Pour un observateur qui habiterait sur la circonfé
an GNOMONIQUE. PL. 35-
reoee da cercle polaire, Il ^^ Aurait un jour oii la courbe de section du cône par le plan horizontal tangent à la surface du globe se diangerait en une parabole.
Elle pourrait être une hyperbole, une parabole ou Une ellipse pour celui qui habiterait dans Tintérieur du cercle polainB, et serait un œrcle pour l'observateur qui pourrait exister au pôle.
437. Les considérations qui précèdent étant admises, revenons au problème proposé. Oi^ ne doit pas oublier qu'il s'agit toujours d'obtenir une droite parallèle à Taxe du globe terrestre.
Or, nous partagerons l'opération en deux parties :
1* ^i"^ Déterminer la projection horizontale de la droite
demandée ; ^ "iiiB Construire la projection verticale de la mime
droite.
438. Supposons (fig. 8) que la partie M qui est indiquée su^ l'épure par une teinte de hachures, soit le plan ou la coupe horizontale du hiur sur lequel on veut tracer le cadran solaire demandé.
On disposera une surface horizontale HïT, qui soit parfaitement nivelée dans tous les sens.
On pourra, pour cet usage, Faire dresser une aire en plâtre, ou une partie du sol bien battue.
On pourra employer aussi une grande table ou planche à dessins dont on vérifiera rhorizontalité avec un niveau trèseiact.
Sur la surface dont nous venons de parler, oh décrira une circonférence, et l'on fixera au centre de cette ligne une tige verticale telle que à'OÇfig, 4).
439. On peut remplacer la tige dont nous venons de parler piMr drax ëqucrrei ajuslées comme on i% vdt ûgare 7.
PIa 33-- GWOMONIQUE. âOâ
440. Enfin, on pourra encore (fi;. iO) suspendtie aa-dessus du centre o un Hl qui traverserait deUx balles de plomb dont rUne o toucherait le bentre de la circonférence, tandis que l'autre balié 0^ iu^éndiie au métne fii, serait néCie^saire*ment située suf )k vA^mt vertielale que lapt'emiène.
Les choses étant disposées comme nous venons de le dire, revenons à ia figure 6^ supposons que l'opération ait lieu pen^dant uû jiytir d'été ou de prihtenips, et que robsemteûr smi tourné vers le mur, c'est-à-dire vers le nord, puisque la suiv fiicè sur Vat^ueHe on dbit traeer le cadran doit aéees^ircfmènt être plus ou moins exposée iiu midi.
Lof'sque ie soieii commeneera à paraître au-dessus die l'ho*» riiso» , Pettf^bré de la verticale du point sera infiniment Irni^ue et dirigée suivant 0-1 ^ mais , quelques instants après, la direction de Tombre aura changé, et le soleil, s'étantélet^ ai]-dp8sus du plan horizontal , Tom^ de la verticale se terminera AU point 2<) que 4'on «ûarquera avec un orayon;
ÏJne heure ou deux après, te soitoil a^ant xM>htiirué SM mouvement ascensionnel, Tombre^e^a verticale aura «hangé encore une fois de direction , et ^pa leNiiitté au poitit 3, ^uie l'en marquera comme le précédai. On <;ontillUel[^ de mar^ quer ainsi toute la journée les loUi^eui^ des différentes em«> brêê pioptées par la vertioaletM) (i^. 4 o«i 7^ <^u'par la èaité de te ^ure 10.
Si 4'fm empio^iice d«riifer mo^n^ il faudrait «Voir soin d'opérer ipat* un temps asse2 calme pour<|ue l'agitation de TaW ne puisse pas chaofibr la direetioà du fil vertîtcil tfuquei sont suspendues les deux balles.
441 ( liOrM|tte 1« «oleil'auiai disparu vers la gauche par ^uite de^idfi fliouvemeÀt «U'^ssous de l-hoirieon, <mi ttiaeem «ne courbe par tous les points qui auront été marqués {f,g. 8).
Cette courbe i-5-8 sera Tune des branches de l'hyperbole sttiyaiit hiqueUe 4e phm^lroriflMital BH' eoupè les deux nappes
30^ GNUMONIQUE. PL. 55.
de la surface conique engendrée par le rayon lumineux qui contient le point O de la 6gare 4.
