Si on faisait tourner le plan tangent autour de la gé

nératrice ac^ le point de tangence glisserait le long de cette droite et changerait de place pour chacune des diSërentes positions du plan tangent.

354. Si la surface réglée avait un plan directeur, et que le plan tangent lui fût parallèle, le point de tangence serait à l'infini.

355. D'après cela , on conçoit comment il sera possible de déterminer la ligne de séparation sur une surface réglée.

I"" On fera passer (fig. 122) par chaque génératrice un plan parallèle à la direction de la lumière;

S"" On déterminera le point où chacun de ces plans to%iche la surface (352).

La courbe passant par tous ces points sera la ligne cherchée.

356. Si on remplace le rayon lumineux par une droite perpendiculaire au plan de projection^ la courbe que Von obtiendra sera le contour de la projection de la surface.

357. On pourrait remplacer la construotion de la courbe vu (fig, 118) par celle d'une ligne droite.

En effet, soient les trois courbes A^ B^ G (fig. 119) servant de directrices à une surface réglée , ac étant une généralrice de la surface.

Par les points a^^s.^ e^ suivant lesquels la droite ac s'appuie sur les trois directrices A , B, G, concevons les trois tangentes t, t\ t".

Ges tangentes pourront être prises pour directrices d'un hyperboloîde à une nappe qui touchera la surface donnée suivant toute la longueur de la génératrice ac , d'où il résulte que tout plan tangent à Thyperboloïde sera tangent à la surface primitive.

PL. 28. HYPERBOLOIDE. 259

Or on sait que , par suite de la double géuération de Thyperboloïde , tout plan tangent à cette surface contient les deux génératrices droites qui passent par le point de tangence. De sorte que Tune de ces génératrices étant prise pour première tangente , la seconde génératrice remplace la courbe de section vu (fig. Ii8)^ qui dans le cas de Thyperboloïde se confond avec sa tangente.

358. Supposons actuellement que par la génératrice ne on ait fait passer un plan tangent quelconque (351 ) et que Ton veuille déterminer le point où ce plan touche la surface.

l"" On construira les trois tangentes t, t', t'' directrices de fhyperboloîde tangent.

2** Les deux droites aV, a^'c*' qui s'appuient sur les trois tangentes.

3** Les deux points m , n , suivant lesquels les droites aV, a*'c" sont coupées par te plan tangent , et la ligne mn qui joint ces points y sera la deuxième tangente.

En effet, cette droite s'appuyant sur les trois directrices aV, ac, aV sera une génératrice de Thyperboloïde et, par conséquent, sera tangent à la surface primitive.

L'intersection des deux tangentes ac, nm déterminera le point de tangence o.

359. Chacune des tangentes t^ t\ f combinée avec la droite ac , déterminera un plan tangent.

Dans chacun de ces plans on pourra mener une infinité de droites tangentes à la surface, et si on prend une quelconque de ces tangentes dans chacun de ces trois plans tangents, on pourra en faire les directrices d'un hyperboloîde tangent.

Or, puisque Ton peut prendre pour ces directrices, les tangentes que l'on voudra , il en résulte qu'il y a une infinité d'hyperboloïdes tangents à la surface donnée suivant la droite ac^, et que l'on pourra toujours choisir parmi ces hyperbo-

loîdes celui qui, par la disposition de ses directrices, serait le plus commode pour la construction de Tépure.

Si on choisit de préférence trois tangentes parallèles à un même plan , elles pourront être prises pour les directrices d'un paraboloîde hyperbolique, dont la construction est ordinairement plus simple que celle de Thyperboloïde à une nappe.

Enfin , le plan directeur du paraboloîde pouvant être pris à volonté on pourra choisir celui dont la direction serait la plus favorable.

360. Dans tous les cas, la construction du plan tangent à une surface réglée quelconque , peut toujours être remplacée par la construction du plan tangent à un hyperboloîde ou à un paraboloîde qui toucherait la surface donnée, suivant la génératrice sur laquelle on veut obtenir le point de tangence, et Tavantage qu'il y aurait à cette solution serait de remplacer la courbe vu (fig. 118), par une ligne droite mn (fig. 119).

361 . Lorsque Ton applique cette théorie à la recherche de la ligne de séparation , tous les plans tangents doivent être parallèles à la direction du rayon lumineux.

Or, si on prend un plan auxiliaire de projection , perpendiculaire à cette droite , la construction de la courbe vu (fig. 118)ou de la droite mn(fig, 119) seraplus facile^ puisqu'elle dépendra de l'intersection des génératrices de la surface ou du paraboloîde tangent, par un plan perpendiculaire au plan de projection.

362. J'ai dû, avant d'aborder les applications, résumer en quelque sorte toute la théorie des plans tangents aux surfaces réglées , afin d'avoir un point de départ auquel le lecteur puisse rattacher les solutions particulières, à chacun des exemples que nous allons choisir pour sujet d'exercice.

Malheureusement , le principe général , tel que nous venons

PL. 28- HYPERBOLOIDE. â61

de l'exposer, n'est presque jamais applicable, pour deux raisons. ' '

La première , c'est que dans la pratique on rencontre trèspeu de surfaces réglées qui se contournent , se tordent en quelque sorte assez brusquement, pour que le plan qui contient la génératrice que Ton a choisie pour première tangente puisse couper les autres génératrices dans les limites de la feuille sur laquelle on dessine.

Ensuite , quand ces intersections ont lieu sur Tépure , elles se font presque toujours suivant des angles si aigus , qu'il n'est pas possible de compter sur l'exactitude de la courbe ou de la droite qui en provient. D'ailleurs , cette courbe ou cette droite , en les supposant rigoureusement obtenues , coupent souvent la première tangente trop obliquement pour déterminer le point de tangence d'une manière convenable.

C'est pourquoi on préfère presque toujours employer une construction particulière dont le choix est déterminé :

1® Par la nature particulière de la surface ^

2® Par sa position dans l'espace \

3*^ Par la direction des rayons lumineux.

Hyperboloîde de révolution.

363. Proposons*-nous, par exemple, de construire les projections et lesombres d'un hyperboloîde de révolution à une nappe posée transversalement sur un cylindre circulaire horizontal A.

On sait {Géométrie desc, ) que cette surface peut être classée à volonté parmi les surfaces réglées ou parmt les surfaces de révolutions.

Sous ce dernier point de vue , il est évident que l'on pourrait opérer comme nous l'avons fait pour le tore et les surfaces de révolution qui en dépendent.

Mais cette méthode ayant été suffisamment étudiée , nous

363 SURFAŒS RÉGLÉES. PL. 28-

considérerons l'exemple proposée comme surface réglée, et dans ce cas, voici quel sera Tordre des opérations :