Les données sont

1* La projection hh! de Taxe sur le plan vertical (/S^. 123)^

2^ La projection verticale ze d'une génératrice , et la projection Vc' de cette même génératrice sur le plan de la figure 121, qui est perpendiculaire à l'axe, et sur laquelle, par con* séquent , cet axa se projette par un point hl\

3* liCs deux projections $1 , $^l!^ d'un rayon de lumière.

365. Projecliom, On commencera par construire la projection i24 perpendiculaire à Taxe hh^Ae h surface (Créomc^ trie descriptive).

Pour plus de régularité dans Tépure, on pourra décrire 1» circonférence zWu' avec un rayon tel que Tare zV ail une commune mesure avec la circonférence z^mV.

Cette commune mesure divisera donc l'arc s^c^ et la circonférence jsWu^ en parties égales.

Quoique la surface proposée puisse être engendrée par une droite, de deux manières différentes, on n'a représenté ici qu'une des deux générations.

Projection verticale. Par les points z, c, ramenés (fig. 123) sur la génératrice zc , on construira les deux plans pq , pV perpendiculaires à Taxe W, Les intersections de la surface par ces deux plans, seront deux cercles parallèles projetés (fig. i 24) par la circonférence /mV.

Les points de division de cette circonférence étant projetés sur ^y, on les ramènera dans les plans pq, p^q% en les faisant tourner autour de rhorizontale projetante du point g.

Cette opération déterminera [fig. 123) les points par lesquels doivent passer les projections verticales des génératrices de la surface.

On fera bien, pour éviter les erreurs, de désigner par un

PL. 28- HYPERBOLOIDE. 263

même chiffre les points qui , dans les plans pq^p'q\ appartiennent à la même génératrice.

366. Projection horizontale. Par tous les points projetés sur les traces des plans pg, pY (fi9' ^^3), on abaissera des verticales dont les intersections avec les droites menées parallèlement à la ligne AZ par les points correspondants de la figure 124 détermineront, sur la figure 125, les projections borisontales de ces mêmes points.

Cette opération donnera les deux ellipses jsV, c"n^.

Enfin, enjoindra les points obtenues sur la première de ces deux ellipses avec les points correspondants de Tautre , ce qui donnera les projections horizontales des génératrices de la surface.

367. Contour dt$ projecliom. Des courbes tangentes aux projections verticales et horizontales des génératrices que nous venons de tracer détermineront le contour des projections avec toute Texaclitude suffisante pour la pratique.

On conçoit d'ailleurs qu'en construisant un plus grand nombre de génératrices Tensemble des parties très-petites comprises entre les points où chacune de ces droites est coupée par celle qui précède et par celle qui suit, formerait la courbe sans qu'il soit nécessaire de la tracer.

On est d'autant plus autorisé à regarder ce résultat comme suffisamment exact que ces portions de droites "sont plus petites précisément là où la courbure de la ligne cherchée est la plus grande.

Une autre raison pourrait encore engager à se contenter du contour formé par les intersections des génératrices, c'est qu'en général les projections des corps inclinés n'étant employées que pour décrire les objets , pour en faire mieux comprendre la forme , et pour indiquer les relations de position qui existent entre ces objets et d'autres qui seraient placés ^autrement dans l'espace, ces sortes de projections n'exigent pas

une exactitude aussi rigoureuse que celles qui ont pour but de déterminer le tracé des coupes nécessaires à la constructioit dir corps représenté.

Or, les personnes qui ont l'habitude des ateliers savent que^ lorsqu'on veut exécuter une pièce quelconque de machine oa de bâtiment, on fait une projection particulière de cette pièce sur le plan de projection le plus simple , quant à sa position y et Ton évite au contraire tes protections obliques , qui ne donnent jamais les véritables dimensions de l'objet proposé.

Cependant, pour satisfaire les esprits avides d'une rigoureuse exactitude, pour exercer et fortifier l'imagination du lecteur, et pour le cas où Ton ne voudrait tracer sur l'épure qu'un très-petit nombre de génératrices, nous allons dire comment on pourrait déterminer sur chacune de ces lignes le point où elle doit être touchée par la courbe formant le contour de la projection de sa surface.

