Pour nouvel exemple des surfaces de révolution

nous prendrons un ellipsoïde dont Taxe serait placé dans l'espace d'une manière quelconque.

Les données sont (fig. 109 et 110, p{. 26 ) : '

PL, 26. ellipsoïdes. 237

1" Les deux projections ac^ q!c' de l'axe de la surface proposée ^

2** I^ droite oe (fig. 109) égale au rayon du plus grand parallèle ;

3® Les deux projections s-l, s-t' d'un rayon de lumière.

On demande les projections verticale et horizontale de la surface , et la ligne de séparation.

3S2. Les opérations qui vont suivre sont la conséquence de ce principe, dont on trouvera la démonstration dans les traités d'analyse ; lorsqu*une surface du second degré est enveloppée par un cylindre , la courbe de contact est une courbe plane.

323. Dans le cas d'un ellipsoïde, cette courbe est une ellipse.

Ainsi , les courbes suivant lesquelles la surface proposée est touchée par les cylindres projetants sont des ellipses; les traces de ces cylindres, et par conséquent les {Projections de la surface sur tels plans que Ton voudra , seront des ellipses. La ligne de séparation et Tombre portée sur un plan quelconque seront des ellipses.

Ces propriétés, particulières à Tellipsoïde, conduisent naturellement à faire usage de projections auxiliaires, perpendiculaires aux plans de toutes ces courbes , qui alors se projetteront par des lignes droites {Géom. descript.).

Voici dans quel ordre il faudra opérer :

324. Projection verticale. On construira {fig. 111) le triangle rectangle c' W, dans lequel a'V doit être égal et parallèle à ac , projection verticale de Taxe , et le côté cV égal à dv (fig. 110) doit être la différence des distances des points a' et c' au plan vertical de projection.

L'hypoténuse cV (fig. 111) sera l'axe de la surface rabattu dans sa véritable longueur sur le plan vertical de pro-

i38 SURFACES DE RÉVOLUTION. PL. 26-

jectioD ; de sorte qu'en faisant o'V ^ oe , l*ellîpse ze"a" sera une section méridienne de la surface proposée.

Le diamètre zx passant par le milieu de la corde a!'h sera la projection de Tellipse suivant laquelle la surface serait touchée par le cylindre projetant perpendiculaire au plan vertical de projection, et les droites jsjs', xod perpendiculaires sur ac détermineront les deux points z\ af pour les extrémités du grand axe de Tellipse qui forme la projection verticale de la surface. Le petit axe oe fait partie des données de la question.

325. Projection horizontale. On fera comme ci-dessus une projection auxiliaire (fig. 112) sur un plan vertical parallèle à aV.

Le grand axe a"'c'" sera l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont un côté c'V doit être égal à a!c^ (fig. 110), et l'autre o6té a'V égal à ar (fig. 109) doit être la différence des distances des points a, c au plan horizontal de projection.

Le petit axe o"'e"' est égal koe (fig. 109).

Le diamètre Jcy, passant par le milieu de la corde c'"&, sera, sur la figure 112, la projection de Tellipse suivant laquelle la surface serait touchée par le cylindre projetant perpendiculaire au plan horizontal.

Les points ft, y, projetés en k\ y', détermineront fy' pour le grand axe de Tellipse formant la projection horizontale de la surface. Le petit axe de cette ellipse s^a oe' égal à oe

(fig^ 109).

326. Ligne de séparation. On construira d'abord (fig. 113) avec un rayon o'V^, une circonférence qui sera la projection de la surface sur un plan perpendiculaire à son axe.

Pour obtenir sur la figure 113 la direction des rayons lumineux , nous construirons les deux projections d'un de ces rayons sur les figures 109 et 110 , et nous choisirons de pré-

PL. 26- ellipsoïdes. 239

férence celui dont la direction passerait par le centre de la surface.

Le point s^s! étant pris à volonté sur ce rayon , nous prendrons (/î^. 109) la distance $p, qui est la hauteur du point $ au-dessus du plan horizontal qui contient le centre de la surface, et cette hauteur sp étant portée de f! en 5'" sur la droite s'p\ on aura 5'%"' pour la projection du rayon lumineux sur la figure 112. ^

Enfin, le point /' étant projeté en «" sur le plan m'V et rabattu en s'^, on aura la droite «'"^-o*"^ pour la projection de la lum^re sur la figure 113.

Or si Ton suppose le pian méridien ^'V* rabattu (/I9. 114), la projection de la courbe de séparation sur ce plan sera une ligne droite dg.

Gela provient de ce que le méridien $^"0^ étant un plan de symétrie par rapport à Tellipsoïde et au cylindre enveloppant formé par les rayons lumineux , sera par conséquent perpendiculaire au plan qui contient tous les points de la ligne de contact.

L'ellipse aV étant une section méridienne, est égal aux ellipses que nous avons déjà construites {^g. 111 et 112), le rayon 5^-0^ s'obtiendra en portant sur la figure 114, è^(^ égal à 5"'9 , qui, sur la figure 112, réprésente la distance du point $ au plan du plus grand parallèle de la surface.

Le diamètre dg , projection de la ligne de séparation , doit passer par le milieu de la corde a^'i parallèle à «V. La ligne de séparation étant obtenue sur la figure 114, il reste à la construire successivement sur chacune des projections précédentes.

327. Si nous supposons que la surface soit coupée par un plan mi , perpendiculaire à Taxe a^o^, la section sera un cercle projeté (/î^. 114) par la droite mt ei(fig, 113) par la circonférence m't'tn!. L'intersection de cette circonférence avec la ligne de séparation déterminera deux points projetés sur la

figure 1 14 par le point unique m , et sur la figure 113 par les deux points m'.

L'un de ces points m', projeté en m" et ramené de là en m'", sera le pied d'une droite m"W^. perpendiculaire au plan m"V, et sur laquelle on fera nW^ égal à mn^ qui , sur la figure 114, représente la distance du point m au plan du plus grand parallèle de la sur&ce.

. L'intersection de la droite nnTuifC perpendiculaire sur aV avec la droite mW, perpendiculaire sur oV, déterminera le point m^, projection du point m sur la figure 110.

Enfin , pour avoir la projection du même point sur la figure 109, on fera tiW égal à um'^, qui, sur la figure 112, exprime la distance du point m au pian horizontal qui contient le centre de la surface.

Les mêmes opérations répétées feront connaître autant de points que Ton voudra.

328. J'ai donné cet exemple pour faire comprendre comment, par un choix plus ou moins heureux de plans auxiliaires, on peut réduire en quelque sorte à leur plus simple expression les projections des lignes qui concourent à la solution d'un problème.

On pourrait représenter par une seule ellipse les trois projections auxiliaires, 111, 112 et 114, rabattues les unes sur les autres en tournant autour de l'axe , mais dans ce cas la difficulté de suivre par la pensée le chemin parcouru par chaque point dans ces divers rabattements , n'aurait pas été compensée par l'avantage de construire deux ellipses de moins.

Cette manière de disposer l'épure aurait eu , il est vrai , pour résultat, d'habituer le lecteur à vaincre les obstacles qui résultent souvent du peu d'étendue de la feuille sur laquelle il dessine, mais j'ai cru devoir préférer ici la disposition qui met le plus clairement en évidence les propriétés qui appar-