Étudions d'abord en particulier la surface supérieure

PL. 29. HÉLICOIDES. 271

du filet, celle par exemple qui serait engendrée par le côté nz (fig. 132), et que nous avons projetée (fig. 130) avec ses génératrices.

L'inclinaison de la génératrice et le pas des hélices directrices ont été augmentés afin de mieux faire sentir le contournement de la surface.

Les questions à résoudre sont :

1** Déterminer les courbes qui forment le contour de la projection verticale de la surface;

^ Déterminer les lignes de séparation entre les parties éclairées et celles qui sont obscures ;

3** Construire les courbes d'ombres portées sur les surfaces du filet par les lignes de séparation ou par les arêtes des filets supérieurs.

Nous avons déjà reconnu que les deux premières questions consistent toutes deux à construire des plans tangents à la surface parallèlement à une droite donnée , qui , dans le premier cas, serait l'horizontale projetante perpendiculaire au plan vertical, et, dans le second cas, le rayon lumineux. Dans l'un comme dans l'autre cas , le nombre des plans tangents, et par conséquent le nombre des points de tangence est infini.

On peut se proposer d'obtenir chacun de ces points sur Tune des positions de la génératrice, ou sur une hélice engendrée par tel point que l'on voudra de cette génératrice.

Nous adopterons cette dernière condition.

381. Sur la figure 129, on a construit les hélices engendrées par les trois points 1 , 2 , 3 de la génératrice 5-1 . Pour éviter la confusion , on a efiacé toutes les autres génératrices qui ne sont pas nécessaires à la solution par la raison qui a été donnée au n"" 362.

Là hauteur du pas a été partagée en seize parties égales, ainsi que la circonférence de la base.

Rappelons-nous qu'il s'agit de construire des plans tangents

à la surface donnée parallèlement à une ligne droite W {fig. 129 et 130), et que Ton veut obtenir le point de tangence sur rhélice, qui a pour projection verticale la courbe 0-1 -1'' et pour projection horizontale la circonférence 1, 1'^ V.

382. Construisons d'abord au point 1 un plan tangent à la surface.

Pour y parvenir, nous considérerons la droite s-l comme première tangente.

En second lieu , la tangente à Thélice o-l-l'' aura ses deux projections 1-m, 1-m perpendiculaires à la ligne AZ.

Si nous faisons {fig. 129) le triangle rectangle 1-m-m'", tel que 1-m soit égal à 4/16 du pas , et que mtnl" soit égal à 4/16 de la circonférence suivant laquelle se projette Thélice, Thypoténuse 1-m''' sera la tangente rabattue autour de là verticale projetante du point 1 .

Le point m'" ramené en m {fig. 134) sera la trace horizontale de la tangente à l'hélice.

De plus , la génératrice sA , que nous avons prise pour première tangente , perce le plan horizontal en n , de sorte que la droite mn(fig. 13i) est la trace horizontale d'un plan qui toucherait au point 1 la surface hélicoïde donnée.

383. Avant d'aller plus loin , nous ferons remarquer que si à chaque point de l'hélice o-l-l", on construisait un plan tangent à la surface donnée, tous ces plans feraient le même angle avec l'axe de cette surface.

En effet, les deux tangentes 1-n, 1-m et la verticale da point 1 pourront toujours être considérées comme les trois arêtes d'un angle trièdre. Or les angles que font entre elles ces droites combinées deux à deux étant toujours les mêmes, quelle que soit la position du point de tangence sur Thélice o-l'-l", il en résulte que la verticale du point 1 , et par consé-

PL. 29. HÉLICOIDES. 273

quent l'axe de la surface, feronl toujours le même angle avec le plan des deux tangentes 1 -m , 1-n.

Nous sommes parvenus, il est vrai , à construire au point 1 un plan tangent à la surface hélicoïde donnée. Mais ce plan n*est'pas parallèle à la droite ri.

