L'Épure de la planche 27 a pour but de construire

1* "i"" La courbe suivant laquelle deux ellipsoïdes de révolution se pénètrent ;

2^ mmm La ligne de séparation sur chacune de ces deux surfaces \

3® mtmm Lcs courbcs d*ombres portées sur les plans de projections ;

4* "i" Les courbes d'ombres portées par Tune des deux surfaces sur l'autre.

332. Disposition de rÊpore. Les deux ellipsoïdes donnes étant désignés par E et par F, nous prendrons un premier plan de proportion , que nous supposerons horizontal, et perpendiculaire à Taxe de la surface Ë^ le second plan de projection A'Z', devra être pris parallèle aux deux axes , et par conséquent vertical.

Comme nous Pavons déjà fait pour les épures des planches 6 et 24, nous désignerons par A'Z', la trace du plan sur lequel les projections sont accentuées par des '-, par A"ll" le plan sur lequel les projections sont accentuées par des " , et ainsi de suite.

Ces dispositions étant adro ises, on construira successivement, 1** BiBB La circonférence E dont le rayon est donné. ^ mmmm L'ellipse E' dont on oonnatt les axes. 3** wmm L'ellipse F' dont les axes sont également connus. 4® i^^ L'ellipse F dont le petit axe est égal à celui de F' et dont le grand axe nn est la projection du diamètre nV déterminé par les deux tangentes perpendiculaires à la droite A'Z'.

333. courbes de pénétration. La géométrie descriptive fournit plusieurs moyens de construire la courbe suivant laquelle se pénètrent les deux surfaces données. Mais , la nature particulière de ces surfaces nous permettra d'employer une méthode extrêmement simple, qui résulte du théorème suivant :

334. Si Von conçoit deux surfaces quelconques du sêoond degré circonscrites à une sphère , les deux pr^mère$ surfaces se pénétreront suivant deux courbes planes et par çonséq^€nt du second degré.

On peut ajouter, que ces deux courbes , et les deux cercles suivant lesquelles la sphère est touchée par les d^ux surfaces enveloppantes , passent par deux points situés qux ^trèfgiités ffune corde qui leur est commune.

¥1. %'J. BLUPSOIDES. ' 243

Ainsi, par exemple, si une sphère d (/Sff, 17) est touchée et enveloppée par deux ellipsoïdes de révolution e et ^ et si Ton suppose que le tout soit projeté sur un plun parallèle aux grands axes des deux elipsoïdes, ces deux surfaces se pénétreront suivant les ellipses projetées sur la figure par les droites a,a^ ce.

Ces deux ellipses , et les deux cercles uu^vty suivant lesquels les ellipsoïdes e et /* touchent la sphère inscrite , se coupent aux extrémités d'une corde commune , projetée sur la figure par le point q\ et cette droite est par conséquent riotersection des plans P| P, ?« et P^ qui contiennent les quatre courbes aa, ce, w, uu.

Gela aurait également lieu si la sphère était enveloppée :

Par un ellipsoïde et un hyperboloïde de révolution (fig. 19);

Par un hyperboloïde et un paraboloïde (fig, 10) ;

Par deux hyper boloîdes ou deux paraboloïdea;

Par deux cylindres (fig, 1) ;

Par un cylindre et un cône {fig, 9) 5

Par deux cônes (fig. 20).

Enfin, comme nous l'avons dit plus haut, par deux surfaces quelconques du second degré.

335. Voyons actuellement comment le théorèma qui précède pourra nous servir à déterminer la courbe suivant laquelle se pénètrent les deux ellipsoïdes donnés.

On sait ( Géométrie descriptive) que pour obtenir les points communs à deux surfaces, il faut les couper par un certain nombre de surfaces auxiliaires.

Il ne reste donc plus qu'à choisir ces surfaces , de manière que les courbes , suivant lesquelles elles coupent le^ surfaces données , soient les plu$ simples possible*.

Or, on sait;

l"" BMM Que la section d'un ellipsoïde par un plan est toujours une ellipse.

ÎU SURFACES DE HÉVOLUTION. PL. 27-

2* HB Que les sections d'an ellipsoïde, par des plans

parallèles , sont des ellipses semblables.

Par conséquent, s'il était possible de trouver un plaa qui coupât les ellipsoïdes donnés suivant deux ellipses semblables; il en serait de même de toutes les sections par des plans parallèles au premier; de sorte qu'en choisissant un plan de projection sur lequel une de ces ellipses se projetterait par un cerice , toutes les autres ellipses , semblables et parallèles à la première, se projetteraient également par des cercles ; et la construction de l'épure serait alors très-simple.

La solution du problème se trouve donc réduite aux deux opérations suivantes :

1^ WÊÊÊmm Déterminer la direction des plans qui coupent les deux ellipsoïdes donnés , suivant des ellipses semblables et parallèles.