Supposons, par exemple, que l'on veut avoir le point où la génératrice zc est touchée par la courbe qui forme le contour de la projection horizontale; cela revient à déterminer le point suivant lequel la surface est touchée par le plan vertical cV^ qui contient cette génératrice.

Or, par suite de la double génération de t'hyperboloïde , le plan tangent vertical qui a pour traces mV {pg, 125} coupe la surface suivant deux génératrices , dont les projections horizontales is'V, m'V se confondent avec la trace du plan verticat qui les contient toutes les deux.

La première de ces deux lignes , étant projetée sur le plan de la figure 124 devient js'c', et la seconde devient mV.

Leur intersection d est le point de tangenee demandé qui , ramené en o" {fig, 125) sur la trace du plan mV, appartient au contour de la projecton horizontale.

Pour vérifier la construction , on projettera les deux génératrices zc^ mn sur la figure 123, et leur intersection o devra se trouver sur la verticale d'-o.

PL. 28. HYPERBOLOIDE. 26S

On déterminera de la même manière autant de points que Ton voudra.

368. On fera bien de se rappeler le principe que nous avons énoncé au n* 187 *, car, dans le cas particulier qui nous occupe, il en résultera une simplification remarquable. En effet , le méridien parallèle au plan vertical sera un plan de symétrie par rapport à la surface et au cylindre projetant perpendiculaire au plan horizontal, d'où il résulte que la courbe de contact composée de deux branches d'une hyperbole se projettera sur le plan vertical par la droite tr.

Il suffira donc pour obtenir cette ligne, de faire deux fois l'opération précédente.

La droite tr coupera les projections verticales des génératrices suivant des points qui , projetés {fig, 125) sur les génératrices correspondantes, appartiendront au contour de la projection horizontale. Il sera d'ailleurs facile d'obtenir les assymptotes de cette hyperbole.

369. La projection verticale étant parallèle à l'axe , le contour sera une section méridienne projetée sur les figures 124 et 125 par la droite qui joindrait ft" avec ft'", de sorte qu'il suffira d'élever des perpendiculaires par les points où cette ligne coupe les projections horizontales des génératrices. On pourra aussi chercher les asymptotes.

370. Sur la figure 124, le point de tangence est au milieu de chacun des petits côtés formés par les intersections successives des génératrices, de sorte que le contour de la projection est formé par le cercle inscrit dans le polygone régulier qui a pour côtés ces petites portions de génératrices.

Ce cercle n'est autre chose que le cercle de gorge de la surface.

,371 . Ligne de séparation. Reprenons la génératrice zc et

cherchons à dëterminer sur cette droite un point de la courbe de séparation.

i"" Par un point II" pris où Ton voudra sur la génératrice zc^ z'c\ on construira le rayon lumineux (-5, CW.

2* Ce rayon percera le plan pq en un point 5 qui, projeté sur p'q' et rabattu sur gry, viendra se projeter en 5' sur le plan de la figure 124 *, la droite «'c' sera donc l'intersection du plau P9, par le plan tangent qui contient la génératrice zc et le rayon de lumière 5-I , «"-l".

L'intersection de la droits 5V avec la circonférence s^m'u'^ déterminera le point v' qui appartient à la seconde tangente ; on construira la projection v'u' de cette ligne en menant par le point t/ une tangente au cercle de gorge , ou en faisant la corde «V égale à «V.

L'intersection des deux tangentes Vc', v'u' sera le point de* mandé x; on ramènera ce point en af et en a/' sur les deux projections i23 et 125, en opérant comme nous l'avons dît plus haut , ou en construisant les projections verticales et horizontales de la seconde tangente , dont I* intersection avec la première donne le point cherché x\ a?".

L'intersection de cette seconde tangente vu, v"u" par le rayon de lumière zz"\ J5";2'^ déterminera le point «"V^ pour l'ombre portée par le point is, z" dans l'intérieur de la sur* face ; cela résulte de ce que la droite vu , v'V provient de l'intersection de la surface par un plan qui contient le rayon du point z.

372. Ainsi, les plans tangents auxiliaires employés pour déterminer les points de la ligne de séparation serviront en même temps comme plans coupants pour déterminer l'ombre portée de l'intérieur dans la surface par les points de l'arc de cercle m, aV.