Or, on conçoit que si l'on faisait mouvoir le plan 1 -m-n , de manière qu'il soit toujours tangent à la surface en un point de rhëlice 0-1-1", il n'y aurait plus qu'à choisir parmi toutes les positions de ce pian mobile celle qui serait parallèle à ladroite W.

Mais à mesure que le plan monterait, en touchant toujours ia surface hélicoïde, sa trace horizontale s'éloignerait du centre et changerait de direction \ de sorte qu'il serait difficile de reconnaître le moment où ce pian serait arrivé dans une position parallèle à la droite ri,

384. On simplifiera les opérations nécessaires à l'expression de ce double mouvement en le décomposant de la manière suivante :

^V On abaissera du points (/{g. 134) la droite ^c perpendiculaire sur mn , et l'on décrira du point $ , comme centre , la circonférence Ciié\ qui sera la trace d'un cône circulaire, ayant son sommet en s et tangent au plan 1-m-n.

2^ On fera tourner ce plan autour du cône , jusqu'à ce que sa trace parvenue en mV contienne la trace horizontale d de la droite %a^ menée par le point s parallèlement à la droite donnée r\.

Par suite de ce premier mouvement, le point 1 viendra se placer en \\ en décrivant un cercle horizontal l-V projeté sur le plan vertical par la droite 1-1' parallèle à la ligne AZ.

Le plan 1-m-n ramené dans la position l'-m'-n' (/îj. 134) est , il est vrai , parallèle à ri, puisqu'il contient la droite sa *, mais il a cessé d'être tangent à la surface hélicoïde , puisqu'il ne contient plus la droite 5-1, génératrice de cette surface.

Or, en venant se placer dans la posîtion l'-m'-n', le plan

874 gURFACES RÉGLÉES. PL. 29-

l-'tn-n n'ayant pas cessé d'être tangent au cône droit qui a son sommet en 5, et pour trace la circonférence C'c'''C"y il a tou-i jours tVit le même angle sivec Taxe de la surface hélicoïde;i et, pf^r conséquent , dans chacune de ses positions il a toujours été parallèle à l'un des plans qui touchent cette surface eu un point derhéliceo-M".

Il ne restera donc plus qu'à faire monter le plan 1 -m-n\ parallèlement à lui-même, jusqu'à ce qu'il soit venu reprendre, par rapport à la surface, une position analogue à celle qu'il occupait.lorsqu'il avait pour trace la droite mn.

Dans ce deuxième mouvement , le point l' viendra se placer 4e nouveau sur l'hélice o-XA". Sa projection horizontale l' ne changera pas, et sa projection verticale viendra se placer en 1", en parcourant la verticale 1 -l".

De sorte que les points 1' (fig. 134) et 1'' {fig. 123) seront le$ projections du point de tangence demandé.

Ligne de séparation.

Si le (ect^r a bien qompris le principe précédent, il ser^ facile d'ein faire l'application à la solution des deux problème qui font le sujet d^ la question proposée.

EïK effet, si nous supposons que la droite ri repréi^^nta la direction d'un rayon lumineux, le poiut l'-l"fera partie de la ligne de séparation.

385. Povir obtenir plusieurs points de cette courbe, il su^ra de recommencer l'opération précédente pour d'autres hélices. Aj^si le plan tangent au point .2 de l'hélice 2-2'' aura pour trace horizontale l^ droite nv que l'on obtiendra en opérant comme

an n^ 382.

Qn fera tourner ce plan autour du cône qui aurait pour base la circonférence tangente à nv, jusqu'à ce que la trace nV contienne le pqint a'*

PL, 29, BÉLÏCOIDES. JTI^

Par ce premier mouvement, le ppiat % viendra se ptacer en 2\ d'où on le ramènera sur Thélice , en lui faisant parcourir la verticale 2'- 2".

On construira de la même manière le point 3" sur 1-faélice

La courbe l"-2'-3" suivant laquelle la surface proposée est touchée par une suite de plane parallèles au rayon ri sera donc la ligne de séparation sur la surface.