Si Topération a lieu pendant un jour d'automne ou d'hiver, on obtiendra la courbe 1-5-8 {fig, 4 et 8); dans un jour de printemps ou d'été, on aura la courbe 9-10-1 i ; mais si l'oo opérait à Tépoque des équinoxes , les extrémités de Fombre à toutes les heures de la journée seraient situées sur une droite i2-13, qui serait Tintersection du plan horizontal HH' par le plan équatorial E (fig, i).
Lorsqu'on aura tracé l'arc d'hyperbole i-5-8, et que l'on aura corrigé les petites irrégularités de sa courbure, on joindra le centre o du cercle avec le milieu m de l'arc ame (fig. 8), et l'on obtiendra par ce moyen l'axe transverse de l'hyperbole.
Cette droite sera la projection horizontale de la ligne demandée NS.
En effet , la droite 0-5 sera évidemment la plus courte de toutes les ombres portées sur le plan horizontal HH' par la tige verticale du point O, et l'ombre la plus courte ayant né» cessairement lieu au moment où le soleil atteint sa plus grande élévation au-dessus de l'horizon , il s'ensuit que l'axe transverse de l'hyperbole doit coïncider avec la trace du plan dans lequel se trouve le soleil au milieu de la journée.
Or, ce plan NS perpendiculaire au plan horizontal HH' {fig. 8) contient la droite menée par le point O parallèlement à l'axe de la terre; donc il sera le plan vertical projetant de cette droite, et son intersection NS avec le plan HH' sera la projection horizontale de la droite demandée.
442. L'angle que la droite NS fait avec ÂZ , ou avec une droite quelconque parallèle à AZ, est ce qu'on appelle la déclinaison du mur sur lequel on se propose de tracer le cadran solaire.
443^ Gnomon. Les anciens employaient souvent un moyen
analogue pour déterminer le moment où le soleil alteignait chaque jour le point le plus élevé au-dessus deThorizon.
Ainsi, après avoir construit une colonne ou un obélisque, ils observaient Tinstant où l'ombre de cet obélisque ou de cette colonne coïncidait avec la trace horizontale du plan méridien. Des points marqués sur cette ligne indiquaient quelle devait être à midi la longueur de lombre pour chaque époque de l'année.
Le monument destiné à cet usage se nommait un gnomon , ce qui a fait donner le nom de gnomonique à l'ensemble des opérations nécessaires poui* construire les cadrans solaires»
444. Le plan C-12 {fig. 3), qui contient à midi le centre du soleil, se nomme plù,n méridien ; c'est pourquoi la droite NS {fig, 8) se nomme méridienne.
445. Quoique la méthode que nous venons d'indiquer pour trouver la méridienne soit suffisamment exacte , je donnerai une seconde méthode qui peut être facilement employée par les personnes qui possèdent un instrument propre à mesurer les angles.
i" On commencera par reconnattre à Thorizon un objet fixe et bien déterminé tel que serait , par exemple , un arbre , un clocher, un moulin M (fig. 1 1) ;
^ On mesurera Tangle visuel MOS' compris entre cet objet et le soleil, au moment où il paraît au-dessus de l'horizon ;
3« On mesurera Tangle visuel MOS" compris entre le même objet et le soleil , au moment où il disparaît le soir;
4"" La droite NS bissectrice de l'angle S'OS" sera la méridienne, et Tangle ZNS que cette droite fait avec la trace AZ du mur sera la déclinaison du cadran .
Cette opération ne peut évidemment réussir que dans un lieu où rhorfzon ne serait pas borné par des montagnes ou des constructions élevées.
SO
d06 GNOMONIQUE. PL. 34*
446. Enfin on peut encore obtenir une méridienne sulfi<> samment exacte en traçant l'ombre d'une verticale au mé* ment où midi serait indiqué par une En<Hitre réglée récémment dur un bon régulateur ou sur un «itre cadran aokiîte dont renactitude serait reconnue.
447. . Lorsque Ton aura déterminé la màrHienne ^ ou, ce qui revient au même , la projection horizontale de la tige oti tringle qui doit former le style da cadran^ il aéra facile d'ob- 4i»nir la pcoiection verticale de cette droite.
Kn cfiEet, supposons que la figure 9 soit une section de la terre , par le plan méridien NS de la figure 8.
