Quatrième méthode
|o ^^^ qq projettera le point 20 de Tellipsoïde F sur le plan vertical A"Z",en prenant la hauteur de ce point sur la projection F'.
go g^,^ qq coupera rellipsoïde EE" par le plan P^ passant par le point 20, perpendiculaire au plan vertical A"Z", et parallèle au rayon de lumière S"0".
La courbe de section sera une ellipse 31-31, dont on évitera la projection elliptique, en employant comme ci-dessus un plan de projection A^^Z''" sur lequel cette courbe se projetterait par un cercle.
Pour déterminer la direction du plan A^"Z"*, on décrira la demi-circonférence 33-34-31 dont le diamètre 33-31 est égal à la moitié de la corde 31-31 , qui est le grand axe de Tellipse.
Le centre 33 de cette courbe sera situé sur la projection 7-8 de la ligne de séparation de la surface E".
L'ordonnée 33-35 du parallèle 32 rabattu , sera le petit axe de l'ellipse, et si Ton construit le triangle rectangle 33-36-31 , dont l'hypothénuse 33-31 est égale au demi-grand axe 33-31 de l'ellipse 31 -31 , et dont le côté 33-36 est égal au demi-petit < axe 33-35 de l'ellipe dont il s'agit. Cette courbe se projettera par un cercle sur tout plan , tel que A'^^'Z^", qui serait perpendiculaire au côté 31-36 du triangle rectangle 33-36-31 , puisque la droite 33-36, projection du demi-grand axe 33-31, sera égale au demi-petit axe 33-35 de l'ellipse.
La disposition précédente étant adoptée, on agira comme au n" 346.
Ainsi , le nouveau plan de projection A^^Z''" étant rabattu en A^'^'Z'"* autour de l'horizontale projetante du point A'
TU
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Tellipse 31-31 de la figure F" sera projetée {^g. 15) par la circonférence 37, et le rayon lumineux qui contient le point 20 de la projection F , déterminera sur la circonférence 37, le point 20 de Tombre portée ; on ramènera successivement ce point, sur A^"Z^"', sur A7"Z"' et de là sur la trace du plan P» par une perpendiculaire au plan de projection A.^'Z''".
Le point 20 étant obtenu sur la projection E", il sera facile de déterminer sa projection sur le plan horizontal (/i^. 13).
L'intersection du cercle 37 par le rayon du point 20 détermine un second point 23 , qui fait partie de la courbe suivant laquelle la surface de l'ellipsoïde E serait traversée par les prolongements des rayons lumineux qui s'appuient sur la surface F. On peut construire cette partie de courbe comme exercice.
La méthode que nous venons d'exposer est plus simple que la précédente , parce que le plan de projection A"Z" est parallèle aux rayons lumineux, d'où il résulte que les projections de ces rayons sur le plan rabattu A^"Z^*", se confondent avec leurs projections sur le plan horizontal.
On n'a projeté sur la figure 21, que la ligne de séparation F" de la surface F 5 on remarquera que cette courbe ne se projette pas en ligne droite comme sur les figures 2 et 22, ce qui provient de ce que cette projection parallèle à la lumière n'est pas en même temps parallèle à l'axe de l'ellipsoïde F, d'où il résulte que le plan qui coupe symétriquement cette surface et le cylindre formé par les rayons lumineux qui l'enveloppent n'est pas parallèle au plan de projection A"Z", ce qui serait nécessaire pour que la ligne de séparation se projetât en ligne droite.
348. Cinquième méthode. Avant d'exposer cette dernière méthode, je ferai remarquer que le but auquel on s'est principalement proposé d'atteindre par les méthodes précédentes, était d'éviter les projections elliptiques des courbes suivant
iU SURFACES DE RÉVOLUTION. PL. 27-
lesquelles la surface E est coupée par les plans projetants des layons (uipineux. Jusqu'ici nous y sommes parvenus en faisant usage d'un plan de projection dirigé de manière que su^ ce pliin, la projection du grand axe de chaque ellipse est égale au
petit axe.
Or, la projection d'une droite diminuant de longueur à mesure que Ton augmente Tangle que cette ligne fait avec le plan de projection, il est évident que Ton pourra toujours incliner ce plan par rapport à la ligne donnée d'une quantité suffisante pour que la projection de cette ligne (fig. 5) soit aussi courte que Ton voudra.
Hais on peut encore éviter les projections elliptiques des courbes de section en faisant usage d'un plan sur lequel la projection du petit axe de chaque ellipse sera égale à son grand axe.
11 est \rai , qu'alors les lignes projetantes ou ordonnées de chaque ][»oint (fig. 6) ne seraient plus perpendiculaires au plan AZ de projection comme dans tous les exemples qui précèdent.
