dans cette hypothèse il est évident que les courbes qui forment le contour de la projection, et les lignes de séparation de l'anneau Q' ne diffèrent en rien de celles que Ton a obtenues pour les anneaux ^ et B^ du chaînon H' \ il n*y aura donc aucune opération nouvelle à faire, pour obtenir ces courbes dont les projections horizontales coïncident avec celles que Ton a déjà obtenues pour le chaînon M (/î^. 7) et dont les projections verticales seront égales à celles des anaeaux h! ou B^ en tenant compte seulement des différences de hauteur.
302. Quant aux courbes d'ombre portées sur la surface de l'anneau Q^, elles sont au nombre de trois, savoir :
i'* — La courbe 105-107-109-106 qui est Tombre
portée sur Fanneau Cl par la ligne de séparation exté^ rieure de l'anneau Q', 2^ ^mm La courbe i 10-11 1 qui est l'ombre portée sur Taoneau G par la ligne de séparation intérieure de Tanneau Q^ \ 3P -H- Enfin ta petite courbe dombre 112-1 15--1 13 qui est portée sur la partie de surface, derrière TanneauQ^, par une partie de la Kgne de séparation intérieure de l'anneau €'.
Les points 105-t06 ont été déterntinés d^abord sur te plan horizontal par la rencontre des traces des cylindres formés par les rayons qui s'appuient sur les courbes de séparation extérieures et intérieures des anneaux C et Q.
On a obtenu les pomts 107 et 108 en construisant les lignes 119 et 120 qui sont les traces horizontales des cylindres formés par les rayons kimineux qui s*appuient sur les courbes è et A de Tanneau C,
Enfin le point 109 a été obtenu par la métbt>de du n* 119 et parla rencontre des courbes 121 et 122, suivant lesquelles le plan P^, coupe les deux cylindres formés par les rayons qm s'appuient sur la courbe de séparation 20-18 de l'anneau Q' et sur le cercle 118-118 de l'anneau G [pg. 7).
303. Les mêmes opérations feront connaître autant de points que l'on voudra de la courbe 1 10*1 1 1 .
304. Les points 112 et 1 13 situés derrière Fanneau Q'et sur la ligne de séparation extérieure de cet anneau (/f^. 3) sont déterminés par les rayons qui contiennent les points 112 et 113 de l'ombre portée sur le plan vertical et sur le plan horizontal de projection.
Enfin le point 115 de la projection verticale Q' a été obtenu par le plan coupant Pi,
La section de l'anneau Q' par ce plan a donné la courbe 1 14
<le la figure 7, et i'intersection de cette ligne par le rayon qui contient le point US situé sur la courbe dé séparation intérieure de Tanneau C a déterminé la projection horizontale, «t par suite la projection verticale du point d'ombre portée 115. L'obliquité des rayons lumineux pai* rapport à la partie de surface sur laquelle a lieu la petite courbe d'ombre portée 1 1 2-1 1 5 et 1 13 doit engager à vérifier quelques-uns des points de cette courbe^ ainsi, en coupant la surface par le plan P^, perpendiculaire au plan horizontal de projection, et contenant le point 115 de la figure 7, on obtiendra sur la figure 3, la «ourbe de section 116 qui doit passer par la projection verticale du point d ombre portée 115.
ÉTUDE d'ombres SUR DES TUYAUX.
305. Chacune des parties courbes Â,B,C de ces tuyaux (pi. 25) est formée par un quart de surface annulaire , et les parties droites D,E,F,G sont des cylindres.
Chaque tuyau est terminé par deux plaques circulaires que l'on nomme hriies 9 ces plaques sont traversées par des boulons qui relient entre elles les divers parties droites ou courbes dont se compose le tuyau principal.
La construction des ombres sur les surfaces cylindriques ou annulaires des tuyaux, ne sera évidemment qu'une application nouvelle des principes exposés aux n*" 66 et 114.
C'est donc uniquement comme exercices sur la disposition des épures que l'étude suivante est proposée.
La figure 1 est une projection sur un plan perpendiculaire à celui de la figure 7.
Ainsi, la figure 7 étant perpendiculaire aux axes des surfaces annulaires qui forment les parties courbes des tuyaux , Ja figure 1 sera parallèle aux mêmes axes.