386. En considérant Taxe de la surface comme une hélice dont la base serait égale à zéro, le plan tangent déterminé par les deux droites sn et so {fig, 129) sera parallèle au plan vertical de projection ; le point de tangence sera situé en s, et lorsque le plan tangent sm'" sera devenu sa! {fig, 134), il contiendra le rayon de lumière, et le point s sera parvenu en s", suivant lequel la ligne de séparation i"-2"-3" devient tangente à Taxe de la surface.

On obtiendra donc le point 5" en prenant pour ss'^ autant de seizièmes et parties de seizième du pas qu'il y a de seizième et de fractions de seizième dans l'espace angulaire dont le plan tangent vertical $m" a dû tourner pour venir se placer en 5a'.

387, Il existe sur la partie de cette surface qui est la plus voisine du p)an vertical de projection une seconde ligne éê séparation que Ton obtiendra de I4 même manière.

En effet, en faisant tourner le premier plan (an^nt Imn autour du cône scc'^ supposons qu'au lieu de l'arrêter dans la ppsUÎQP i'fn'n\ nous continuions s^ le faife mouvoir jusqu^à ce que S4 trace horizontale soit venue se placer en m"n"y de o^ar nière à contenir le point a'.

Dans cette ppuvejle position, le plan mobil^ .^era unç se^ cpnde fois parallèle à la direction de U lumière , puisqu'il conitîfindr^ le rayon sa.

Le poiuH §er?^ venu se placer en V'Vftprès fivoir p^ropuiru le gran4 aie horiïonfftl î-l'-l"', 4>rajeté {fig» l29j p^r la

droite 1-1 '-!'". H ne restera donc plus, comme précédemment, qu'à faire revenir le point 1"' sur l'hélice l"-iM "^ en lui faisant parcourir la verticale l'"i"'.

On obtiendra de la même manière les points S'"", 3'^ sur les deuil hélices 2"2'% 3"3''' engendrées par les points 2 et 3.

388. Les deux courbes 1"2"3'", l'^'^3" ont de l'analogie avec les lignes de séparation sur un cône \ elles en différeront d'autant moins que le pas des hélices sera plus petit, et, dans le cas où ce pas se réduirait à zéro, la surface proposée deviendrait un cône droit à base circulaire , sur lequel les lignes de séparation se transformeraient en deux droites, passant par le sommet. Les hélices seraient alors des circonférences provenant de la section du cône par des plans horizontaux.

389. Si Ton suppose les génératrices prolongées au delà des points où chacune d*elles rencontre Taxe , tous ces prolongements formeront une seconde nappe, qui n'a pas été projetée sur la figure 129, mais dont le lecteur pourra fecilement se faire une idée.

Les lignes de séparation, sur cette partie de la surface seraient égales à celles que nous venons d'obtenir et se construiraient de la même manière. Elles seraient seulement dan$ une position renversée; leurs projections horizontales seraient les courbes I», si,

390. Si le point a! était situé dans l'intérieur de la circonférence ccV, il n'y aurait pas de point de tangence sur Thélice décrite par le point 1 . Si la même chose avait lieu pour toutes les hélices situées sur les surfaces des filets , les parties inférieures de ces surfaces seraient entièrement obscures et les parties supérieures ne seraient touchées par aucun rayon lumineux , de sorte que tout se réduirait à construire l'ombre portée par la grande hélice , formant l'arête saillante des filets.

PL. 29 HÉLICOIDES. «77

391 . Il peut encore arriver que la courbe de séparation ne rencontre que les hélices les plus rapprochées de Taxe , et qu'elle n'arrive pas jusqu'à Ja grande hélice, formant l'arête extérieure du filet.

Enfin , la courbe de séparation sur la surface supérieure des filets peut être plongée entièrement dans l'ombre portée par le filet supérieur.

C'est ce cas qui a été supposé (/!g. 127 et 128).

Contour de la projection verticale.

392. Pour appliquer ce qui précède à la recherche du contour de la projection verticale de la surface , il faudra remplacer la ligne ri par une droite perpendiculaire au plan vertical de projection.