Mais en faisant usage d'ordonnées obliques, telles que HW, NV (/s?* 6) on pourra toujours donner à ces ordonnées une direction telle que la projection mV de la droite M'iY, sait aussi longue que l'on voudra.
La projection d'une courbe, dans ce cas, serait une section oblique du cylindre projetant, au lieu d'en être une section droite, comme dans les projections ordinaires ou orthogonales.
349. Supposons donc {fig, 4) que TeUipsoîde EE' soil coupé par un certain nombre de pians PijPsPs etc. parallèles entre eux, et à l'axe de la surface que nous supposerons ici vertical.
Adoptons, pour les horizontales projetantes aa'\ od\ cd' telle direction que nous voudrons^ puis, faisant aV égale au grand axe t?u de l'ellipse ao il est évident que la projection ohliqm de cette ellipse sur le plan vertical V'Z" sera un cercle dont le rayon a'V sera égal à ov puisque sur le plan A"Z",
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la projection aV du petit axe de Tellipse ac sera égale au grand axe vu de la même ellipse. Toutes les ellipses suivant lesquelles la surface E e$t coupée par les plans ppiPi etc, étant semblables et parallèles , leurs projections obliques sur le plan vertical â''Z" seront des cercles dont tous les centres seront à la même hauteur.
Si la direction des horizontales projetantes aa^"y ocl'\ etc, est perpendiculaire aux plans coupants pp^p^ etc., et si Ton fait comme précédemment a'V égale au grand axe vu de l'ellipse ac^ les projections obliques de toutes les courbes de section sur le plan vertical h!"7!" seront des cercles concentriques, ce qui sera encore plus simple.
C'est principalement dans cette disposition d'épuré ^ que (insiste la méthode que nous allons exposer.
Ainsi, p^r exemple, si pour avoir les ombres portées par la surface F sur Tellipsoïde E,.nous coupons cette dernière surface par des plans verticaux parallèles à la direction de la lumière , nous obtiendrons pour sections , une suite d'ellipses semblables et parallèles au méridien E" {fig. 22) ou E' (/Sjf. il).
Or, si du point C comme centre, avec une ouverture de compas égale à C'Q de la projection verticale {fig, 11), nous décrivons un arc de cercle, nous déterminerons le point M'', et la droite M'^N'^ sera égale au grand axe du niéridien UM, de sorte que si nous prenons T horizontale MM*^ pour direction des obliques projetantes, toutes les sections de l'ellipsôide E par les plans projetants verticaui( des rayons lumineux, se projetteront par des cercles coucentriques sur le plap vertical A'^'Z", ou sur tout autre plan A^'Z'' qi^i lui serait parallèle.
Supposons donc, que, pour vérifier les opérations qui précèdent, nous voulons déterminer par cette méthode, l'ombre portée sur l'ellipsoïde E, par le point 20 de la surface F.
Nous couperons la surface E par le plan vertical P, qui contient le rayon lumineux passant par le point 20 de la surface F.
L'ellipse 39 provenant de la section de la surface E par le
plan vertical Pe se projettera obliquement sur le plan A"Z*^ par un cercle qui, ramené dans le plan A^Z^ et rabattu sur l'épure donne pour résultat la circonférence 39.
L'horizontale projetante du point SO de la surface F {fig, i3) perce le plan de projection oblique A'^Z" en un point, qui ramené et rabattu dans le plan A^Z', donne le point 20 sur la courbe P qui est la projection sur le plan A^Z^ de la ligne de séparation sur la surface F.
Enfin, le rayon lumineux 80, 80' étant projeté par 8*0* sur le plan A*Z*, on tracera le rayon du point 20 de la courbe P, et rintersection de ce rayon avec la circonférence 39 déterminera les points d'ombre portée 20 et 23 que Ton ramènera d'abord sur A"Z", puis sur la trace du plan vertical Pe par des horizontales projetantes perpendiculaires à ce plan, et de là sur la projection verticale E', par des perpendiculaires à la droite A'Z'.
Les mêmes opérations répétées feront connaître autant de points que Ton voudra, pour Touibre portée sur la surface E par l'ellipsoïde F.
Pour ne pas embarrasser l'épure, j'ai seulement indiqué les opérations nécessaires pour déterminer les points 20 et 38 de l'ombre portée, et les points 23 et 41 suivant lesquels les rayons 20 et 38 prolongés perceraient une seconde fois la surface de l'ellipsoïde E.
J'ai indiqué les diverses méthodes qui précèdent, afin que les élèves puissent s'exercer sur chacune d'elles, car on ne peut pas dire qu'en pratique, l'une soit absolument préférable à toutes les autres, et lorsque l'emploi d'une méthode conduit à des intersections trop aiguës, il est évident qu'il faut par d'autres moyens vérifier la position du point que l'on a obtenu.