La droite OP', parallèle à Fax« CF de la terre {fig. 9) ^ sera perpendiculaire au rayon GË de Téquateur et le plan horizon* tal HH', sera perpendiculaire au rayon terrestre CO^ Dans la question actuelle, il est absolument inutile de tenir compte de y»pl«titMment de la tecre.
L'airc d^ méridien OE exprime la latitude du lieu occupé par L'obsiervateur, et les côtés de Tangle P'OH étant perpendt* eolairea^ ehaeua à chacun, sur les côtés de l'angle ËCO^ il s'e»* suit que ces deux angles sont égaux , et que, par coneéquent, l'indinAison de la droita P'^ j&ur le pipaa bosizontal HH' est égal à la^ latitude OB du point O.
44&. Ainsi , pour ofrfwitt en u» poinl quelconque , une partM^ é foKce de la Urr$ , il 9U.§1 ie €onUruire iam k plan m^rt^t^ um df ^* ini^UmM sw le plan horizontaly dfune quantité égaie àlaUktitudei^ lim que» l]Qn meupe.
449. PHEMiàftR etPÉRà'ElW. Suppi^fioa? dùUQ (fig. 1 eti^ pi. 34)) que la droite NSsqit} la méridMiiaiif^ et par conséques^M projection horisontcde-de ladroit/i eb^rcbée, H &'agit de coikitfuire la projection verticale de cette droite.
On pourra choisir à volonté le point N', suivant lequel cette
ligne doit p^rc^r ia «urfaae du mur^ que nous 6upposeroB^ coïncider avec le plan vertical de projection. Aprè^ ^.uoi , on devra opérer de la manière suivante (fig. 1 et 2)»
1** "^ On fera lan^e NN'S" égal au complément de la latitude du lieu que Ton occupe ^ l'angle N'S"N sera par conséquent égal à la latitude ^ et la droite N'8" sera la ligne demandée , rabattue sur le pian verlieal de projection \ S"" iMitt Par un arc de cercle S'^S décrit du point N^ comm^ centre ^ on ramènera le point S'' sur la pro|eciién ^orizonta|elNS, ce qui donnera le point S^ suivant lequel la droite cherchée perce le plan horizontal de projection. 3^ awK Le point S ^ situé dans le plan horizontal de |^rojection , se projettera &[k S' sur la ligne AZ ^ et ia droite S'N' sera ia projection verticale du styîe.
450. DEUXIÈME OPÉRATION. La droite dont les deux projections sont SN et S'N' (fig. 1 et 2), étant parallèle à Vaxe de la terre^ il s'agit maintenant de faire passer par cette àroite douze plans faisant entre eux des angles égaux.
Il suffira , pour résoudre ce problème , de rappeler ce que j'ai dit au n^ 154 de mon Traité de géométrie descriptive.
Ainsi la droite donnée étant représentée sûr là figuré o par ilé, on i^ourra opérer •de la martien suivante :
!• iiÉÉÉB On tbtïstraira où Vùû Voudra un plan EE' perpendiculaire sut la droite NS.
Ce plan sera parallèle à Téqtjiateuf, et sera, pour cette raison , lioifnmé équàtoriaL ^ miàà Oh décrira dails lé plan EE' ûWé déhiî-c)fconférertcé que l'on paKagerà éh tf 6u2e partléfe égales , et l'on joindra les points de division avec le àëtitt'e pai:' douze rayons qui feront entre éui des angles ë^âiàx. 3"" "iBi On fera i^a^ser un plaâ par la âh>it6 NS et par
chacun des douae rayons ainsi obtenus.
Il c»l ëivideiipt (Géom. ) tfù/é iêê ahE^les dièAres fofttvés par ces
plans auront pour mesure les angles que font entre eux les rayons qui divisent en douze parties égales la demi-circonfërence décrite dans le plan EE'. Or, ces derniers angles étant égaux entre eux, les angles formés par les douze plans le seront aussi.
Il est essentiel que l'un des douze plans coïncide avec le plan méridien SNM' {fig. 2), ou, ce qui est la même chose, avec le plan vertical projetant de la ligne NS, N'S' {fig, 1").
On pourrait se demander pourquoi il ne faut pas décrire, dans le plan équatorial EE', une circonférence entière \ mais il est évident qu'il suffit, comme nous l'avons fait, de partager la demi^irconférence , parce que les douze pians, étant infinis , détermineront évidemment les vingt-quatre angles dièdres, ou horaires^ qui correspondent aux vingt-quatre heures de la journée.