Dans ce cas, la trace mn du plan tangent doit être amenée dans une position in!"n"\ perpendiculaire à la ligne AZ. Le point 1 , après avoir parcouru Tare horizontal 1,1^, projeté sur le plan vertical par la droite i-Vy viendra se placer en 1^, d'où on le ramènera sur l'hélice 0-i-l", en lui faisant parcourir la petite verticale W\

On déterminera de la même manière les points 2^', 3^', sur les hélices 2-2", 3-3". On obtiendra le point 5^' en faisant S'S"^ égal à quatre seizièmes du pas, et si l'on fait s-5^" égal à douze seizièmes, on obtiendra le point s""".

393. Les deux courbes formant le contour de la projection {fig. 129) auront pour projections horizontales les courbes

y$ , sp.

Dans le cas où le pas serait nul , ces courbes se transforme* raient en lignes droites.

Les courbes gs^ $q forment la projection horizontale du contour de la projection verticale de la nappe qui seraient formée par le prolongement des génératrices de la surface donnée.

«TU SURFACES RÉaLËËS. PL 29

Ombre portée.

âd4. Si on emploie le système des plans coupants, les courbes de sections s'obtiendront en déterminant les points où ces plans coupent les génératrices ou leshélices de la surface. On choisira celui de ces deux modes qui donnera les meilleures intersections.

395. Dans le cas où l'on voudrait avoir un point de la courbe d'ombre portée sur une ligne donnée de la surface, on opérerait de la manière suivante {119} :

Supposons, par exemple, que Ton veuille obtenir sur Thélice 33*'3" [fig. 129) un point de l'ombre portée par rbélice

On prendra {f,g. 126) un plan horizontal auxiliaire zx.

On construira (/îgr. 133) la courbe 1^"1*" suivant laquelle Ce plan coupe le cylindre oblique formé par les rayons lumineux qui s'appuient surThélice l-V-l".

On construira ensuite la courbe 3^" 3^°, suivant laquelle ce même plan coupe le cylindre formé par les rayons qui s'appuient sur l'hélice 3-3".

Le point 4 intersection des deux courbes 1^»!^", 3^"3^*' appartiendra aux deux cylindres , et, puisqu'ils sont parallèles » le rayon -44" sera leur intersection, d'où il résulte que ce rayon s'appuyant sur les deux hélices i^-l^, 3-3"; le point 4", où il rencontre la seconde courbe, sera Tombre portée par le point 4' de la première.

396. Pour déterminer le point 5" où la ligne de séparation est rencontrée par la courbe d'ombre portée 4"-5"^ on construira {p.g. 133) la courbe 3^"'-3^"' suivant laquelle le plan zx (fig, 126) coupe le cylindre des rayons lumineux qui s'appuient sur la courbe l"-2"-3".

Le rayon 8-S" touchera Thélice au point 5' et rencontrera

M. 50. HÊLICOIDES. tTO

la ligne de séparation l'^-8^-3" au point 5", de sorte que ie second de ces deux points sera l'ombre du premier.

Vis à filet triangulaire.

397. Les principes que nous venons de développer ont été appliqués (fig. 136 et 137, pL 50) pour construire les projections et les ombres d'une vis à tilet triangulaire.

Projections, Les hélices étant construites par le moyen indiqué au nuTAéro 192, il ne restera plus qu'à construire la coufbe limite de la projection verticale. ^

Les vis que l'on dessine dans les applications ne sont presque jamais d'une dimension assee grande pour qu'il soit nécessaire d'avoir égard à la courbure de cette ligne ; malgré cela j'en ai construit la projection horizontale psy, qsg (fig. 137).