Les lignes de séparation pourraient être déterminées en
i30 SURFACES DE RÉVOLUTION, PL. 25-
exécutant sur les figures 1 et 7 de la planche actuelle, toutes les opérations qui sont indiquées sur les figures 77 et 78 de la planche 13 ; mais pour ne pas embarrasser les figures 1 et 7, j*aisupposéqueles]ignes de séparation 1-2-3*4-5 -6-7 -8 et 9, déterminées d'abord sur les projections auxiliaires (fig. 2 et 3) ont été ensuite reportées sur les figurés 1 et 7 , de sorte qu'il ne reste plus à construire sur ces deux figures que les opérations nécessaires pour déterminer les ombres portées.
306. ombres portéei. On fera bien ici, comme dans l'exemple qui précède, de commencer par la construction des ombres portées sur les plans de projection.
Mais on remarquera que pour varier les études, Tombre portée est tracée sur deux plans différents ^ c'est-à-dire que la figure 4 contient l'ombre portée {fig. 8) sur im plan vertical P parallèle aux axes des surfaces annulaires qui forment les parties courbes du tuyau, tandis que la figure 8 contient Vombre portée (/Ij^. 1 ) sur le plan P^ perpendiculaire aux axes des mêmes surfaces.
Ces ombres portées peuvent être facilement tracées sans le secours des projections horiîontales {fig. 5,9 et 13).
En effet, les lignes de séparation obtenues sur les figures 2 et 3 et reportées ensuite sur les figures 1 et 7, seront les directrices des surfaces cylindriques formées parles rayons lumineux qui s'appuient sur les tuyaux.
Or, la direction de la lumière étant donnée par les projection 80, S^O^ il sera facile de projeter sur les figures 1 et 7, les rayons qui s'appuient sur les lignes de séparation, de sorte que les intersections du plan P par les rayons lumineux projetés sur la figure 7 , détermineront sur les rayons correspondants de la figure 4, les points qui forment le contour de l'ombre portée, et riciproquement^ les intersections du plan P^ par les rayons lumineux projetés sur la figure 1 , détermineront le contour de l'ombre portée sur la figure 8.
307. Si les brides, ou plaques circulaires qui terminent les tuyaux n'existaient pas, le contour de Tombre portée sur le plan Pt se composerait (fig. 8} de la courbe 36-37-8-6-39- 40-41-8-6 et 42 , et de la courbe 43-44-47-48-6-8.51-52-55 et 56 'j mais la première de ces deux courbes, est interrompue 1^ Bw Par la courbe 37^8 qui est Tombre portée par une partie de la circonférence qui forme Taréte 57 de la bride inférieure du tuyau D ; 2^ ■» Par la courbe 38-39 qui est Tombre portée par une partie de la circonférence qui forme Taréte 58 de la bride supérieure du tuyau B ^ S** «»i» Par l'arc d'ellipse 41-64, la petite droite 64^65 et l'arc d'ellipse 65-30 qui sont les ombres portées par les arêtes circulaires et la ligne de séparation du petit cylindre vertical formé par la réunion des deux plaques cylindriques ou brides qui relient entre eux les tuyaux E et F ; Â'' — Par l'arc d'ellipse 66-67, la droite 67-68 et l'arc d'ellipse 68-69, qni forment le contour de l'ombre portée par les brides des tuyaux C et G.
308. I^ courbe qui forme à droite de la figure 8, le contour de l'ombre portée par le tuyau , est remplacée dans quelques-unes de ses parties.
l"" WÊÊÊm Par la courbe 44-45 qui est une partie de l'ombre portée par l'arête 57 de la bride inférieure du tuyau D.
2® WÊiÊm Par la petite verticale 45-46 qui est l'ombre portée par la ligne de séparation du cylindre vertical formé par l'ensemble des deux brides qui servent à relier entre eux les tuyaux  et D.
3® aiHB Par la courbe 46-47 qui est l'ombre portée par une partie de la circonférence qui forme l'arête 60 de la bride supérieure du tuyau A.
4*" HMOT Par la courbe 48-49, la petite droite horizontale 49-50, et l'arc d'ellipse 50-51 qui sont les ombres por-
iées par les arêtes circulaires et la ligne de séparation du cylindre horizontal formé par la réunion des deux plaques cylindriques ou brides qui relient entre eux les tuyaux A et B.