451. ÉPURE. On sait que les traces des douze plans demandés doivent passer par les traces \s! et S de la droite donnée.
11 ne reste donc plus qu'à déterminer un point de l'une des traces de.chacun de ces plans.
Pour y parvenir, on construira (/îy. 2) :
1* HiH La trace verticale MM' du plan équatorial EE' {fig. 5). Cette trace, que Ton peut faire passer par où Ton voudra , contient ici le point N , et doit être perpen- , diculaire sur la projection N'S' du style {fig, 2).
2* HiM La droite NE" perpendiculaire sur N'S" sera Tintersectioi^ du plan équatorial EE' par le plan méridien N'^S, et le point 0" sera par conséquent l'intersection du style par le plan équatorial JNE''.
3* —1— On rabattra ce plan en EE'(/îff. 3) en le faisant tourner autour de sa trace verticale MM'. i.
Par suite de ce mouvement, le point O'O" viendra se rabattre en 0"', que Ton obtiendra sût le prolongement
de N'C en décrivant l'arc de cercle 0"0'" du point M comme centre.
il" Hii" On décrira la demj -circonférence 6-12-6 sur le diamètre 6-6, qui doit être perpendiculaire à la droite MO'", suivant laquelle le plan méridien coupe le plan équatorial.
^ aHM On partagera la< demi-circonférence 6-12-6 en douze parties égales, et Ton tracera les rayons corresponcJants en numérotant ces rayons , comme on le voit sur l'épure, de manière que le rayon 0"-l2 coïncide avec la droite NO'", et soit par conséquent situé dans le plan méridien N'NS.
&" "iinE. Chacun des rayons ainsi obtenu aura sa trace verticale V sur la droite MM', qui est la trace verticale du plan équatorial rabattu en EL', de sorte qu'en joignant le point N' avec les traces verticales v des douze rayons, on aura les traces verticales des douze plans demandés , et ces traces seront les lignes d'ombres portées par le style NS,N'S' pour chacune des heures correspondantes (431).
4S2. Les rayons 7 et 8 de la figure 3 n'ayant pas leurs traces verticales sur l'épure , on pourra opérer de la manière suivante :
' 1*^ HHi On tracera par le point C une droite quelconque qui coupera le rayon 0'"-9 en un point o' et le r^yon 0"'-8 en un point o".
2^ mmmm On tracera les droites c/itl^ o"n" perpendiculaires à
MM', et parallèles, par conséquent, à la droite 0"'N'. 3* HiM On joindra le point C avec n! par la droite Cn', et l'intersection de cette ligne avec la droite o"c" déterminera le point n".
4* "i" La droite. N'n" sera la trace du plan N'-VIII qui détermine Tombre du style à 8 heures.
En effet , les trois droites 0"'C', GC' et N'C aboutissant au
aïO OKQHONIOUE. B^; 34.
point C\ couiunont lea parallèles oW el O^^^M^ en parties proporlionnelles ^ ce qui donnera la proportiim
Mais le^ droites Co", Ci/', C«", concourant au point C, on aura :
(2) Gif : c'n' :: o^'c" :(f'n\ On aura donc, par suite du rapport commun,
d'où l'on peut conclure que les trois droites O^'o", Cc^, N'n", concourent en un nnéme point, qui est la trace verticale du rayon 0'"-8, et qui, par conséquent, détermine la ligne N'-VÏII du cadran.
453. On opérera de la npéme j[paniè|f,ç po^r d^^^n^i^^^ 1^ ligne N-VII. Ainsi op tracera :
1^ mmmm Une droite quelconque Go'^, ce qui déterminera les points q"' et q"^ ^yr leç rayons Q-'"-^ e^ Ç'"-^ \
2» --if On trjpera les droites p'V' ^.^ P'^n'"" pçrçep^içalaires sur MM'^
3c ^BM j^ djpjte Cn'" ^ét^rqiiqprfi le pojpli ft'^ sur Iq pro- IçHfjement (jf si^f\.
