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et l'on fera les deux distances dv^'' égales au rayon de la sphère mobile génératrice \ les points tC^ appartiendront à la courbe cherchée.
On obtiendra de même les points n^ en faisant vl*iÇ perpendiculaire à la tangente ii^*(i^\
On reconnaît, en effet (/Ijf. 149), que la courbe formant le contour de la projection verticale de la surface est une ligne dont tous les points sont éloignés de la projection de l'hélice parcourue par le centre , d'une quantité égale au rayon de la sphère génératrice. Il suffira donc de construire {fig, 443) perpendiculairement à la projection de Thélice odd^ une suite de normales égales au rayon de la sphère mobile.
408. CoiMiTuciion Xunt caractéristique. La droite ao (fig, 146) étant la tangente à Thélice parcourue par le centre de la sphère mobile , le rayon oc^ perpendiculaire sur ao^ sera la projection verticale de la caractéristique du point o.
La verticale ce' déterminera (fig. 147) le point c\ extrémité du petit axe de Tellipse projetée sur le plan horizontal.
Cette ellipse étant reportée au point o", on aura la projection verticale de la caractéristique correspondante en élevant la perpendiculaire c"c"\ et faisant c'V égal à eu.
Enfin , le point v étant projeté en v\ les droites o*"c"'^ o"V seront les demi-diamètres conjugués de la courbe demandée.
409. Construction d'une hélice. Supposons qu'on veuille construire Thélice qui passe par le point x (fig. 146) ; on projettera ce point en cd (fig. 147), et l'on décrira la circonférence x'x"x'" sur laquelle on portera les parties nV, nV égales à nx'.
Enfin, on élèvera les perpendiculaires o/'x", x^'x''. et Ton fera les hauteurs o^W, x'^m" égales à xm.
Ombres.
410. Lignes de séparation. Ces lignes sont au nombre de deux :
La première sur la partie extérieure de la surface^ La deuxième sur la partie qui est du côté de Taxe. Si nous supposons que pour construire la courbe o&o" qui est la projection verticale de l'hélice parcourue par le centre de la sphère mobile , on ait partagé le pas oo" de cette hélice , et la circonférence de sa base en seize parties égales, on pourra toujours de préférence chercher les points de la ligne de séparation qui sont situés sur les sphères dont les centres correspondent aux points de division de ces deux courbes.
411. Supposons, par exemple, qu'il s'agit d'obtenir les points de la ligne de séparation qui appartiennent à la sphère dont le centre est situé en o>.
On fera descendre cette sphère jusqu'à ce que son centre soit arrivé au point o; dans ce mouvement, il aura parcouru cinq seizièmes de la portion de l'hélice qui correspond à une spire de la surface.
Or, si au point o on construit la tangente ao, la droite ce' y perpendiculaire à cette tangente, sera la projection verticale de la caractéristique correspondante.
On remarquera que cette caractéristique et celles qui auraient leurs centres aux points oV^, etc., sont les seules qui se projettent sur le plan vertical par des lignes droites, et c'est pour arriver à ce résultat que nous avons fait descendre jusqu'au point o le centre de la sphère sur laquelle nous voulons obtenir un point de la ligne de séparation.
Si nous faisons tourner dans le même sens la projection ho-
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rizontale du rayon de lumière s^-l d'une quantité égale à cinq fois la seizième partie de quatre angles droits , la projection verticale de ce rayon deviendra 5-1", et la droite qui aurait pour ses deux projections s'-f, s-f'sera placée, quanta sa direction, par rapport à la sphère dont le centre est situé en o, comme le rayon 5-1, s'-l était placé par rapport à la sphère qui avait pour centre le point o'.
Par cette disposition d'épuré , la question est ramenée à construire Iç point cherché sur la sphère dont le centre est situé 6n 0, puis k le faire revenir ensuite sur la sphère qui avait son centre en o'.
Mais il ne suffit pas , pour cela, de construire parallèlement au rayon $'-1^ 5-1" qp plan tangent à la sphère qui a pour centre le point o; il faut encore que ce plan soit tangent à la surface proposée, ce qui ne peut avoir lieu qu'autant que le point de tangence sera sur la caractéristique qui a pour projection verticale la droite cc\
Or, il est évident que Ton aura satisfait à cette dernière condition en construisant paYallèlement à 5 -{', s-V\ un plan tangent au cylindre circulaire qui touche la sphère suivant la caractéristique cc\ et qui , par conséquent, a pour axe la droite ao tangente au point o à Thélice parcourue par le centre de la sphère mobile.
Voici quel sera l'ordre des opérations :
Par un point x pris où Ton voudra sur la tangente ao^ ou sur son prolongement , on construira la droite x% parallèle à la nouvelle position du rayon de lumière.
Cette droite percera en un point z le plan de la caractéristique fc', et la ligne oz sera Tintersection du plan de cette caractéristique par le plan qui contient la tangente ao^ et qui est parallèle au rayon 5-t", sf-l\
On fera tourner le plan cz autour de l'horizontale projetante du point é.
Par suite de eé mouvement, la caractéristique cc\ rabattue
sur \^ plan liQri^ntji^l oV^ ser^^ projetée {fig. 444) par la circonférence cwcin, et la (Jrpite e« deviendra Oj5".
^nfîu, le diamètre t»m , perpendiculaire à oi^'S déterminera sur la circonférence cmom le$ deux points demandée m, m.
Ed effet, en f4isant U)urner le plan Q^ fauteur de rborizon-^ taie du point o, le cylindre circulaire tangent à la sphère mobile est venu se placer dana une positipn verticale , et la droite oJ' représente filors la traee horizontale du plan qui contient l'axe du cylindre et la parallèle au rayon thi\ « -i', de sof le que les poiutsi m» tn appartiennent en m4me temps à la caractériâ^ tique cc\ au cylindre qui touche la sphère suivant cette c^rac^ téri$tjqiie y et au^ deux plans tangents à ee cylindre et parallèles au rayon de lumière 5-J" ,s'-J'.
Pour ramener les deux points m, m à la place qu'ils doivent occuper d^ns l'espace, on fera d'abord reveair te plan horizontal 0^' dans la position oz, (fiq. |43).
tes pointa n décriront deuiF^arca de cercles mm\ parallèles au plaft verticîil de projection i ce qui d^»«era m\ «i', d'où OA déduira leurs projections borii»3nt^les tn'W,
On fera ensuite remonter çea d#ux pf^nts sur la sphère qui a son centre m o'^
Dans ce dernier tpouvement, les projectiaos hqriacintales décriront chacune un arc égal à cinq foif la mmme p^rti^ de ]a cjrçpnlërence à laquelle \\ appartient, ce qui dQunera les
dew pointa wl'\ m"\
Quant aux p^QJeçtippa verticales, on les obtiendra en élevant les perpendiculaires m'", m'^, et fiusant (fi§, 143) la distano^ d^ points m''' à l'horizontale o'h égale à la distance des points m' k l'horiaspntale os/.
L'un des points w^^ appartient à la ligne de séparation extérieure.
1^ secpqd point fait partie de la ligne intérieure,
Eip liçcof^mençaiUv 1^ op^ratioina précédentes , on obtiendra
ai«ta«^ de poipta qffi^ l'oa y(^u*