2" ■■■ Trouver un plan de projection sur lequel toutes ces ellipses se projettent par des cercles.

336. Première opération. Plans coupants. Pour satisfaire à la première des deux conditions précédemment énoncées , on pourra opérer de la manière suivante :

V mtmm On prendra dans l'espace un point quelconque o

(fig. 17).

2** i^" De ce point comme centre on décrira une circonférence quelconque d ; 3'' HMi On fera :

VO' : O'H :: vo : oh (fig. H) {fig. 17)

cette proportion déterminera oh et l'on construira une ellipse sur les deux axes vo et oh (fig. 17) cette courbe sera semblable et parallèle à l'ellipse F' de la figure 11 ^ On fera ensuite :

IG' : C'G :: uo : ok (fig.U) (fig.il)

PL. 27. ellipsoïdes. S45

ce qui déterminera ofc et l'ellipse construite sur les^ deux axes ou et ok sera semblable et parallèle à Tellipse E' de la figure 1 1 ; 5^ "iiMB Les deux ellipses « et ^ de la figure 17 pourront alors être considérées comme les projections de deux ellipsoïdes de révolution circonscrites à une même sphère d, et les droites aa^ te étant les projections des deux ellipses suivant lesquelles les ellipsoïdes e et f se pénètrent, il s'ensuit que les sections parallèlesà l'un des plans Pi ou Pt seront semblables et parallèles à Tune des deux ellipses <ia ou ce.

337. C'est pour mieux faire comprendre ce qui précède que j'ai construit la figure 17, mais il est évident que tout cela peut être facilement exécuté sur la figure 11 . Ainsi, on construira :

1' MMB La circonférence .D qui sera la projection de la

sphère inscrite dans Tellipsoïde donné F'.

2^ — ■ On fera la proportion C'i : C'G :: O'U : O'K, ce qui

déterminera O'K.

S"" ■»■ Sur les demi-axes O'U, O'K on décrira l'ellipse UK

qui sera semblable et parallèle à l'ellipse IG. 4' mm^B Les deux ellipses UK et VH seront les projections de deux ellipsoïdes circonscrites à la sphère D, et les sections de ces deux ellipsoïdes par des plans parallèles au plan P seront des ellipses semblables et parallèles. Mais l'ellipsoïde auxiliaire UK, étant semblable et parallèle à l'ellipsoïde E', il s'ensuit que les sections des trois ellipsoïdes E', F' et UK par des plans parallèles au plan P seront toutes semblables et parallèles entre elles.

On aura donc déterminé la direction des plans par lesquels il faut couper les deux surfaces données E' et F', pour que toutes les courbes de section soient des ellipses semblables et parallèles.

338. Deuxième opération. Plans de projection, La section de rellipsoïde F' par le plan P sera une ellipse qui aura pour demi grand axe la droite C'a et pour demi petit axe une droite ëgale à O'V qui est le rayori de ta sphère inscrite D.

Or, la demi-circonfërence O'ca décrite sur O'a comme diamètre rencontrera la circonférence D eii un point c, de sorte que la corde O'c sera égale à O'V, et par conséquent au demi petit axe de Tellipse aa et le triangle acO* étant rectangle en c la corde cO' sera la projection de Thypoténuse O'a d'où il résulte que sur le plan Â^Z^ ou sur tout autre plan qUi serait perpendiculaire à la corde ac l'ellipse aa Se projettera par un cercle, puisque la droite O'a qui est le demi grand axe de cette ellipse aura pour projection la droite O'c qui est égale au rayon de la sphère inscrite dans Tellipsoïde et par conséquent au petil axe de l'ellipse aa.

Puisque Tellipse aa se projette pat UA cercle sur le plan A'*Z^ perpendiculaire à la corde ac, il en sera de même de toutes les ellipses seitiblables et parallèles que Toifi obtiendra en coupant les deux ellipsoïdes donnés E' et F' par des plans parallèles au plan P. Par conséquent,

339. Pour avoir iln point de la courbé suivant la(|Uelle les deux ellipsoïdes doutiés âe pénètrent, on pourra Opérer dé la manière suivante :

1» Mim On coupera les deux surfaces par un plan Pi parallèle au plan P, ce qui donnera pour sections deux ellipses semblables, parallèle^, et projetées suf le plan vertical A'Z' par les droites 1-1 et 2-2 égales aux grands axes de ces deux ellipses.

La première de ces deux Courbes aura potlt* centre le point 3 milieu de son grand axe 1-1, et le point 4 milieu de la droite 2-2 sera le centre de là seconde ellipse.

2° ■—■ Les points 3 et 1 étant projetés sur le plan A^Z* et