5"* WÊimm En&n, par les courbes 52-53, 54-55 et par une petite droite verticale 53-54, tangente aux deux courbes précédentes \ ces trois lignes étant Tombre portée par les arêtes circulaires et par la ligne de séparation du cylindre formé par Tassemblage des deux brides qui relient entre eux les tuyaux E et F.
309. Les deux courbes 38 37 et 44-45 appartiennent à une même ellipse qui serait l'ombre portée par Tarête 57 de la bride inférieure du tuyau D ; et la courbe 46-47 fait partie de l'ellipse 46-30 qui est l'ombre portée par l'arête 60 de la bride supérieure du tuyau A.
Les courbes 39-38 et 50-51 font partie de Tellipse 38^1 qui est l'ombre portée par l'arête 58 de la bride supérieure du tuyau B.
La courbe 48-49 appartient à l'ombre portée par Tarête 61 de la bride inférieure du tuyau A.
Leâ deux courbes 64-41 et 52-53 appartiennent à l'ombre portée par la circonférence 59 de la bride inférieure du tuyau E et les courbes 54-55, 65-30 font partie de l'ellipse 54-30 qui est l'ombre portée par l'arêteOâ de la bride supérieure du tuyauF.
310. L'ombre portée sur le plan P ne se trouvant pas confondue avec la projection du tuyau il sera beaucoup plus facile d'en suivre le contour sur la figure 4, d'autant plus que sur /cette figure les courbes sont indiquées par les mêmes chiffres que les lignes dont elles sont les ombres portées , ce qui ne pouvait pas avoir lieu sur la figure 8-, d'abord à cause du grand nombre de points qu'il fallait désigner d*une manière particulière \ ensuite parce que plusieurs des courbes de cette figure ne sont pas tracées entièrement.
311 . ombres portées snr les tuyaux. 11 y a sur les surfaces A etB {fig. 3) quatre points 8 et 6, suivant lesquels le rayon lumineux est tangent aux lignes de séparation. Les intersections de ces rayons avec les plans P et P^ déterminent sur les ombres portées {^g, 4 et 8) les points de rebroussement désignés partout par les n'^* 8 et 6.
11 existera donc, sur la surface du tuyau C (/i^. 7) , une petite courbe 8-10-11 , qui après avoir touché au point 8, la ligne de séparation intérieure , coupe le cercle de gorge au point 10, et la ligne de séparation en un point 11 situé derrière le tuvau.
Cette courbe pourra être obtenue sur les figures 1 et 7, en opérant comme nous l'avons dit aux n*^ 117 et 118 ^ mais on peut aussi la déterminer d^abord, sur les figures 2 et 3 , et la reporter ensuite sur la projection du tuyau C (/b/. 7).
312. Si les brides ou plaques circulaires n'existaient pas, ou si les ombres portées par ces plaques sur les tuyaux étaient moins allongées, il faudrait tracer sur les surfaces des tuyaux A et B, des lignes analogues à la courbe d'ombre portée 8-10 et 11 de la surface C.
Mais, dans le cas actuel, ces courbes seraient plongées dans l'ombre portée par les brides 57-60 et 58-61 , de sorte que l'on peut négliger cette partie de l'opération.
313. La petite courbe 8-10-11 du tuyau C étant la seule ligne d'ombre portée par la surface des tuyaux sur elle-même, il ne reste plus qu'à construire les ombres portées par les brides sur les tuyaux.
314. La courbe déterminée sur le tuyau G par les rayons lumineux qui s'appuient sur la circonférence du cercle vertical 63 sera l'intersection de deux surfaces cylindriques.
Mais la surface G étant perpendiculaire au plan de la figure 1
la construction de la courbe d'ombre portée sur ce tuyau ne présentera aucune difficulté.
En effet, si l'on veut obtenir le point 13 de la courbe 12- \^\ij on projettera le rayon 13 sur les figures 7 et 1, et Tintersection de ce rayon avec le tuyau G de la figure 1 , déterminera le point correspondant sur la surface du tuyau G de la figure?.
315. La courbe 16-15-17 qui est l'ombre portée sur le tuyau F par l'arête 62 de la bride supérieure , se déterminera de la même manière au moyen des figures 7 et 9.
Ainsi, le rayon 16 étant projeté sur ces deux figures, son intersection avec le tuyau F sera déterminée d'abord sur la figure 9, et de là sur les figures 7 etl.