Lignes de séparation,

398. Ces courbes ont été obtenues sur les surHires supérieures et inférieures du filet, en opéi ant comme nous l'avons dit aux numéros 382 et 385, avec cette seule différence qu'au lieu de rapporter toutes les projections à un même plan horizontal , on a construit dans le plan Â, la base du cône auxiliaire qui a son sommet en s et qui a servi à obtenir la ligne de séparation sur les surfaces inférieures du filet, tandis que le plan A' contient la base d'un second cône auxiliaire qui a son sommet en /, et qui a servi pour construire les lignes de séparation sur les surfaces supérieures des filets.

Il résulte de cette disposition d'épuré que la hauteur du point s' au-dessus du plan horizontal Â' étant la même que la distance du point s au-dessous du plan A , les deux cônes auxiliaires ont la même projection horizontale.

Le point d' (/Igr. 137) est l'intersection du plan A par le rayon qui passe par le sommet s du premier cône auxiliaire; et

â80 SURFACES RÉGLÉES. PL. 50-

le point a" est l'intersection du plan A' par le rayon qui passe par le sommets' du second cône auxiliaire.

La même disposition a été adoptée pour obtenir les points de contact sur d'autres hélices.

Cette partie des opérations n'a pas été conservée , parce que nous en avions donné les détails dans Tépure précédente.

Ombre portée.

399. Si nous concevons {flg, 137) un plan BB' vertical et parallèle aux rayons lumineux , ce plan coupera les surfaces du filet suivant les deux courbes 63r, tô'A.

Le rayon qui touchera la première de ces deux courbes au point 3 (/ïy. 136) coupera l'autre en 3', de sorte que ce dernier point sera l'ombre portée par le premier.

On remarquera que le point de tangence 3 fait partie de la ligne de séparation l"-2", ce qui est une conséquence de ce que nous avons dit au numéro 8, en parlant des plans coupants, aussi pourrait-on employer ce moyen pour obtenir tous les points de la courbe de séparation , mais cela serait moins exact que la méthode du numéro 384, qui ne dépend que du .point de tangence sur une circonférence.

400. On peut aussi construire l'ombre portée , en opérant comme au numéro 119, surtout si Ton veut avoir un point d'ombre sur une ligne donnée.

Proposons-nous, par exemple, de déterminer le point 5' suivant lequel la ligne de séparation sur la surface M du filet est rencontrée par la courbe ^ilël. provenant de Tombre portée par la ligne de séparation de la surface N.

On prendra un plan horizontal auxiliaire %x (fig. 136), et l'on construira (/îflf. 137) les deux courbes l'"-2'", l'^-S" suivant lesquelles ce pian coupe les cylindres formés par les rayons lumineux qui s'appuient sur les lignes l"-^" des surfaces M

PL. 51. HÉLICOIDES. 284

etN. Le rayon passant par le point 5 sera l'intersection des deux cylindres, et s'appuiera par conséquent sur les deux courbes l"-.2" qui leur servent de directrices, de sorte que le point 5\ où il rencontre la seconde courbe , sera l'ombre portée par le point où il touche la première.

On déterminera de la même manière le point d'ombre portée sur la génératrice vu ou sur toute autre ligne de la surface.

On peut opérer de la même manière pour construire les ombres portées par la tête de la vis.

Vis à filet carré.

401. Gomme application des vis à filet carré, nous prendrons (/îjf. 138 et 139, fl. 51) les deux projections d'une petite macbine à timbrer.

Les différentes pièces dont se compose cet instrument sont :

A plate-forme.

P support auquel est attaché solidement Técrou E dont la coupe est projetée {fig. 140).

V vis dont la tête est un octogone régulier.

B balancier terminé par deux masses sphériques.

m, m plaques liées entre elles par les deux cylindres verticaux u, ti.

La plaque inférieure porte le cachet n.

Les deux cylindres verticaux u, u ont pour but de maintenir le cachet dans une position parfaitement horizontale.

Par suite de la rotation du balancier, ils obéissent au mouvement vertical de la vis en glissant dans les deux cylindres creux qui sont à droite et à gauche de Técrou.

La construction des hélices et la détermination des ombres se déduiront facilement des principes précédents.

La figure 142 offre un exemple d'hélices coniques.

tM SURFACES PL. 52.