liinaodos^PAratlonsnrlasnrfaceF

!• WÊmm On projettera cette surface sur un plan A'"Z"' perpendiculaire à son axe O'H, ce qui donnera le cercle F"';

2* i^M On fera la distance e"'S'" de la figure 3 égale à eS de la projection horizontale {fig. 13), et la droite S'W sera la projection du rayon SO, S'O' sur le plan A'"Z'" perpendiculaire à l'axe de Tellipsoïde incliné F'.

3* wmÊÊam L'ellipse F'^ égale à Tellipse F' sera la projection de la surface F' sur un plan A'^Z'^ parallèle à son axe et au rayon de lumière S'W^

4* csHM Sur la figure % la ligne de séparation sera projetée par le diamètre 13-14 que Ton obtiendra en joignant le centre 0^ avec le milieu d'une corde quelconque 18-16 parallèle à la projection S'^O'^du rayon lumineux. Pour construire F*^0" ou fera r^S*"" de la figure 2 égale à r'S' de la figure 1 1 ;

5® "iiHB Les points 13 et 14 de la figure 2 étant projetés sur la figure 3, il sera facile de construire Tellipse 14- 17-13 et 18 qui forme la ligne de séparation sur l'ellipsoïde F'";

6* "^M La ligne de séparation sur la surface F' se déduira de ses projections sur les figures F'" et F'^, en abaissant par chacun des points de la courbe projetée sur F'", une perpendiculaire à la ligne A'"Z'", et portant sur cette perpendiculaire la distance au plan P, qui contient le plus grand parallèle de rellipsoïde F'^ ^

PZ. 27. ellipsoïdes. 249

Ces opérations n'ont été conservées que pour les points 19 et 20; 7® BiHM Enfin, la ligne de séparation sera déterminée sur la projection horizontale F, en abaissant par chacun de ses points sur la projection F', une perpendiculaire à la ligne A'Z', et prenant sur la figure F'" la distance au plan Ps qui est parallèle au plan vertical A'Z' et qui contient le centre 0,0',0'" de Tellipsoïde F.

342. ombres portées. Les rayons lumineux qui s'appuient sur les deux ellipsoïdes donnés, formeront dans l'espace des cylindres elliptiques qui auront pour directrices les deux lignes do séparation que nous venons d'obtenir.

Les traces verticales de ces cylindres seront deux ellipses dont les centres %>' et tt' seront déterminés par les rayons de lumière qui passeraient par les centres CC et 00' des deux ellipsoïdes donnés.

Les rayons lumineux qui s'appuient sur les lignes de séparation, détermineront tous les points des deux ellipses qui forment le contour de l'ombre portée sur le plan vertical A'Z' et sur le plan horizontal de projection.

343. ombre portée par l'un des ellipsoïdes sur l'autre. Les points 21 et S2 suivant lesquels se coupent les deux ellipses qui forment le contour de l'ombre portée sur le plan vertical A'Z', détermineront les rayons de lumière communs aux deux surfaces cylindriques formées par les rayons qui s'appuient sur les deux lignes de séparation, et les points 21 et 22 de rellipsoïde EE', seront par conséquent les ombres portées sur l'une des lignes de séparation par les points correspondants de l'autre.

Pour obtenir d'autres points de la courbe demandée on pourra opérer de plusieurs manières.

344. Première inélhode* Si l'on veut obtenir les points de l'ombre portée sur un parallèle déterminé de l'ellipsoïde E , on pourra employer le principe du numéro H9.

Ainsi les rayons lumineux qui s'appuieraient sur le parallèle donné, et sur la ligne de séparation de Tellipsoïde FF', formeront deux Cylindres dont les traces horizontales seront tin cercle et une ellipse; et les intersections de ces deux courbes appartiendront aux rayons communs à ces deux cylindres , ce qui déterminera les deux points d'ombres portées par la première des deux lignes sur la seconde.

Les limites de l'épure n'ont pas permis d'exécuter cette construction.

345. Deuxième méthode. Supposons que Ton veut obtenir l'ombre portée sur Tellipsoïde E', par le plus bas des deux points qui sont désignés par le n** 20 , sur la projection verticale F'.

On coupera la surface E' par le plan P^ parallèle au rayon de lumière S'O' et perpendiculaire au plan vertical de projection a'Z', la sectîtRTsera une ellipse dont il sera facile de construire la projection horizontale; et l'intersection de cette courbe par le rayon qui contient le point 20 de l'ellipsoïde F' déterminera l'ombre portée par ce point sur la surface E.

Cette opération n'a pas été tracée sur l'épure.

346. Troisième Vhithode. Si l'on veut éviter la ()rojecli6ft elliptique de la cotirbê, suivant llËiquelle la surface E' est coupée par lé plan P^ on ettiploira un plan de projection sur lequel cette courbe serait projetée par un cercle.

Pour obtenir ce platl on devra opérer comme nous l'avôhs fait au n^ 338; ainsi la coUrbé dont il s'agit est une ellipse qui a pour grand axe la corde 24-24 de Tellipse E'," et pour demi petit axe l'ordonnée 26-27 de la dertîl-clrconféreiidè 25-27-25 qui appartient au parallèle 25-25 rabattu.

Or, si Ton construit le triangle rectangle 26-28-24,

PL. 27- ellipsoïdes. 281

dont l'hypoténuse 26-24 est égale au demi-grand axe de l^ellipse 24-24, et qui a pour côté d'angle droit la droite 26-28 égale au demi-petit axe 26-27 de l'ellipse dont il s'agit , cette courbe se projettera par un cercle sur tout plan, lel que A^Z''', qui serait perpendiculaire âU côté 24-28 du triangle 26-28-24 , puîscjue sur ce plan Â^2^', ou sur tout autre plan qui lui serait parallèle , la projection 26-^8 du demigrand axe 26-24 de l'ellipse dont il s'agit, sefa évidemment égale au demi-petit axe 26-27 de la tnême ellipse.

Ce qui précède étant admis, si l'on rabat le rtouVeaU plan de projection A'Z", en le faisant tourner autour de sa trace horizontale, le point 20 de la courbe de séparation dé P' viendra se projeter (/îg. 14) sur la droite 29, parallèle à la ligne A'Z' et passant par le point 20 de rellipsolde P î Tellipse 24 de la projection E' se projettera sur le plan A^Z^* parl'arc de cercle 30; le rayon SO, S'O' Sera projeté sur le même plan par la droite S^'O^', et la droite 20-20 menée parallèlement à S^*0*' par 1 point 20 de la ligne 29, sera la projection sur le plan k^V^ du rayon lumineux qui contient le point 20 de rellipsoïde F'.

L'intersection du rayon 20 rabattu , avec Tare de cercle 30-30 , déterminera sur cette ligne le point 20 de l'ombré portée que Ton ramènera successivement, sur À'Z', sur A^Z" et de là sur la trace du plan coupant !** par une perpendiculaire au plâh de projection A^2".

Il ne faut pas oublier que leâ droites SO, S^'C^S sont les projections du rayon lumineux sur deux plans différents, d'où il résulte que ces deux lignes ne sont pas parallèles, et s! , dans le cas actuel , la différence de leur direction paraît insensible, cela ne doit être attribué qu'au peu d'inclinaison du plan de projection PCZ^\ par rapport au plan horizontal, qui contient la projection SO.

Les abréviations que Ton obtient par la méthode précédente proviennent surtout de ce qu'en coupant la surface E par des plans parallèles au plan projetant P4 les ellipses de

sections seront toutes semblables et parallèles, de sorte que chacune d'elles sera projetée par un cercle, sur le plan A^Z^ rabattu.