316. La courbe 23-24-S5-26 est l'intersection de la surface annulaire du tuyau courbe B par la surface cylindrique formée par les rayons qui s'appuient sur l'arête circulaiiie 58 de la bride qui rattache le tuyau B avec le tuyau A.
Les différents points de cette courbe pourraient être obtenus par des plans coupants , mais il sera plus simple d'employer le principe du n° 119.
Ainsi, le point suivant lequel la courbe 23-26 coupe la ligne de séparation située sur la partie convexe du tuyau B, sera déterminé par le rayon lumineux qui contient le point 39 de Tombre portée \ et le pointsuivantlequel la même courbe coupe la ligne de séparation à droite du tuyau vertical E, sera déterminé par le rayon qui contient le point 51 de l'ombre poilée.
Pour obtenir le point 25 situé sur le parallèle 28 de la surface annulaire du tuyau B, on concevra (1 19) les deux surfaces cylindriques formées par les rayons lumineux qui s'appuient sur ce parallèle et sur l'arête circulaire 58 dont on cbercbe Tombre ; les intersections de ces deux cylindres par le plan
vertical P^ (/Igr. 1) seront l'ellipse 38*S{ de la figure 8 et Tare de cercle SB dont le centre 35 de la figare 8 est déterminé par le rayon 35 de la figare 1 .
Le point 25 suivant lequel l'ellipse 38*51 est coupée par l'arc de cercle 28 , déterminera le rayon commun aux deux cylindres, et Fintersection de ce rayon avec le parallèle 28 du tuyau B, déterminera l'ombre portée sur ce tuyau par le point correspondant de Tarôte circulaire 58 de la bride.
Le point 24 situé sur le parallèle 29 du tuyau B s'obtiendra de la même manière \ ainsi, le rayon 34 de la figure 1 percera le plan vertical P| suivant un point qui déterminera sur la figure 8, le centre 34 d'un arc de ctrcle 29 qui est l'ombre portée sur le plan P^ par le parallèle 29 du tuyau B.
Le point 24 suivant lequel l'arc 29 de l'ombre portée coupe l'ellipse 38-51 , déterminera le point 24 pour l'ombre portée sur le parallèle 29 du tuyau B par l'arête circulaire 58 de la bride.
317. On opérera de la même manière pour construire la courbe 18-19-20 et 21 qui est l'ombre portée sur le tuyau A, par l'arête 60 de la bride supérieure.
Ainsi, les points suivants lesquels la courbe demandée coupe les lignes de séparation du tuyau A, seront déterminés par les rayons qui contiennent les points 47 et 31 de l'ombre portée (fig. 8) et les points 19 et 20 de la courbe 18-21 seront déterminés par les rayons qui contiennent les points suivant lesquels l'ellipse 46-31 qui est l'ombre portée par l'arête 60 de la bride, est rencontrée par les arcs 28 et 29 qui ont pour centre les points 33 et 32, déterminés par les rayons correspondants de la figure 1 .
318. Les différents points des ombres portées sur les tuyaux de la figure 7, étant reportés sur les parallèles correspondants de la figure 1 . On tracera {fig. 1) les courbes d'ombres portées par les tuyaux sur les brides.
Pour obtenir ces courbes, on déterminera les points suivant lesquels les plans verticaux P, et P, de la figure 7 sont percés par les rayons lumineux qui s'appuient sur les lignes de séparation des tuyaux.
Ainsi, le rayon lumineux qui contient le point 8 de la ligne de séparation intérieure du tuyau C {fig. 7) percera le plan P, en un point qui déterminera un peu au-dessous du boulon m, {fig, 1) l'ombre portée par le point 8 de la ligne de séparation.
Tous les points des courbes analogues s'obtiendront de la même manière.
La petite courbe 70-71 (/Sg. 1 ) appartient à l'ombre portée par la bride 60 sur le plan vertical P, de la bride 61 .
319. Je terminerai ces études sur les surfaces annulaires, en indiquant, comme exercices , la construction des ombres portées dans la concavité des surfaces projetées sur les figures 6,12, 10 et 11.
320. Les figures 6 et 12 sont les coupes de deux anneaux par les plans P^ et P5 de leurs plus grands parallèles, et les figures 10 et 1 1 sont les coupes des tuyaux D, A, 6, E, F par le plan vertical P^ de la figure 13.
Toutes les courbes d'ombres portées pourront être facilement obtenues par les plans coupants ou par le principe du n' 119.
Ellipsoïde.