4*" —M Enfin on tracera la ligne r^'-y If ^ ÇAçlfl^^ -,
454. On peut eiiceire qbtQPiR t^ n^iMlft ré$Dl^a é^i opérant de la manière sijÎYAil^ ^
1 • ffF*^ Pn tr^em MW dn^le QUi^Ieanquâ aV perpendiculaire sur MM'. Cette opération di^eraunera le point o^ sTOteJ)r^/ai^g0ÏP^rtdi*r«y^n7-O!". -^ '
2« -^ La droilci Q'^T«>''i paralrlèl^ k MM'llonaera le point
Pli5t* GNOMONIQUE. Hi
3"* mftm ttdroitaû^Vrti^'^perpendîculftÎFeswrliM'^ coupera* lu ligne I^'-rVI do cadran suivant un poiflt n^V
4"* <^Hi On tracera la droite H^'rfi* parallèle à Mli\ ce qui doom Ift point a'^j que l'on joindra avec N'.
4^5. hm opéffttiQOft qui préoàd«nt donneront pouv résulta^ un P4dpai% vertiflll t^l qt^e i3elui qui est dessine «pria figure 7.'
4ëÇ. Si Ton vouiaU Avoir un eadran horizontal (fiff. 6);, il suffirait d'exécuter sur le pian horizontal de projection tnut ce qU9 PPtt^-v^ûQf de liiire «ur )â^ pii^n ^eriical. •
457. pn pourrait, ^pcçre obtenir un c^drap hPi'Uontal m moyen de l'épure pr^âd^nte.
Il suffirait , pour cela, de prolonger les lignes d'ombre du çft^rfiii de Ja figwj^ % mq^'k ce qu'elles rencontrent la ligne ^^, et 4e joindra W?^ pQint3 ^in^i obtenus avec le point ^S* . Q^ aurait a,ipsi le^ tr^qçis horizontales d^ tous le§ pl^n^ bOH ç^ires^ ^\ )'ea?e«^b}p d§ çqs dPPze traças fpri^er^U Wn (<«^dMW horizontal que l'on pourrait tr^insportav <tonsi tOM^ 1^^ Ue|i|;qui ^l}i:f^ie;).1i la m^m^ latjtvd^, PQUrvi^ qu^^J'on^it hi^naw de
fair^ ççitoci4er.i«^ ^rçUe NS 4^ cftdr^^^ftY^c ifi n^^idienne
et de faire l'angle PSN égal à la latitude du lieu.
4^. U eal également bien entendu que le oadrai^ vertici|) que Ton a obtenu sur la figure â ne pourrait convenir qu'aux lieux qui. auraient la même latitude, et ne pourrai! être traoë que sur- un 4nar qu^ ferait aveo la méridienne un apgle égal
à SNN^ :
459. 11 sera nécessaire, en posant le style, de s'assurer qu'il est bien exactement parallèle à Taxe de la terre; on pourra, comme vérification , cfcercher l'angle NN"is que cette droite doit faire avec le plan vertical de projection.
3i% GNOMONIQUE. PL. 34.
460. Là figure 4 est un cadran équatorial. Tout se réduit dans ces sortes de cadrans à la construction exécutée dans le plan équatorial rabattu (/Iff. 3).
Cette figure, tracée sur une pierre mince ou sur une ardoise, est placée C/omme on le voit (fig, 4), de manière que le plan qui contient le cadran coïncide avec celui de Téquateur céleste, où, ce qui est la même chose, que la droite NS soit parallèle à Taxe de la terre , et que la projection horizontale de cette droite coïncide bien exactement avec la trace du méridien.
On fait surtout usage de ces sortes de cadrans chez les peu* pies qui habitent entre les tropiques ] mais alors il faut que le cadran soit tracé sur les deux faces de la pierre , car sans cela il ne pourrait servir que pendant six mois.
461 . On pourra encore dans ces pays employer des cadrans verticaux construits d'après les mêmes principes que pour la figure % Ces cadrans, tracés sur les deux faces, seraient placés verticalement par rapport à Thorizon , mais de manière à couper le méridien obliquement.
Lès heures avant midi seraient marquées sur l'une des faces du cadran , et les heures de l'après-midi sur la face opposée.
462. Si l'on voulait obtenir un cadran sur une surface quelconque , il est évident qu'il faudrait construire les traces des douze plans déterminés sur la figure 2 , et chercher ensuite les intersections de ces plans avec la surface donnée.
Nous pourrons plus tard revenir sur quelques-unes de ces questions qui sont plus curieuses que véritablement utiles.
