On sait (Giomélrie analytique) que tout cylindre qui

PL. 28' HÉLIGOIDES. 267

a pour directrice une secti<m plane d'une surface du second degré^ coupe cette surface suivant une autre courbe du second degré.

Par conséquent , la courbe d'ombre portée az"Hj a'z^H" pro- Yenant de Fintersection de la surface par le cylindre formé par les rayons lumineux qui s'appuient sur l'arc de cercle ai, a'i\ est une courbe plane.

De plus, il résulte du principe énoncé au n"" 187, que les deux parties de la ligne de séparation sont deux branches d'hyperboles, et par conséquent sonf situées dans un même plan.

Toutes ces courbes se projetteraient donc en lignes droites, si l'on prenait un plan de projection perpendiculaire à la droite ai , aV suivant laquelle le plan de la courbe d'ombre portée azi coupe le plan des deux courbes de séparation.

374. Cette relation est rendue sensible par la figure ISO, sur laquelle a^ est l'ombre portée par l'arc za, tandis que la droite ax est la projection verticale commune aux deux branches de la courbe de séparation.

Si on voulait faire une épure en grand de cette figure, il faudrait .prendre pour points de division sur l'ellipse z^c" (/i^. 121) les points où cette courbe est rencontrée par les ordonnées des points qui divisent en parties égales la circonférence jï'W; cette précaution donnerait plus de régularité à l'épure.

Surfaces hélicoides.

375. On donne en général ce nom aux surfaces qui ont pour directrices des hélices.

376* On sait (Géométrie descriptive) qu'une hélice est la

courbe engendrée par un point qui se meut sur un cylindre en s' élevant à chaque instant d'une quantité proportionnelle à r espace parcouru par sa projection horizontale,

11 résulte de cette définition :

1* Que l'hélice coupe toutes les génératrices suivant un angle constant.

S"" Que Vhélice et toutes ses tangentes font partout le même angle avec un plan perpendiculaire au cylindre.

3"* Que y dans le développement du cylindre qui contient Vhélice^ cette courbe se transforme toujours en ligne droite.

La distance entre deux intersections successives de la courbe avec la même génératrice se nomme le pas de Vhélice y et la portion de courbe correspondante se nomme une spire.

La section droite d'un cylindre est une hélice dont le pas égale zéro.

Les hélices se distinguent par la nature de la section droite du cylindre sur lequel elles sont tracées ; lorsque cette section est un cercle , on dit que Thélice est à base circulaire.

377. Construction de Vhélice. Supposons (fig. 131 , pi. 29) que la circonférence ao3 soit la base ou projection horizontale d'une hélice dont le pas serait hp , on partagera cette verticale et la circonférence en un même nombre de parties égales , en !24 par exemple ; on tracera ensuite une horizontale par chacun des points de division de la verticale hp.

Si l'on suppose actuellement que le point générateur, partant de zéro, tourne dans le sens de l'arc 0, 1, 2, 3, il est évident que, lorsqu'il sera parvenu sur la verticale du point 1, il se sera élevé d'une quantité égale à la 24* partie du pas , et sa projection verticale devra par conséquent se trouver sur la première horizontale au-dessus de la ligne âZ. Lorsque le point générateur sera parvenu sur la verticale du point 2, sa projection verticale sera élevée de deux vingt-quatrièmes du pas et sera sur la deuxième horizontale, etc.